新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-3-4　平面向量数乘运算的坐标表示

新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-3-4　平面向量数乘运算的坐标表示

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 课 标 解 读 课标要求 核心素养 1.会用坐标表示平面向量的数乘运算.(一 般) 2.掌握向量共线坐标表示的条件.(难点) 1.借助数乘向量的坐标运算培养数学运算素养. 2.通过用坐标表示向量共线的条件培养逻辑推 理素养. 首都北京的中轴线是北京的中心标志,也是世界上现存最长的城市中轴线,在北京 700 余年的建筑格局上,中轴线起着相当重要的作用,但是科学家们发现“中轴线”并不是“正南正 北”的朝向,即它并没有和子午线重合. 问题 1:如何判断两条直线平行或重合呢? 答案 利用平行线的判定与性质. 问题 2:两向量是否共线又如何判断呢? 答案 利用平行向量定理. 1.平面向量数乘运算的坐标表示 文字描述 符号表示 向量 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,λ≠0 数乘 实数与向量的积的坐标 等于用这个实数乘原来 向量的①相应坐标 λa=②(λx1,λy1) 共线 向量共线的充要条件是 存在实数λ,使③a=λb ④x1y2-x2y1=0 特别提醒 向量共线的坐标表达式极易写错,如写成 x1y1-x2y2=0 或 x1x2-y1y2=0 都是不对的,因此要 理解并熟记这一公式,可简记为纵横交错积相减. 思考:能否写成 1 1 = 2 2 ? 提示 不能,因为 x1,x2 有可能为 0. 2.线段常见的分点 分点坐标 线段端 点 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 二等分 点 中点 ⑤ x1+x2 2 , y1+y2 2 三等分 点 靠近 P1 2x1 + x2 3 , 2y1 + y2 3靠近 P2 x1 + 2x2 3 , y1 + 2y2 3 探究一 向量数乘运算的坐标表示 例 1 (1)已知向量 a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且 c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2 的值分别为 ( ) A.-2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2 (2)设向量 a,b 的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求下列各向量. ①3a;②2a+5b;③a-4b. 答案 (1)D 解析 (1)因为 a=(1,2),b=(2,3), c=(3,4),c=λ1a+λ2b,所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2), 所以 1 + 22 = 3, 21 + 32 = 4, 解得λ1=-1,λ2=2. (2)①3a=3(-1,2)=(-3,6). ②2a+5b=2(-1,2)+5(3,-5)=(-2,4)+(15,-25)=(13,-21). ③a-4b=(-1,2)-4(3,-5)=(-13,22). 思维突破 向量的坐标运算 (1)主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,然后进行向量的坐标运算, 要注意三角形法则及平行四边形法则的应用. (3)若是给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 1-1 设向量α=(1,0),β=(0,1),γ=(4,5),若γ=λ(3α+2β)+μ(2α-β),其中λ,μ∈R,则 λ2+μ2= . 答案 5 解析 由已知可得γ=(3λ+2μ)α+(2λ-μ)β=(3λ+2μ,2λ-μ), 又γ=(4,5), 所以 3 + 2 = 4, 2- = 5, 解得 = 2, = -1,所以λ2+μ2=5. 探究二 向量共线的坐标表示 例 2 (1)已知 A,B,C 三点共线,且 A(3,-6),B(-5,2),若 C 点的横坐标为 6,则 C 点的纵 坐标为( ) A.-13 B.9 C.