2020-2021学年人教B版数学选修2-2习题：1
第 13 课时 导数的应用习题课
限时：45 分钟 总分：100 分
一、选择题(每小题 6 分，共 36 分)
1．函数 y＝xlnx 的单调递减区间是( D )
A．(－∞，e－1) B．(e－1，＋∞)
C．(e，＋∞) D．(0，e－1)
解析：y′＝1＋lnx，由 y′<0 得 x
0，所以函数的递
减区间是(0，e－1)．
2．设函数 f(x)＝xex，则( D )
A．x＝1 为 f(x)的极大值点
B．x＝1 为 f(x)的极小值点
C．x＝－1 为 f(x)的极大值点
D．x＝－1 为 f(x)的极小值点
解析：求导得 f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令 f′(x)＝ex(x＋1)＝0，
解得 x＝－1，易知 x＝－1 是函数 f(x)的极小值点．
3．设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则
y＝f(x)的图象最有可能是( C )
解析：由 y＝f′(x)的图象知，当 x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)
为增函数；当 x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当 x∈(2，＋∞)
时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有 C 符合题意，故选 C.
4．若 f(x)＝－1
2x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则 b 的
取值范围是( C )
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
解析：因为 f′(x)＝－x＋ b
x＋2(x>－2)，且 f(x)在(－1，＋∞)上是
减函数，所以在(－1，＋∞)上恒有 f′(x)＝－x＋ b
x＋2
≤0 成立，即
b≤x(x＋2)恒成立，又因为 x(x＋2)＝(x＋1)2－1>－1，所以 b≤－1.
该题易错点是将 f′(x)<0 当作 f(x)为减函数的充要条件，从而错选 D.
5．若函数 y＝f(x)满足 xf′(x)>－f(x)在 R 上恒成立，且 a>b，则
( B )
A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)
C．af(a)－f(x)得 xf′(x)＋f(x)>0，即函数 F(x)＝xf(x)在
R 上为增函数，由 a>b，得 af(a)>bf(b)．
6．若函数 f(x)＝x3－12x 在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则
实数 k 的取值范围是( B )
A．k≤－3 或－1≤k≤1 或 k≥3
B．－30 得函数的单调增区间是(－∞，
－2)和(2，＋∞)，由 f′(x)<0 得函数的单调减区间是(－2,2)，由于函
数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有 k－1<－20，b>0，且函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx－2 在 x＝1 处有极
值，则 ab 的最大值为 9.
解析：f′(x)＝12x2－2ax－2b，由题意知 f′(1)＝12－2a－2b＝0，
即 a＋b＝6，所以 6＝a＋b≥2 ab，即 ab≤9 当且仅当 a＝b＝3 时取
等号．故 ab 的最大值为 9.
三、解答题(共 46 分，写出必要的文字说明、计算过程或演算步
骤)
10．(15 分)已知 f(x)＝x3－3
2x2－3x＋1，设 g(x)＝f′x
ex
，求函数
g(x)的极值．
解：f′(x)＝3x2－3x－3，
所以 g(x)＝3x2－3x－3
ex
，
g′(x)＝－3x2＋9x
ex
，
令 g′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝3.
当 x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,3) 3 (3，＋∞)
g′(x) － 0 ＋ 0 －
g(x) g(0) g(3)
于是函数 g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，
＋∞)上单调递减．
所以函数 g(x)在 x＝0 处取得极小值 g(0)＝－3，在 x＝3 处取得极
大值 g(3)＝15e－3.
11．(15 分)设函数 f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线 y＝f(x)过 P(1,0)，且
在 P 点处的切线斜率为 2.
(1)求 a，b 的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.
解：(1)f′(x)＝1＋2ax＋b
x.
由已知条件得 f1＝0，
f′1＝2， 即 1＋a＝0，
1＋2a＋b＝2，
解得 a＝－1，
b＝3.
(2)证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知 f(x)＝x－x2＋3lnx，
设 g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，
则 g′(x)＝－1－2x＋3
x
＝－x－12x＋3
x .
当 00；
当 x>1 时，g′(x)<0.
所以 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
因此，函数 g(x)在 x＝1 处取得最大值，
而 g(1)＝0，故当 x>0 时，g(x)≤0，即 f(x)≤2x－2.
12．(16 分)已知函数 f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R)．
(1)当 a＝2 时，求 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－ax＋m 在
1
e
，e 上有两个零点，求实数 m
的取值范围．
解：(1)当 a＝2 时，f(x)＝2lnx－x2＋2x，f′(x)＝2
x
－2x＋2，
切点坐标为(1,1)，切线的斜率 k＝f′(1)＝2，则切线方程为 y－1
＝2(x－1)，即 y＝2x－1.
(2)g(x)＝2lnx－x2＋m，
则 g′(x)＝2
x
－2x＝－2x＋1x－1
x .
∵x∈
1
e
，e ，∴当 g′(x)＝0 时，x＝1.
当1
e0；
当 10
g
1
e ＝m－2－1
e2≤0
，解得 1
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