【数学】2020届一轮复习人教B版同角三角函数基本关系式及诱导公式学案

【数学】2020届一轮复习人教B版同角三角函数基本关系式及诱导公式学案

‎§5.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解同角三角函数的基本关系.‎ ‎2.掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.‎ 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力．题型为选择题和填空题，低档难度.‎ ‎1．同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)商数关系：＝tanα.‎ ‎2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sinα ‎－sinα ‎－sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα ‎－cosα cosα ‎－cosα sinα ‎－sinα 正切 tanα tanα ‎－tanα ‎－tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 概念方法微思考 ‎1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？‎ 提示　根据角所在象限确定三角函数值的符号．‎ ‎2．诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？‎ 提示　所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)‎ ‎(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　×　)‎ ‎(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(　×　)‎ ‎(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sinα＝.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P19例6]若sinα＝，<α<π，则tanα＝.‎ 答案　－ 解析　∵<α<π，‎ ‎∴cosα＝－＝－，‎ ‎∴tanα＝＝－.‎ ‎3．[P22B组T3]已知tanα＝2，则的值为．‎ 答案　3‎ 解析　原式＝＝＝3.‎ ‎4．[P28T7]化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．‎ 答案　－sin2α 解析　原式＝·(－sinα)·cosα＝－sin2α.‎ 题组三　易错自纠 ‎5．已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则sinθ－cosθ的值为．‎ 答案　－ 解析　∵sinθ＋cosθ＝，∴sinθcosθ＝.‎ 又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝，θ∈，‎ ‎∴sinθ－cosθ＝－.‎ ‎6．已知α为锐角，cos＝，则cos(π＋α)＝.‎ 答案　－ 解析　∵cos＝sinα＝，且α为锐角，∴cosα＝，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－.‎ ‎7．已知cosα＝，－<α<0，则的值为．‎ 答案　 解析　∵－<α<0，‎ ‎∴sinα＝－＝－，∴tanα＝－2.‎ 则＝ ‎＝－＝＝.‎ 题型一　同角三角函数基本关系式的应用 ‎1．已知α是第四象限角，sinα＝－，则tanα等于(　　)‎ A．－B.C．－D. 答案　C 解析　因为α是第四象限角，sinα＝－，‎ 所以cosα＝＝，‎ 故tanα＝＝－.‎ ‎2．若tanα＝，则cos2α＋2sin2α等于(　　)‎ A. B. C．1 D. 答案　A 解析　tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝.‎ ‎3．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为(　　)‎ A．3B．－3C．1D．－1‎ 答案　B 解析　由角α的终边落在第三象限，‎ 得sinα<0，cosα<0，‎ 故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.‎ ‎4．已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα等于(　　)‎ A．－1B．－C.D．1‎ 答案　A 解析　由 消去sinα，得2cos2α＋2cosα＋1＝0，‎ 即(cosα＋1)2＝0，∴cosα＝－.‎ 又α∈(0，π)，∴α＝，‎ ‎∴tanα＝tan＝－1.‎ 思维升华 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．‎ ‎(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．‎ ‎(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.‎ 题型二　诱导公式的应用 例1(1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)‎ A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}‎ C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}‎ 答案　C 解析　当k为偶数时，A＝＋＝2；‎ 当k为奇数时，A＝－＝－2.‎ 所以由A的值构成的集合是{2，－2}．‎ ‎(2)化简：＝.‎ 答案　－1‎ 解析　原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝－＝－·＝－1.‎ 思维升华(1)诱导公式的两个应用 ‎①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．‎ ‎②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．‎ ‎(2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.‎ 跟踪训练1(1)已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为．‎ 答案　－ 解析　原式＝＝tanα，‎ 根据三角函数的定义得tanα＝－.‎ ‎(2)已知f(α)＝(sinα≠0,1＋2sinα≠0)，则f＝.‎ 答案　 解析　∵f(α)＝ ‎＝＝＝，‎ ‎∴f＝＝ ‎＝＝.‎ 题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 例2已知cos＝，且－π<α<－，则cos等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　因为＋＝，‎ 所以cos＝sin＝sin.‎ 因为－π<α<－，所以－<α＋<－.‎ 又cos＝>0，所以－<α＋<－，‎ 所以sin＝－ ‎＝－＝－.