-9 13 (2)已知向量 a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b 与向量 c=(-4,-7)共线,则 λ= . 答案 (1)C (2)2 解析 (1)设 C(6,y),∵ ∥ , 又 =(-8,8), =(3,y+6), ∴-8×(y+6)-3×8=0,∴y=-9. (2)因为 a=(1,2),b=(2,3), 所以λa+b=(λ,2λ)+(2,3) =(λ+2,2λ+3). 因为向量λa+b 与向量 c=(-4,-7)共线, 所以-7(λ+2)+4(2λ+3)=0,解得λ=2. 思维突破 1.向量共线的判定方法 三点共线问题的实质是向量共线问题. 2.利用向量的坐标运算求参数 用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标,利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的 条件,建立关于参数的方程(组)进行求解. 2-1 已知 A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量 与 平行吗?直线 AB 平行于直线 CD 吗? 解析 根据题意知 =(1-(-1),3-(-1))=(2,4), =(2-1,7-5)=(1,2). ∵2×2-4×1=0,∴ ∥ . 又 =(2,6), =(2,4), ∴2×4-2×6≠0, ∴A,B,C 三点不共线, ∴AB 与 CD 不重合,∴AB∥CD. 2-2 (2020 山东淄博七中高一期中)设 A,B,C,D 为平面内的四点,且 A(1,3),B(2,- 2),C(4,1). (1)若 = ,求 D 点的坐标; (2)设向量 a= ,b= ,若 ka-b 与 a+3b 平行,求实数 k 的值. 解析 (1)设 D(x,y), ∵A,B,C,D 为平面内的四点,且 A(1,3),B(2,-2),C(4,1), 又 = , ∴(2,-2)-(1,3)=(x,y)-(4,1), ∴(1,-5)=(x-4,y-1), ∴ -4 = 1, -1 = -5, 解得 x=5,y=-4, ∴D(5,-4). (2)∵a= =(1,-5),b= =(2,3), ∴ka-b=k(1,-5)-(2,3)=(k,-5k)-(2,3)=(k-2,-5k-3), a+3b=(1,-5)+3(2,3)=(1,-5)+(6,9)=(7,4). ∵ka-b 与 a+3b 平行, ∴7(-5k-3)-4(k-2)=0,解得 k=- 1 3 , ∴实数 k 的值为- 1 3 . 探究三 向量共线的应用 例 3 (易错题)已知点 A(3,-4)与点 B(-1,2),点 P 在直线 AB 上,且| |=2| |,求点 P 的坐标. 解析 设点 P 的坐标为(x,y), ∵| |=2| |, ∴P 在线段 AB 上时, =2 , ∴(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y), ∴ -3 = -2-2, + 4 = 4-2, 解得 = 1 3 , = 0,∴点 P 的坐标为 1 3 ,0 ; 当 P 在线段 AB 的延长线上时, =-2 , ∴(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y), ∴ -3 = 2 + 2, + 4 = -4 + 2, 解得 = -5, = 8, ∴点 P 的坐标为(-5,8). 综上所述,点 P 的坐标为 1 3 ,0 或(-5,8). 1.(变条件)若将本例条件“| |=2| |”改为“ =3 ”,其他条件不变,求点 P 的坐标. 解析 设点 P 的坐标为(x,y). 因为 =3 ,所以(x-3,y+4)=3(-1-x,2-y), 所以 -3 = -3-3, + 4 = 6-3, 解得 = 0, = 1 2 ,所以点 P 的坐标为 0, 1 2 . 2.(变条件)若将本例条件改为“经过点 P(-2,3)的直线分别交 x 轴、y 轴于点 A,B,且 | |=3| |”,求点 A,B 的坐标. 解析 由题设知,A,B,P 三点共线, 且| |=3| |.设 A(x,0),B(0,y). ①点 P 在 A,B 之间,则有 =3 , ∴(-x,y)=3(-2-x,3),∴ - = -6-3, = 9, 解得 x=-3,y=9, 点 A,B 的坐标分别为(-3,0),(0,9). ②点 P 不在 A,B 之间,则有 =-3 , 易得点 A,B 的坐标分别为 - 3 2 ,0 ,(0,-9). 