- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
2019版一轮复习理数通用版高考达标检测(二十八) 基本不等式
高考达标检测(二十八) 基本不等式 一、选择题 1.“a>0,b>0”是“ab< a+b 2 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 D 因为当 a>0,b>0 时, a+b 2 2≥ab, 所以当 a=b 时,“ab< a+b 2 2”不成立, 当“ab< a+b 2 2”时,a,b 可以异号,所以“a>0,b>0”不一定成立, 故“a>0,b>0”是“ab< a+b 2 2”的既不充分也不必要条件. 2.已知向量 a=(3,2),b=(x,1-y)且 a∥b,若 x,y 均为正数,则3 x +2 y 的最小值是( ) A.24 B.8 C.8 3 D.5 3 解析:选 B ∵a=(3,2),b=(x,1-y)且 a∥b, ∴3(1-y)=2x,即 2x+3y=3. ∴2 3x+y=1, ∴3 x +2 y = 3 x +2 y 2 3x+y =2+2+3y x +4x 3y ≥4+2 3y x ·4x 3y =8, 当且仅当 x=3 4 ,y=1 2 时取等号, 故3 x +2 y 的最小值是 8. 3.若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,则 1 a +1 b 的最小值为( ) A.3 2 + 2 B. 2 C.1 4 D.3 2 +2 2 解析:选 A 因为直线 ax-by+2=0 被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,圆 的圆心为(-1,2),半径为 2,所以直线 ax-by+2=0 过圆心(-1,2),则有 a+2b=2,所以 1 a +1 b =1 2(a+2b) 1 a +1 b =1 2 3+2b a +a b ≥3 2 + 2,当且仅当2b a =a b 时,等号成立.故1 a +1 b 的最小 值为3 2 + 2. 4.(2018·开封摸底考试)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( ) A.3 B.4 C.9 2 D.11 2 解析:选 B 由题意得 x+2y=8-x·2y≥8- x+2y 2 2,当且仅当 x=2y 时,等号成立, 整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,即(x+2y-4)(x+2y+8)≥0,又 x+2y>0,所以 x+2y≥4, 所以 x+2y 的最小值为 4. 5.设 x>0,y>0 且 x+4y=40,则 lg x+lg y 的最大值是( ) A.40 B.10 C.4 D.2 解析:选 D ∵x>0,y>0 且 x+4y=40,∴40≥2 x·4y,即 xy≤100,当且仅当 x=4y =20 时取等号.则 lg x+lg y=lg(xy)≤lg 100=2,因此其最大值是 2. 6.不等式 x2+2x1,b>2, 则 2 a-1 + 1 b-2 ≥2 2 a-1 · 1 b-2 =2 2 ab-2a-b+2 =2, 当且仅当 2 a-1 = 1 b-2 ,即 a=b=3 时,等号成立,故 2 a-1 + 1 b-2 的最小值为 2. 8.(2018·洛阳统考)若正实数 x,y,z 满足 x2+4y2=z+3xy,则当xy z 取最大值时,1 x + 1 2y -1 z 的最大值为( ) A.2 B.3 2 C.1 D.1 2 解析:选 D ∵z=x2+4y2-3xy,x,y,z∈(0,+∞), ∴xy z = xy x2+4y2-3xy = 1 x y +4y x -3 ≤1(当且仅当 x=2y 时等号成立), 此时1 x + 1 2y -1 z =1 y - 1 2y2 ,令1 y =t>0, 则1 x + 1 2y -1 z =t-1 2t2=-1 2(t-1)2+1 2 ≤1 2(当且仅当 t=1 时等号成立). 二、填空题 9.已知 a>0,b>0,圆 C:(x-2)2+(y+1)2=5 关于直线 ax-by-1=0 对称,则3 b +2 a 的 最小值为________. 解析:由 a>0,b>0,圆 C:(x-2)2+(y+1)2=5 关于直线 ax-by-1=0 对称, 可得 2a+b-1=0, 所以3 b +2 a = 3 b +2 a (2a+b)=6a b +2b a +7≥2 6a b ·2b a +7=4 3+7, 当且仅当6a b =2b a 且 2a+b-1=0,即 a=2- 3,b=2 3-3 时取等号. 