【数学】2020届一轮复习苏教版坐标系与参数方程学案

【数学】2020届一轮复习苏教版坐标系与参数方程学案

选修4－4　坐标系与参数方程 第1讲　坐标系 ‎[最新考纲]‎ ‎1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.‎ 知 识 梳 理 ‎1．极坐标系 ‎(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．‎ 设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．‎ ‎(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcos θ，y＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tan θ＝.‎ ‎2．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程 ‎(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；‎ ‎(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.‎ ‎3．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程 ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos_θ；‎ ‎(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin_θ.‎ 诊 断 自 测 ‎1．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为________．‎ 解析　直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．‎ 答案　 ‎2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．‎ 解析　∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，‎ ‎∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ.‎ ‎∴x2＋y2＝2y＋4x，‎ 即x2＋y2－2y－4x＝0.‎ 答案　x2＋y2－4x－2y＝0‎ ‎3．(2018·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．‎ ‎ 解析　ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρcos θ ‎＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得解得即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为.‎ 答案　 ‎4．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin θ＝3，则点到直线l的距离为________．‎ 解析　∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点化为直角坐标为(，1)，‎ ‎∴点到直线l的距离为2.‎ 答案　2‎ ‎5．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．‎ 解析　将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解，极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝转化为平面直角坐标系中的方程为y＝x，即x－3y＝0.‎ ‎∴圆心(0,2)到直线x－3y＝0的距离为 ＝.‎ 答案　 考点一　极坐标与直角坐标的互化 ‎【例1】 (1)把点M的极坐标化成直角坐标；‎ ‎(2)把点M的直角坐标(－，－1)化成极坐标．‎ 解　(1)∵x＝－5cos ＝－，y＝－5sin ＝－，‎ ‎∴点M的直角坐标是.‎ ‎(2)ρ＝＝＝2，‎ tan θ＝＝.‎ ‎∵点M在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝.‎ 因此，点M的极坐标是.‎ 规律方法 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．‎ ‎(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．‎ ‎【训练1】 (1)把点M的极坐标化成直角坐标；‎ ‎(2)把点P的直角坐标(，－)化成极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)‎ 解　(1)x＝8cos ＝－4，y＝8sin ＝4，‎ 因此，点M的直角坐标是(－4,4)．‎ ‎(2)ρ＝＝2，tan θ＝＝－，‎ 又因为点在第四象限，得θ＝.‎ 因此，点P的极坐标为.‎ 考点二　直角坐标方程与极坐标方程的互化 ‎【例2】 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；‎ ‎(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ 解　(1)∵ρcos＝1，‎ ‎∴ρcos θ·cos ＋ρsin θ·sin ＝1.‎ 又，∴x＋y＝1.‎ 即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0.‎ 令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.‎ ‎∴M(2,0)，N.‎ ‎∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为.‎ ‎(2)M，N连线的中点P的直角坐标为，‎ P的极角为θ＝.‎ ‎∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ 规律方法 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境．‎ ‎【训练2】 ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.‎ ‎(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．‎ 解　以极点的原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎(1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ；‎ ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ.‎ 由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，‎ 得⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为 x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0.‎ ‎(2)由 ‎①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0为所求直线方程．‎ 考点三　曲线极坐标方程的应用 ‎【例3】 (2018·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长．‎ 解　由ρsin＝2，得(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x ‎2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：2＝2＝4.故所求弦长为4.‎ 规律方法 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．‎ ‎【训练3】 (2018·江苏卷)在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ 解　在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，‎ 所以圆C的圆心坐标为(1,0)．‎ 因为圆C经过点P，‎ 所以圆C的半径 PC＝ ＝1，‎ 于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ 因忽视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误 ‎【典例】 (10分)在极坐标系下，若点P(ρ，θ)的一个极坐标为，求以为坐标的不同的点的极坐标．‎ ‎[错解展示]‎ 甲：解　化为直角坐标为(－2,2)，故该点与原点的中点坐标为(－1，)，化为极坐标为.‎ 乙：解　∵ρ＝4，θ＝，故＝2，＝，‎ 因此所求极坐标为.‎ ‎[规范解答]　∵为点P(ρ，θ)的一个极坐标．‎ ‎∴ρ＝4或ρ＝－4. (2分)‎ 当ρ＝4时，θ＝2kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴＝2，＝kπ＋(k∈Z)． (4分)‎ 当ρ＝－4时，θ＝2kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴＝－2，＝kπ＋(k∈Z)． (6分)‎ ‎∴有四个不同的点：‎ P1，P2(k∈Z)，‎ P3，P4(k∈Z) (10分)‎ ‎[反思感悟]　甲生解法中将直角坐标系的中点坐标公式应用于极坐标系中的中点，事实上(ρ，θ)与的关系并不是点(ρ，θ)与极点的中点为，从几何意义上讲点应满足该点的极角为θ的，极径为ρ的.