高中数学（人教版必修5）配套练习：1-1正弦定理和余弦定理第3课时
第一章 1.1 第 3 课时
一、选择题
1．在△ABC 中，若sinA
a
＝cosB
b
，则角 B 等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案] B
[解析] 由正弦定理知sinA
a
＝sinB
b
，∵sinA
a
＝cosB
b
，
∴sinB＝cosB，∵0°
2 B．x<2
C．20 B．cosB·cosC>0
C．cosA·cosB>0 D．cosA·cosB·cosC>0
[答案] C
[解析] 由正弦定理得，a0，cosB>0.
2．在△ABC 中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
[答案] B
[解析] 由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－ac，
又∵b2＝ac，
∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，
∵B＝60°，∴A＝C＝60°.
故△ABC 是等边三角形．
3．在△ABC 中，有下列关系式：
①asinB＝bsinA； ②a＝bcosC＋ccosB；
③a2＋b2－c2＝2abcosC； ④b＝csinA＋asinC．
一定成立的有( )
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
[答案] C
[解析] 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及 sinA＝sin(B
＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得 sinB＝sinCsinA＋
sinAsinC＝2sinAsinC，又 sinB＝sin(A＋C)＝cosCsinA＋cosAsinC，与上式不一定相等，所以④
不一定成立．故选 C．
4．△ABC 中，BC＝2，B＝π
3
，当△ABC 的面积等于 3
2
时，sinC 等于( )
A． 3
2 B．1
2
C． 3
3 D． 3
4
[答案] B
[解析] 由正弦定理得 S△ABC＝1
2·AB·BC·sinB＝ 3
2 AB＝ 3
2
，∴AB＝1，∴AC2＝AB2＋BC2
－2AB·BC·cosB＝1＋4－4×1
2
＝3，∴AC＝ 3，再由正弦定理，得 1
sinC
＝ 3
sinπ
3
，∴sinC＝1
2.
二、填空题
5．△ABC 中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC 的面积为________．
[答案] 15 3
4
[解析] 由余弦定理知 72＝52＋BC2＋5BC，即 BC2＋5BC－24＝0，
解之得 BC＝3，所以 S＝1
2
×5×3×sin120°＝15 3
4 .
6．已知三角形两边长分别为 1 和 3，第三边上的中线长为 1，则三角形的外接圆半径为
__________．
[答案] 1
[解析] 如图，AB＝1，BD＝1，BC＝ 3，
设 AD＝DC＝x，在△ABD 中，
cos∠ADB＝x2＋1－1
2x
＝x
2
，
在△BDC 中，cos∠BDC＝x2＋1－3
2x
＝x2－2
2x
，
∵∠ADB 与∠BDC 互补，
∴cos∠ADB＝－cos∠BDC，∴x
2
＝－x2－2
2x
，
∴x＝1，∴∠A＝60°，由 3
sin60°
＝2R 得 R＝1.
三、解答题
7．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cosA＝1
4
，a＝4，b＋c＝6，且
b
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