综上,点 A,B 的坐标分别为(-3,0),(0,9)或 - 3 2 ,0 ,(0,-9). 易错点拨 常因点的位置考虑不全而造成过程性失分. 在求有向线段分点坐标时,不必过分强调公式记忆,可以根据几何问题转化为向量问题 后解方程(组)求解,同时应注意分类讨论. 3-1 已知两点 P1(3,2),P2(-8,3),点 P 1 2 ,y 满足 1P =λ 2 ,求λ及 y 的值. 解析 因为 1P = 1 2 -3,y-2= - 5 2 ,y-2 , 2 = -8- 1 2 ,3-y = - 17 2 ,3-y , 又 1P =λ 2 , 所以 - 5 2 ,y-2 =λ - 17 2 ,3-y , 根据向量相等, 得 - 5 2 = - 17 2 , -2 = (3-), 解得 = 5 17 , = 49 22 . 1.若向量 a=( 3 ,1),b=(0,-2),则与 a+2b 共线的向量可以是( ) A.c=( 3 ,-1) B.e=(-1,- 3 ) C.d=(- 3 ,-1) D.f=(-1, 3 ) 答案 D 因为 a+2b=( 3 ,-3)=- 3 (-1, 3 ),所以向量 a+2b 与(-1, 3 )是共线向量. 2.设点 P 是 P1(1,-2),P2(-3,5)连线上一点,且 2P =- 1 2 · 1 ,则点 P 的坐标为( ) A.(5,-9) B.(-9,5) C.(-7,12) D.(12,-7) 答案 C 设 P(x,y),∵ 2P =- 1 2 1 ,∴P2 是 P1P 的中点,∴-3= 1+ 2 ,5= -2+ 2 , 解得 x=-7,y=12,∴P(-7,12). 3.(多选题)已知 A(3,-6),B(-5,2),且 A,B,C 三点在一条直线上,则 C 点的坐标可能是( ) A.(-9,6) B.(-1,-2) C.(-7,-2) D.(6,-9) 答案 ABD 设 C(x,y),则 =(x-3,y+6), =(-8,8). ∵A,B,C 三点在同一条直线上,∴ -3 -8 = +6 8 ,即 x+y+3=0,将四个选项分别代入 x+y+3=0 验证可 知 A,B,D 符合要求. 4.已知 a=(2,1),b=(x,-1),且(a-b)与 b 共线,则|x|= . 答案 2 解析 由题知 a-b=(2-x,2),∵(a-b)∥b, ∴(2-x)×(-1)-2x=0,解得 x=-2, ∴|x|=2. 5.设 O 是坐标原点, =(k,12), =(4,5), =(10,k),当 k 为何值时,A,B,C 三点共线? 解析 ∵ =(k,12), =(4,5), =(10,k),∴ = - =(4-k,-7), = - =(10-k,k-12),又 A,B,C 三点共线,∴由两向量平行的充要条件,得(4-k)(k- 12)+7(10-k)=0,解得 k=-2 或 k=11, 即当 k=-2 或 k=11 时,A,B,C 三点共线. 逻辑推理——方程思想在平面几何中的应用 已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),O(0,0),求直线 AC 与 OB 交点 P 的坐标. 解析 解法一:由 O,P,B 三点共线,得 ∥ , 可设 =λ =(4λ,4λ), 则 = - =(4λ-4,4λ), = - =(-2,6). 由 A,P,C 三点共线,得 ∥ , ∴(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ= 3 4 , ∴ = 3 4 =(3,3), ∴点 P 的坐标为(3,3). 解法二:设点 P(x,y),则 =(x,y), =(4,4). ∵P、B、O 三点共线, ∴ ∥ ,∴4x-4y=0. 又 A(4,0),C(2,6),O(0,0), ∴ = - =(x,y)-(4,0)=(x-4,y), = - =(2,6)-(4,0)=(-2,6). ∵P、A、C 三点共线, ∴ ∥ ,∴6(x-4)+2y=0, ∴ 4-4 = 0, 6(-4) + 2 = 0, 解得 = 3, = 3.∴点 P 的坐标为(3,3). 素养探究:利用线段相交,得到三点共线,转化为向量共线,利用方程思想求解,过程中 体现了逻辑推理核心素养. 如图,在△AOB 中,已知点 O(0,0),A(0,5),B(4,3), = 1 4 , = 1 2 ,AD 与 BC 交于点 M, 求点 M 的坐标. 解析 ∵点 O(0,0),A(0,5),B(4,3), ∴ =(0,5), =(4,3). 