乙生解法中满足的几何意义，但由于极坐标系内点的极坐标的不唯一性，还应就点(ρ，θ)的其他形式的极坐标进行讨论．‎ ‎【自主体验】‎ 下列各点中与极坐标不表示同一个点的极坐标是________．‎ ‎①　②　③　④ 解析　因为与表示同一点的坐标有或，其中k∈Z，所以易得只有②不同．‎ 答案　②‎ 第2讲　参数方程 ‎[最新考纲]‎ ‎1．了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．‎ ‎3．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1．曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数 并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数．‎ ‎2．一些常见曲线的参数方程 ‎(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(3)椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(4)抛物线方程y2＝2px(p＞0)的参数方程为(t为参数)．‎ 诊 断 自 测 ‎1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是________．‎ ‎①直线、直线；②直线、圆；③圆、圆；④圆、直线．‎ 解析　∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝代入到ρ＝cos θ，得ρ＝，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．又∵相加得x＋y＝1，表示直线．‎ 答案　④‎ ‎2．若直线(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.‎ 解析　参数方程所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直线4x＋ky＝1垂直可得－×＝－1，解得k＝－6.‎ 答案　－6‎ ‎3．(2018·北京卷)直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．‎ 解析　直线方程可化为x＋y－1＝0，曲线方程可化为x2＋y2＝9，圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝＜3.∴直线与圆相交有两个交点．‎ 答案　2‎ ‎4．已知直线l：(t为参数)上到点A(1,2)的距离为4的点的坐标为________．‎ 解析　设点Q(x，y)为直线上的点，‎ 则|QA|＝ ‎＝＝4，‎ 解之得，t＝±2，所以Q(－3,6)或Q(5，－2)．‎ 答案　(－3,6)和(5，－2)‎ ‎5．(2018·广东卷)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．‎ 解析　由ρ＝2cos θ知，ρ2＝2ρcos θ 所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，‎ 故其参数方程为(θ为参数)．‎ 答案　(θ为参数)‎ 考点一　参数方程与普通方程的互化 ‎【例1】 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线；‎ ‎(1)(t为参数)；‎ ‎(2)(t为参数)；‎ ‎(3)(t为参数)．‎ 解　(1)由x＝1＋t得t＝2x－2.‎ ‎∴y＝2＋(2x－2)．‎ ‎∴x－y＋2－＝0，此方程表示直线．‎ ‎(2)由y＝2＋t得t＝y－2，∴x＝1＋(y－2)2.‎ 即(y－2)2＝x－1，此方程表示抛物线．‎ ‎(3) ‎∴①2－②2得x2－y2＝4，此方程表示双曲线．‎ 规律方法 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．‎ ‎【训练1】 将下列参数方程化为普通方程．‎ ‎(1)(θ为参数)；‎ ‎(2)(t为参数)．‎ 解　(1)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，‎ 得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]，‎ 得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．‎ ‎(2)由参数方程得et＝x＋y，e－t＝x－y，‎ ‎∴(x＋y)(x－y)＝1，即x2－y2＝1.‎ 考点二　直线与圆参数方程的应用 ‎【例2】 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.‎ 解　(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ.‎ ‎∴x2＋y2＝2y，即x2＋(y－)2＝5.‎ ‎(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程．‎ 得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.‎ 由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，‎ 所以 又直线l过点P(3，)，‎ 故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.‎ 规律方法 (1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2)．‎ ‎(2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．‎ ‎【训练2】 已知直线l的参数方程为(参数t∈R)，圆 C的参数方程为(参数θ∈[0,2π])，求直线l被 ‎ 圆C所截得的弦长．‎ 解　由消参数后得普通方程为2x＋y－6＝0，‎ 由消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝0的距离为d＝＝，‎ 所以所求弦长为2 ＝.‎ 考点三　极坐标、参数方程的综合应用 ‎【例3】 已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.‎ ‎(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；‎ ‎(2)求直线AM的参数方程．‎ 解　(1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为.‎ ‎(2)点M的直角坐标为，A(1,0)．‎ 故直线AM的参数方程为(t为参数)．‎ 规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎【训练3】 (2018·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为(，)，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝a，且点A在直线l上．‎ ‎(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．‎ 解　(1)由点A(，)在直线ρcos(θ－)＝a上，可得a＝.‎ 所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，‎ 从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.‎ ‎(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，‎ 所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，‎ 因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，‎ 所以直线l与圆C相交.‎ 转化思想在解题中的应用 ‎【典例】 已知圆锥曲线(θ是参数)和定点A(0, )，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点．‎ ‎(1)求经过点F1且垂直于直线AF2的直线l的参数方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2‎ 的极坐标方程．‎ ‎[审题视点]　(1)先将圆锥曲线参数方程化为普通方程，求出F1的坐标，然后求出直线的倾斜角度数，再利用公式就能写出直线l的参数方程．(2)直线AF2是已知确定的直线，利用求极坐标方程的一般方法求解．‎ 解　(1)圆锥曲线化为普通方程＋＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)，则直线AF2的斜率k＝－，于是经过点F1且垂直于直线AF2的直线l的斜率k′＝，直线l的倾斜角是30°，‎ 所以直线l的参数方程是(t为参数)，‎ 即(t为参数)．‎ ‎(2)直线AF2的斜率k＝－，倾斜角是120°，‎ 设P(ρ，θ)是直线AF2上任一点，‎ 则＝，ρsin(120°－θ)＝sin 60°，‎ 则ρsin θ＋ρcos θ＝.‎ ‎[反思感悟]　(1)本题考查了极坐标方程和参数方程的求法及应用．重点考查了转化与化归能力．(2)当用极坐标或参数方程研究问题不很熟练时，可以转化成我们比较熟悉的普通方程求解．(3)本题易错点是计算不准确，极坐标方程求解错误．‎ ‎【自主体验】‎ 已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．‎ 解　将直线l的参数方程(t为参数)转化为普通方程为x＋2y＝0，因为P为椭圆＋y2＝1上任意一点，‎ 故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R.‎ 因此点P到直线l的距离 d＝＝.‎ 所以当θ＝kπ＋，k∈Z时，‎ d取得最大值.‎