2017 天津市高考压轴卷 理科数学

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2017 天津市高考压轴卷 理科数学 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.设常数 a R ，集合 { | ( 1)( ) 0}, { | 1}A x x x a B x x a       ，若 A B R  ，则 a 的 取值范围为（ ） (A) ( ,2) (B) ( ,2] (C) (2, ) (D) [2, ) 2.函数   2lnf x x 的图像与函数   2 4 5g x x x   的图像的交点个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 3.某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差 异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 4.已知 0 4   ，则双曲线 2 2 1 2 2: 1cos sin x yC    与 2 2 2 2 2 2: 1sin sin tan y xC     的（ ） A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等 5.已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的 1 2 , 则其体积缩小到原来的 1 8 ; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线 x + y + 1 = 0 与圆 2 2 1 2x y  相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③ (D) ②③ 6.执行如图所示的程序框图，若输入 10,n S 则输出的 A． 5 11 B．10 11 C． 36 55 D． 72 55 7.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为       20,40 , 40,60 , 60,80 ,8 20,100 . 若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是 （A） 45 （B）50 （C）55 （D） 60 8.设函数           2 2 2 , 2 , 0,8 xe ef x x f x xf x f x f xx     满足 则 时， （A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值 （C）既有极大值又有极小值 （D）既无极大值也无极小值 二、填空题：本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.设 m R ， 2 22 ( 1)im m m    是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 ________m  10.12.若 2 0 9, T x dx T 则常数 的值为 11.设常数 a R ，若 5 2 ax x     的二项展开式中 7x 项的系数为 10 ，则 ______a  12.如图，圆 O 上一点 C 在直线 AB 上的射影为 D ，点 D 在半径 OC 上的射影为 E 。若 3AB AD ，则 CE EO 的值为 。 13.已知等比数列    1 3n n na S a n a a是递增数列, 是 的前 项和.若 ， 是方程 2 65 4 0x x S   的两个根，则 . 14 ． 设 1 2,F F 是 双 曲 线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的 两 个 焦 点 ， P 是 C 上 一 点 ， 若 21 6 ,PF PF a  且 1 2PF F 的最小内角为30 ，则 C 的离心率为___。 三、解答题：本大题共 6 小题,共 80 分. 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 2( ) sin( ) cos( ). ( ) 2sin6 3 2 xf x x x g x      。 （I）若 是第一象限角，且 3 3( ) 5f   。求 ( )g  的值； （II）求使 ( ) ( )f x g x 成立的 x 的取值集合。 16. (本小题满分 13 分) 如图， AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于 ,A B 的点，直线 PC  平面 ABC ， E ， F 分 别是 PA， PC 的中点。 （I）记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为l ，试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系，并加以证 明； （II）设（I）中的直线 l 与圆O 的另一个交点为 D ，且点Q 满足 1 2DQ CP  。记直线 PQ 与 平面 ABC 所成的角为 ，异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 ，二面角 E l C  的大小为  ， 求证：sin sin sin   。 17. (本小题满分 13 分) 一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编 号分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期 望. 18. (本小题满分 13 分) 已知等比数列 na 满足： 2 3 10a a  ， 1 2 3 125a a a  。 （I）求数列 na 的通项公式； （II）是否存在正整数 m ，使得 1 2 1 1 1 1 ma a a     ？若存在，求 m 的最小值；若不存在， 说明理由。 19. (本小题满分 14 分) 设椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点为 F, 离心率为 3 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆 截得的线段长为 4 3 3 . (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 · · 8AC DB AD CB     , 求 k 的值. 20.（本小题满分 14 分） 已知函数         3 21 , 1 2 cos . 0,12 e x xf x x g x ax x x x      当 时， （I）求证：   11- ;1x f x x    （II）若    f x g x 恒成立， a求实数 的 取值范围. 试卷答案 1.B 2.B 3.D 4.D 双曲线 1C 的离心率是 1 1 cose  ，双曲线 2C 的离心率是  2 2 2 sin 1 tan 1 sin cose        ， 故选 D 5.C 6.A 7.B 8.D 9.-2 10.3 11.-2 12.由射影定理知    2 2 22 8 1 2 AD AB ADCE CD AD BD EO OD OA AD AB AD           13.63 14. 3 15. 16.（I） EF AC  ， AC ABC 平面 ， EF ABC 平面 EF ABC  平面 又 EF BEF 平面 EF l  l PAC  平面 （II）连接 DF，用几何方法很快就可以得到求证。（这一题用几何方法较快，向量的方法很麻 烦，特别是用向量不能方便的表示角的正弦。个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方 向有很大的偏差。） 17. 18（I）由已知条件得： 2 5a  ，又 2 1 10a q   ， 1 3q   或 ， 所以数列 na 的通项或 25 3n na   （II）若 1q   ， 1 2 1 1 1 1 05ma a a      或 ，不存在这样的正整数 m ； 若 3q  ， 1 2 1 1 1 9 1 9110 3 10 m ma a a               ，不存在这样的正整数 m 。 19.