【数学】浙江省温州市2019-2020学年高二上学期期末考试试题(解析版)

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【数学】浙江省温州市2019-2020学年高二上学期期末考试试题(解析版)

www.ks5u.com 浙江省温州市2019-2020学年高二上学期期末考试试题 一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.双曲线的实轴长为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得a=3,‎ 所以实轴长为6.‎ 故选:C ‎2.与直线关于轴对称的直线的方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设M(x,y)是所求直线上的任意一点,‎ 则其关于y轴的对称点为在直线上,‎ 所以即.‎ 与直线关于轴对称的直线的方程为.‎ 故选:B ‎3.若直线与圆相离,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得圆心到直线的距离为,所以,‎ 因为m>0,所以0<m<2.‎ 故选:C ‎4.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积(单位:)是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三视图:该几何体为底面为直角梯形的四棱柱,如图所示:‎ 故该几何体的体积为.‎ 故选:A.‎ ‎5.一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是( )‎ A. 底面是正三角形,三个侧面是全等的等腰三角形 B. 各个面都是正三角形 C. 三个侧面是全等的等腰三角形 D. 顶点在底面上的射影为重心 ‎【答案】A ‎【解析】A.根据正三棱锥的定义可知,满足侧面是全等的等腰三角形,底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥.正三棱锥的底面是正三角形,三个侧面是全等的等腰三角形,所以一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是底面是正三角形,三个侧面是全等的等腰三角形,所以该选项符合题意;‎ B. 各个面都是正三角形,则三棱锥是正三棱锥,所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的充分条件;如果三棱锥是正三棱锥,则各个面不一定都是正三角形,所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的非必要条件,故该选项错误.‎ C. 三个侧面是全等的等腰三角形不一定是正三棱锥,如图所示,VA=VC=BC=AB,AC=VB时,不一定是正三棱锥,故该选项错误;‎ D. 顶点在底面上的射影为重心,设底面为直角三角形,其重心为,过点作平面ABC的垂线,连接VA,VB,VC得到三棱锥V-ABC,显然三棱锥V-ABC不是正三棱锥,所以该选项错误.‎ 故选:A ‎6.如图,已知三棱锥,点是的中点,且,,过点作一个截面,使截面平行于和,则截面的周长为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示,设AB、BC、VC的中点分别为D,E,F,‎ 连接PD,DE,EF,PF.由题得PD||VB,DE||AC,‎ 因为平面DEFP,VB,AC不在平面DEFP内,‎ 所以VB||平面DEFP,AC||平面DEFP,‎ 所以截面DEFP就是所作的平面.‎ 由于,‎ 所以四边形DEFP平行四边形,‎ 因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1,‎ 所以截面DEFP的周长为2+2+1+1=6.‎ 故选:D ‎7.已知直线和相交于点,则点的轨迹方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得所以.‎ 由题得,所以.‎ 所以点的轨迹方程为.‎ 故选:D ‎8.已知双曲线,若过点作直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点,则点的坐标可能是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设,‎ 由题得,‎ 所以.‎ 当P的坐标为时,直线AB的方程为.‎ 把代入双曲线方程得.‎ 对于选项A,C,D中点P的坐标经检验得,不满足.‎ 故选:B ‎9.已知椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,且 ‎,则此椭圆的离心率的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设P,由题得 因为,所以,‎ 所以此椭圆的离心率的最小值为.‎ 故选:A ‎10.在平面直角坐标系中,已知点,,圆,若圆上存在点,使得,则实数取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设,则,‎ 所以,所以点M的轨迹是一个圆D,‎ 由题得圆C和圆D相交或相切,所以,‎ 所以.‎ 故选:B 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.‎ ‎11.已知直线(为常数),若直线的斜率为,则 ‎__________,若,直线的倾斜角为__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】(1)由题得;‎ ‎(2)若,则直线的斜率所以直线的倾斜角为.‎ 故答案为:(1). (2). ‎ ‎12.