设 C(x1,y1),∵ = 1 4 = 0, 5 4 , ∴x1=0,y1= 5 4 , ∴点 C 的坐标为 0, 5 4 . 同理可得点 D 的坐标为 2, 3 2 . 设点 M 的坐标为(x,y),则 =(x,y-5), = 2,- 7 2 . 且 A,M,D 三点共线,∴ ∥ , ∴- 7 2 x-2(y-5)=0,即 7x+4y=20.① ∵ = ,- 5 4 , = 4-0,3- 5 4 = 4, 7 4 . 且 C,M,B 三点共线, ∴ ∥ , ∴ 7 4 x-4 - 5 4 =0,即 7x-16y=-20.② 由①②,得 x= 12 7 ,y=2, ∴点 M 的坐标为 12 7 ,2 . 1.设向量 a=(x,-4),b=(1,-x),若向量 a 与 b 同向,则 x 等于( ) A.-2 B.2 C.±2 D.0 答案 B 2.已知向量 a=(1,2),b=(λ,1),若(a+2b)∥(2a-2b),则λ的值为( ) A. 1 2 B. 1 3 C.1 D.2 答案 A 3.已知向量 a=(1,1),b=(-1,0),λa+μb 与 a-2b 共线,则 等于( ) A. 1 2 B.2 C.- 1 2 D.-2 答案 C 4.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量 4a,3b-2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形, 则向量 c 等于( ) A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6) 答案 D 因为 4a,3b-2a,c 对应的有向线段首尾相接能构成三角形,所以 4a+3b-2a+c=0, 则 c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6). 5.如图,在△ABC 中, = 1 5 ,EF∥BC,EF 交 AC 于 F,设 =a, =b,则 等于( ) A.-a+ 1 5 b B.a- 1 5 b C. 2 3 a- 1 3 b D. 1 3 a+ 2 3 b 答案 A ∵ = 1 5 ,∴ =- 4 5 , 又∵EF∥BC,∴ = 1 5 = 1 5 ( - ), ∴ = + =- 4 5 + 1 5 ( - ) = 1 5 - =-a+ 1 5 b. 6.已知△ABC 的顶点 A(2,3)和重心 G(2,-1),则 BC 边上的中点的坐标是 . 答案 (2,-3) 解析 设 BC 边上的中点为 D(x,y), 则 =2 ,又 A(2,3),G(2,-1), ∴ =(0,-4), =(x-2,y+1), ∴ 2(-2) = 0, 2( + 1) = -4, 解得 = 2, = -3, 故 D(2,-3). 7.已知 a=(1,1),b=(x2,x+λ)且 a∥b,则实数λ的最小值是 . 答案 - 1 4解析 因为 a∥b,所以 x2-x-λ=0, 即λ=x2-x= - 1 2 2 - 1 4 ≥- 1 4 , 所以λ的最小值为- 1 4 . 8.已知 A,B,C 三点共线, =- 3 8 ,点 A,B 的纵坐标分别为 2,5,则点 C 的纵坐标 为 . 答案 10 解析 设点 C 的纵坐标为 y, ∵A,B,C 三点共线, =- 3 8 ,点 A,B 的纵坐标分别为 2,5, ∴2-5=- 3 8 (y-2),∴y=10. 9.已知 A,B,C 三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),且 = 1 3 , = 1 3 . (1)求点 E,F 的坐标; (2)判断 与 是否共线. 解析 (1)设 E(x1,y1),F(x2,y2).依题意,得 =(2,2), =(-2,3). 由 = 1 3 可知,(x1+1,y1)= 1 3 (2,2), ∴ 1 + 1 = 2 3 , 1 = 2 3 , 解得 1 = - 1 3 , 1 = 2 3 ,∴点 E 的坐标为 - 1 3 , 2 3 . 由 = 1 3 可知,(x2-3,y2+1)= 1 3 (-2,3), ∴ 2-3 = - 2 3 , 2 + 1 = 1, 解得 2 = 7 3 , 2 = 0,∴点 F 的坐标为 7 3 ,0 . (2)由(1)可知, = 7 3 ,0 - - 1 3 , 2 3 = 8 3 ,- 2 3 , 又 =(4,-1), ∴ = 2 3 (4,-1)= 2 3 ,∴ 与 共线. 10.已知点 A(1,2),B(2,4),C(-3,5).