故3 b +2 a 的最小值为 7+4 3. 答案:7+4 3 10.(2018·湖南长郡中学月考)设正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2 017=4 034, 则 1 a9 + 9 a2 009 的最小值为________. 解析:由等差数列的前 n 项和公式,得 S2 017=2 017a1+a2 017 2 =4 034, 则 a1+a2 017=4.由等差数列的性质得 a9+a2 009=4, 所以 1 a9 + 9 a2 009 =1 4 4 a9 +9×4 a2 009 =1 4 a9+a2 009 a9 +9a9+a2 009 a2 009 =1 4 a2 009 a9 + 9a9 a2 009 +10≥1 4 2 a2 009 a9 × 9a9 a2 009 +10 =4, 当且仅当 a2 009=3a9 时等号成立.故 1 a9 + 9 a2 009 的最小值为 4. 答案:4 11.如图,动点 A 在函数 y=1 x(x<0)的图象上,动点 B 在函数 y= 2 x(x>0)的图象上,过点 A,B 分别向 x 轴,y 轴作垂线,垂足分别为 A1,A2,B1,B2,若|A1B1|=4,则|A2B2|的最小值为________. 解析:设 A a,1 a ,B b,2 b ,a<0,b>0, 因为|A1B1|=4,所以 b-a=4, 故|A2B2|=2 b -1 a =1 4 [b+-a]· 2 b + 1 -a =1 4 3+-2a b + b -a ≥1 4(3+2 2), 当且仅当 b2=2a2,即 a=4-4 2,b=8-4 2时,|A2B2|取得最小值3+2 2 4 . 答案:3+2 2 4 12.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元/ 次,一年的总存储费用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是 ________. 解析:由题意,一年购买600 x 次,则总运费与总存储费用之和为600 x ×6+4x= 4 900 x +x ≥8 900 x ·x=240,当且仅当 x=30 时取等号,故总运费与总存储费用之和最小 时 x 的值是 30. 答案:30 三、解答题 13.已知 x>0,y>0,且 x+8y-xy=0. (1)当 x,y 分别为何值时,xy 取得最小值? (2)当 x,y 分别为何值时,x+y 取得最小值? 解:(1)∵x>0,y>0,且 x+8y-xy=0, ∴xy=x+8y≥4 2xy,当且仅当 x=8y,即 x=16,y=2 时取等号, ∴xy≥32. ∴xy 的最小值为 32. (2)∵x+8y-xy=0,∴8 x +1 y =1, ∴x+y=(x+y) 8 x +1 y =9+x y +8y x ≥9+4 2,当且仅当x y =8y x ,即 y=1+2 2,x=8+ 2 2时取等号. 因此 x+y 的最小值为 9+4 2. 14.某工地决定建造一批房型为长方体、房高为 2.5 m 的简易房,房的前后墙用 2.5 m 高的彩色钢板,两侧墙用 2.5 m 高的复合钢板.两种钢板的价格都用长度来计算(即:钢板 的高均为 2.5m.用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格).已知彩色钢板每米单价为 450 元.复合钢板每米单价为 200 元,房的地面不需另买材料,房顶用其他材料建造,每平 方米材料费 200 元,每套房的材料费控制在 32 000 元以内. (1)设房前面墙的长为 x(m),两侧墙的长为 y(m),建造一套房所需材料费为 P(元),试 用 x,y 表示 P; (2)试求一套简易房面积 S 的最大值是多少?当 S 最大时,前面墙的长度应设计为多少 米? 解:(1)依题得,P=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy, 即 P=900x+400y+200xy. (2)∵S=xy,∴P=900x+400y+200xy≥2 900×400S+200S=200S+1 200 S, 又因为 P≤32 000,所以 200S+1 200 S≤32 000, 解得 0< S≤10, ∴0查看更多