在平面直角坐标系中,点关于轴的对称点为,那么,在空间直角坐标系中,关于轴的对称点坐标为__________,若点关于平面的对称点为点,则__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】(1)由题得关于轴的对称轴点坐标为;‎ ‎(2)点关于平面的对称点为点(1,-1,-2),‎ 所以.‎ 故答案为:(1). (2). ‎ ‎13.已知圆和圆外切,则的值为 ‎__________,若点在圆上,则的最大值为__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】(1)由于两圆外切,所以.‎ ‎(2)点在圆上,所以,‎ 所以,因为,所以的最大值为5.‎ 此时.‎ 故答案为: (1). (2). ‎ ‎14.已知直线与抛物线交于两点;若直线过抛物线的焦点,则抛物线的准线方程为__________,若,则的值为__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】(1)由于直线过抛物线的焦点,令y=0得x=1,所以抛物线的焦点坐标为(1,0),‎ 所以抛物线的准线方程为x=-1.‎ ‎(2)联立得,‎ 设,所以,‎ 因为,所以,‎ 所以,所以.‎ 故答案为:(1). (2). ‎ ‎15.某学习合作小组学习了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,意思是夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理研究椭圆绕轴旋转一周所得到的椭球体的体积,方法如下:取一个底面圆半径为高为 的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥,把所得的几何体和半椭球体放在同一平面上,那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了,现在用一平行于平面的任意一个平面去截这两个几何体,则截面分别是圆面和圆环面,经研究,圆面面积和圆环面面积相等,由此得到椭球体的体积是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由祖暅原理得椭球体的体积为.‎ 故答案为:‎ ‎16.如图,等腰梯形中,,,,为上一点,且,为的中点.沿将梯形折成大小为的二面角,若内(含边界)存在一点,使得平面,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示,由于梯形是等腰梯形,所以.‎ 折叠之后,.所以就是二面角的平面角.‎ 当时,不存在这样的点Q;‎ 当时,点Q恰好是AE的中点.此时.‎ 当时,以点E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则E(0,0,0),B,.‎ 设Q在平面ABE内,.‎ 所以,.,‎ 由题得.‎ 所以点Q在△ABE的中位线GH上,‎ 所以点Q的纵坐标.‎ 由题得 所以,所以,所以.‎ 所以此时.综上所述,.‎ 故答案为:‎ ‎17.设抛物线,点是抛物线的焦点,点在轴正半轴上(异于点),动点在抛物线上,若是锐角,则的范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,可知,且,‎ 所以,,‎ 因为是锐角,所以,‎ 即,‎ 整理得,‎ 等价于对任意恒成立;‎ 令,则对任意恒成立;‎ 因为的对称轴为,故分类讨论如下:‎ ‎(1),即时,‎ ‎,所以;‎ ‎(2),即时,‎ 应有,得;‎ 综上所述:.‎ 三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎18.已知圆心在直线:上的圆经过点和,且过点的直线与圆相交于不同的两点.‎ ‎(1)求圆的标准方程;‎ ‎(2)若,求直线的方程.‎ ‎【解】(1)易求得的中点为,且,‎ 的中垂线方程为 由,得圆心的坐标为,‎ 半径,故圆的标准方程为:‎ ‎(2)当时,则圆心到直线的距离为,‎ 若直线的斜率存在,设直线,‎ 即 圆心到直线的距离,解得,‎ 直线的方程为 若直线的斜率不存在,则直线,符合题意,‎ 综上所述:所求直线的方程为:或 ‎19.如图,,,,.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若几何体是三棱柱,是边长为的正三角形,与面所成角的余弦值为,,求三棱柱的体积.‎ ‎【解】(1)‎ 又,,,‎ 又,‎ ‎(2)由题得,‎ 又棱柱高 ‎20.已知点的坐标分别是,,直线相交于点,且直线的斜率与直线的斜率的差是.‎ ‎(1)求点的轨迹方程;‎ ‎(2)若直线与曲线交于两点,求的面积.‎ ‎【解】(1)设,则,,‎ 所以,所以轨迹方程(或);‎ ‎(2)设,联立方程 ‎,得,所以,‎ 所以,‎ 到直线的距离为,‎ 所以.‎ ‎21.如图,在三棱锥中,且,,面面,‎ ‎,为中点,为中点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)在直线上确定一点,使得面,求与面所成角.‎ ‎【解】(1)易知,又平面平面 面,‎ 又,,,平面,‎ 平面,‎ ‎(2)在延长线上取点,使,则四边形为平行四边形 又,面,面,面 又面,即为与面所成线面角 又,,‎ 即与面所成线面角为 ‎22.设椭圆的离心率为,直线过椭圆的右焦点,与椭圆交于点;若垂直于轴,则.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)椭圆的左右顶点分别为,直线与直线交于点.求证:点在定直线上.‎ ‎【解】(1)由已知得,所以,‎ 所以椭圆的方程为;‎ ‎(2)设,,,‎ 联立,得,‎ 所以,可得,,‎ 所以,‎ 又因为,‎ 所以;‎ 所以点在直线上.‎
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