若 = +m ,且点 P 在 y 轴上,则 m=( ) A.-2 B. 1 5 C.- 1 5 D.2 答案 B 设 P(x,y),由题意得 =m , 又 A(1,2),B(2,4),C(-3,5), ∴ =(x-1,y-2), =(-5,1), ∴ -1 = -5, -2 = , ∴P(-5m+1,m+2), 又点 P 在 y 轴上,∴-5m+1=0,∴m= 1 5 . 11.在△ABC 中,已知 A(2,3),B(6,-4),G(4,-1)是中线 AD 上一点,且| |=2| |,那么点 C 的坐标为( ) A.(-4,2) B.(-4,-2) C.(4,-2) D.(4,2) 答案 C 设 C(x,y),则有 = 1 2 ( + )= +2 2 , -10 2 . 又| |=2| |, ∴ = 2 3 = +2 3 , -10 3 . ∵A(2,3),G(4,-1),∴ =(2,-4), ∴ +2 3 = 2, -10 3 = -4, 解得 = 4, = -2.∴C(4,-2). 12.若 =i+2j, =(3-x)i+(4-y)j(其中 i,j 为单位向量且其方向分别与 x 轴,y 轴正方向相 同), 与 共线,则 x,y 的值可能分别为( ) A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4 答案 B ∵i,j 为单位向量且其方向分别与 x 轴,y 轴正方向相同,∴ =i+2j=(1,2), =(3-x)i+(4-y)j=(3-x,4-y), ∵ 与 共线, ∴1×(4-y)-2×(3-x)=0, 整理得 2x-y=2,结合选项可知 x,y 的值可能分别为 2,2. 13.已知向量 a=(-2,3),b∥a,向量 b 的起点为 A(1,2),终点 B 在坐标轴上,则点 B 的坐标 为 . 答案 0, 7 2 或 7 3 ,0解析 设 B(x,y),则 =(x-1,y-2)=b.由 b∥a,可设 b=λa(λ∈R),又 a=(-2,3), ∴b=(-2λ,3λ). ∴ -2 = -1, 3 = -2, ∴ = 1-2, = 3 + 2.又点 B 在坐标轴上,则 1-2λ=0 或 3λ+2=0, ∴λ= 1 2 或λ=- 2 3 , ∴点 B 的坐标为 0, 7 2 或 7 3 ,0 . 14.已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10).若 = +λ (λ∈R),试求λ为何值时, (1)点 P 在第一、三象限的角平分线上; (2)点 P 在第三象限内. 解析 设点 P 的坐标为(x,y),则 =(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3), +λ =[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ). ∵ = +λ (λ∈R), ∴ -2 = 3 + 5, -3 = 1 + 7, 则 = 5 + 5, = 4 + 7.(1)若点 P 在第一、三象限的角平分线上, 则 5+5λ=4+7λ,∴λ= 1 2 , ∴当λ= 1 2 时,点 P 在第一、三象限的角平分线上. (2)若点 P 在第三象限内,则 5 + 5 < 0, 4 + 7 < 0,∴λ<-1,∴当λ<-1 时,点 P 在第三象限内. 15.平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足 c=ma+nb 的实数 m,n; (2)设 d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求 d. 解析 (1)因为 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),所以 c=ma+nb=(3m-n,2m+2n)=(4,1), 则 3- = 4, 2 + 2 = 1, 解得 m= 9 8 ,n=- 5 8 . (2)由 d=(x,y),得 d-c=(x-4,y-1), 易知 a+b=(2,4), 又(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1, 所以 4(-4)-2(-1) = 0, (-4) 2 + (y-1) 2 = 1, 解得 = 4 + 5 5 , = 1 + 2 5 5 或 = 4- 5 5 , = 1- 2 5 5 , 所以 d= 4 + 5 5 ,1 + 2 5 5 或 d= 4- 5 5 ,1- 2 5 5 .