‎ ‎(2)已知－π0，∴sinx－cosx<0，‎ 故sinx－cosx＝－.‎ ‎②＝ ‎＝ ‎＝＝－.‎ 引申探究 本例(2)中若将条件“－π0，cosx<0，‎ ‎∴sinx－cosx>0，故sinx－cosx＝.‎ 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．‎ ‎(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．‎ 跟踪训练2(1)已知角θ的终边在第三象限，tan2θ＝－2，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ等于(　　)‎ A．－B.C．－D. 答案　D 解析　由tan2θ＝－2可得tan2θ＝＝－2，‎ 即tan2θ－tanθ－＝0，‎ 解得tanθ＝或tanθ＝－.‎ 又角θ的终边在第三象限，故tanθ＝，‎ 故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ ‎＝sin2θ＋sinθcosθ－cos2θ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)已知sinα＝，则tan(π＋α)＋＝.‎ 答案　或－ 解析　∵sinα>0，∴α为第一或第二象限角，‎ tan(α＋π)＋＝tanα＋ ‎＝＋＝.‎ ‎①当α是第一象限角时，cosα＝＝，‎ 原式＝＝；‎ ‎②当α是第二象限角时，cosα＝－＝－，‎ 原式＝＝－.‎ 综合①②知，原式＝或－.‎ ‎1．(2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)已知α为第三象限角，且tanα＝，则sinα＋cosα等于(　　)‎ A．－B．－C.D. 答案　A 解析　因为α为第三象限角，所以sinα<0，cosα<0，由tanα＝＝，sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝－，‎ cosα＝－，所以sinα＋cosα＝－.故选A.‎ ‎2．(2018·舟山模拟)已知cos31°＝a，则sin239°·tan149°的值是(　　)‎ A. B. C. D．－ 答案　B 解析　sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝.‎ ‎3．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)‎ A．－B．－C.D. 答案　D 解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，‎ ‎∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝.又∵|θ|<，∴θ＝.‎ ‎4．已知α∈，且cosα＝－，则等于(　　)‎ A.B．－C.D．－ 答案　C 解析　∵α∈，且cosα＝－，‎ ‎∴sinα＝＝，‎ 则＝＝＝.‎ ‎5．已知tanθ＝2，则的值为(　　)‎ A.B．1C．－D．－1‎ 答案　B 解析　∵tanθ＝2，‎ ‎∴＝＝＝1.‎ ‎6．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)等于(　　)‎ A.B．－C.D．－ 答案　D 解析　由已知sin＝，得cosα＝，‎ ‎∵α∈，∴sinα＝，∴sin(π＋α)＝－sinα＝－.‎ ‎7．若θ∈，则等于(　　)‎ A．sinθ－cosθ B．cosθ－sinθ C．±(sinθ－cosθ) D．sinθ＋cosθ 答案　A 解析　因为 ‎＝＝ ‎＝|sinθ－cosθ|，‎ 又θ∈，所以sinθ－cosθ>0，‎ 所以原式＝sinθ－cosθ.故选A.‎ ‎8．已知sinx＋cosx＝，x∈(0，π)，则tanx等于(　　)‎ A．－B.C.D．－ 答案　D 解析　由题意可知sinx＋cosx＝，x∈(0，π)，则(sinx＋cosx)2＝，因为sin2x＋cos2x＝1，‎ 所以2sinxcosx＝－，即＝＝－，得tanx＝－或tanx＝－.当tanx＝－时，sinx＋cosx<0，不合题意，舍去，所以tanx＝－.故选D.‎ ‎9．(2018·浙江名校协作体联考)已知sin·cos＝，且0<α<，则sinα＝，cosα＝.‎ 答案　　 解析　因为sin＝－cosα，cos ‎＝cos＝－sinα，所以cosαsinα＝，‎ 因为0<α<，所以cosα>sinα>0.因为(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝，所以cosα－sinα＝，①‎ 又(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝，‎ 所以cosα＋sinα＝，②‎ 由①②得sinα＝，cosα＝.‎ ‎10．sinπ·cosπ·tan的值是．‎ 答案　－ 解析　原式＝sin·cos·tan ‎＝·· ‎＝××(－)＝－.‎ ‎11．已知0<α<，若cosα－sinα＝－，则的值为．‎ 答案　 解析　因为cosα－sinα＝－，①‎ 所以1－2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝.‎ 所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝.‎ 又0<α<，所以sinα＋cosα>0.‎ 所以sinα＋cosα＝.②‎ 由①②得sinα＝，cosα＝，tanα＝2，‎ 所以＝.‎ ‎12．已知k∈Z，化简：＝.‎ 答案　－1‎ 解析　当k＝2n(n∈Z)时，‎ 原式＝ ‎＝ ‎＝＝－1；‎ 当k＝2n＋1(n∈Z)时，‎ 原式＝ ‎＝＝＝－1.‎ 综上，原式＝－1.‎ ‎13．已知α为第二象限角，则cosα＋sinα＝.‎ 答案　0‎ 解析　原式＝cosα＋sinα ‎＝cosα＋sinα，‎ 因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，‎ 所以cosα＋sinα＝－1＋1＝0，‎ 即原式等于0.‎ ‎14．已知A，B为△ABC的两个内角，若sin(2π＋A)＝－·sin(2π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求B的值．‎ 解　由已知得 化简得2cos2A＝1，即cosA＝±.当cosA＝时，cosB＝，又A，B是三角形内角，∴B＝；当cosA＝－时，cosB＝－，又A，B是三角形内角，∴A＝，B＝，不合题意，舍去，综上可知B＝.‎ ‎15．已知α，β∈，且sin(π－α)＝cos.‎ cos(－α)＝－cos(π＋β)，求α，β.‎ 解　由已知可得 ‎∴sin2α＋3cos2α＝2，‎ ‎∴sin2α＝，又α∈，‎ ‎∴sinα＝，α＝.‎ 将α＝代入①中得sinβ＝，又β∈，‎ ‎∴β＝，‎ 综上α＝，β＝.‎ ‎16．已知cos＋sin＝1.‎ 求cos2＋cosβ－1的取值范围．‎ 解　由已知得cosβ＝1－sinα.‎ ‎∵－1≤cosβ≤1，‎ ‎∴－1≤1－sinα≤1，‎ 又－1≤sinα≤1，‎ 可得0≤sinα≤1，‎ ‎∴cos2＋cosβ－1‎ ‎＝sin2α＋1－sinα－1＝sin2α－sinα ‎＝2－.(*)‎ 又0≤sinα≤1，‎ ‎∴当sinα＝时，(*)式取得最小值－，‎ 当sinα＝0或sinα＝1时，(*)式取得最大值0，‎ 故所求范围是.‎