2020_2021学年新教材高中数学第七章复数7

2020_2021学年新教材高中数学第七章复数7

7.3 * 　复数的三角表示 课标阐释 思维脉络 1 . 通过复数的几何意义 , 了解复数的三角表示 . ( 数学抽象 ) 2 . 了解复数的代数形式与三角形式之间的关系 . ( 数学抽象 ) 3 . 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 . ( 数学运算、直观想象 ) 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 知识点一、复数的三角表示式 1 . 一般地 , 任何一个复数 z=a+b i 都可以表示成 r (cos θ + isin θ ) 的形式 . 其中 , r 是 复数 z 的模 ; θ 是以 x 轴的非负半轴为始边 , 向量 所在 射线 ( 射线 OZ ) 为终边的角 , 叫做复数 z=a+b i 的 辐角 .r (cos θ + isin θ ) 叫做复数 z=a+b i 的三角表示式 , 简称三角形式 . 为了与三角形式区分开来 , a+b i 叫做复数的代数表示式 , 简称代数形式 . 2 . 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值 , 且这些值相差 2 π 的整数倍 . 我们规定在 0≤ θ < 2 π 范围内的辐角 θ 的值为辐角的主值 . 通常 3 . 两个非零复数相等当且仅当它们的 模 与 辐角的主值 分别相等 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内打“ √ ” , 错误的打“ ×” . ① 复数 0 的辐角一定是 0 . ( 　　 ) ② 一个给定的复数 , 其辐角也是唯一确定的 . ( 　　 ) ③ 复数 i 的辐角可以为 - π . ( 　　 ) 答案 : ① × 　 ② × 　 ③√ (2) 将下列复数表示为三角形式 : ① - 5i; ② - 10; ③ 2 - 2i . 激趣诱思 知识点拨 知识点二、复数三角形式乘法法则与几何意义 1 . 已知 z 1 =r 1 (cos θ 1 + isin θ 1 ), z 2 =r 2 (cos θ 2 + isin θ 2 ), 则 z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos( θ 1 + θ 2 ) + isin( θ 1 + θ 2 )] . 这就是说 , 两个复数相乘 , 积的模等于各复数的 模的积 , 积的辐角等于各复数的 辐角的和 . 2 . 复数乘法的几何 意义 激趣诱思 知识点拨 微 练习 激趣诱思 知识点拨 知识 点三、复数三角形式除法法则与几何意义 这就是说 , 两个复数相除 , 商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商 , 商的辐角等于 被除数的辐角 减去 除数的辐角 所得的差 . 2 . 复数除法的几何 意义 激趣诱思 知识点拨 微 练习 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 例 1 将下列复数表示成三角形式 . (1)5i;(2)8;(3) - 3 - 3i;(4) - 1 + i . 分析 先确定模长及辐角主值 , 再写成三角形式 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 复数的代数形式 z=a+b i 化为复数三角形式的一般步骤是 : ( 3) 写出复数的三角形式 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 将下列复数中代数形式的表示成三角形式 , 三角形式的表示成代数形式 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 复数三角形式的乘法运算 例 2 计算下列各式 : 分析 利用复数三角形式的乘法法则计算即可 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 两个复数三角形式乘法的法则可简记为 : 模数相乘 , 辐角相加 , 并且可以作以下推广 : (1) 有限个复数相乘 , 结论亦成立 . 即 z 1 ·z 2 · … ·z n =r 1 (cos θ 1 + isin θ 1 ) ·r 2 (cos θ 2 + isin θ 2 ) · … ·r n (cos θ n + isin θ n ) =r 1 ·r 2 · … ·r n [cos( θ 1 + θ 2 + … + θ n ) + isin( θ 1 + θ 2 + … + θ n )] . (2) 当 z 1 =z 2 = … =z n =z 时 , 即 r 1 =r 2 = … =r n =r , θ 1 = θ 2 = … = θ n = θ , 有 z n = [ r (cos θ + isin θ )] n =r n (cos n θ + isin n θ ), 这就是复数三角形式的乘方法则 , 即 : 模数乘方 , 辐角 n 倍 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 复数三角形式的除法运算 例 3 计算下列各式 : 反思感悟 进行两个复数的三角形式除法运算时 , 将模对应相除当模 , 用被除数辐角减去除数的辐角当做商的辐角 , 即可得两个复数的除法结果 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 计算下列各式 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 数形结合思想求复数的模及辐角范围 典例 若 z ∈ C , |z- 2 | ≤1, 求 |z| 的最大、最小值和 arg z 范围 . 分析 结合条件及特点 , 本题可用数形结合思想求解 . 解 : 由 |z- 2 | ≤1, 知 z 的轨迹为复平面上以 (2,0) 为圆心 ,1 为半径的圆面 ( 包括圆周 ), |z| 表示圆面上任一点到原点的距离 . 显然 1≤ |z| ≤3, ∴ |z| max = 3, |z| min = 1, 设圆的两条切线为 OA , OB , A , B 为切点 , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 说明 : 本题在求解 |z| 的最大、最小值时 , 也可用代数形式 , 如下 : 设复数 z=x+y i( x , y ∈ R ), 则由 |z- 2 | ≤1 得 ( x- 2) 2 +y 2 ≤1, ∵ ( x- 2) 2 +y 2 ≤1, ∴ ( x- 2) 2 ≤1, ∴ - 1≤ x- 2≤1, ∴ 1≤ x ≤3, ∴ 1≤4 x- 3≤9, ∴ 1≤ |z| ≤3 . ∴ |z| max = 3, |z| min = 1 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 复数 z=- 2 + 2i 的三角形式是 　　　　　 .  解析 : 原式 = cos( - 2 π ) + isin( - 2 π ) = 1 . 答案 : 1 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测