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文档介绍
2019版一轮复习理数通用版“解三角形”双基过关检测
“解三角形”双基过关检测 一、选择题 1.已知△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶3,则此三角形的最大内角为( ) A.60° B.90° C.120° D.135° 解析:选 C ∵sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶3, ∴a∶b∶c=1∶1∶3,设 a=m,则 b=m,c= 3m. ∴cos C=a2+b2-c2 2ab = m2+m2-3m2 2m2 =- 1 2 , ∴C=120°. 2.在△ABC中,已知 b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( ) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定 解析:选 C 由正弦定理得 b sin B = c sin C , ∴sin B=bsin C c = 40× 3 2 20 = 3>1. ∴角 B不存在,即满足条件的三角形不存在. 3.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 c=2a,b=4,cos B=1 4 . 则 c的值为( ) A.4 B.2 C.5 D.6 解析:选 A ∵c=2a,b=4,cos B=1 4 , ∴由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 即 16=1 4 c2+c2-1 4 c2=c2, 解得 c=4. 4.已知△ABC中,内角 A,B,C所对边分别为 a,b,c,若 A=π 3 ,b=2acos B,c= 1,则△ABC的面积等于( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 6 D. 3 8 解析:选 B 由正弦定理得 sin B=2sin Acos B, 故 tan B=2sin A=2sinπ 3 = 3,又 B∈(0,π),所以 B=π 3 , 又 A=B=π 3 ,则△ABC是正三角形, 所以 S△ABC= 1 2 bcsin A=1 2 ×1×1× 3 2 = 3 4 . 5.(2018·湖南四校联考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 (a2+b2-c2)tan C=ab,则角 C的大小为( ) A.π 6 或 5π 6 B.π 3 或 2π 3 C.π 6 D.2π 3 解析:选 A 由题意知, a2+b2-c2 2ab = 1 2tan C ⇒cos C= cos C 2sin C ,sin C=1 2 , 又 C∈(0,π),∴C=π 6 或 5π 6 . 6.已知 A,B两地间的距离为 10 km,B,C两地间的距离为 20 km,现测得∠ABC= 120°,则 A,C两地间的距离为( ) A.10 km B.10 3 km C.10 5 km D.10 7 km 解析:选 D 如图所示, 由余弦定理可得,AC2=100+400-2×10×20×cos 120°=700, ∴AC=10 7(km). 7.(2018·贵州质检)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c2= (a-b)2+6,C=π 3 ,则△ABC的面积是( ) A.3 B.9 3 2 C.3 3 2 D.3 3 解析:选 C ∵c2=(a-b)2+6, ∴c2=a2+b2-2ab+6.① ∵C=π 3 ,∴c2=a2+b2-2abcos π 3 =a2+b2-ab.② 由①②得-ab+6=0,即 ab=6. ∴S△ABC= 1 2 absin C=1 2 ×6× 3 2 = 3 3 2 . 8.一艘海轮从 A处出发,以每小时 40 n mile 的速度沿南偏东 40°的方向直线航行,30 分钟后到达 B处,在 C处有一座灯塔,海轮在 A处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C两点间的距离是( ) A.10 2 n mile B.10 3 n mile C.20 3 n mile D.20 2 n mile 解析:选 A 画出示意图如图所示, 易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°, 根据正弦定理得 BC sin 30° = AB sin 45° ,解得 BC=10 2. 故 B,C两点间的距离是 10 2 n mile. 二、填空题 9.在△ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且 a=2,cos C=- 1 4 ,3sin A =2sin B,则 c=________. 解析:因为 3sin A=2sin B,所以由正弦定理可得 3a=2b,则 b=3, 由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcos C=4+9-2×2×3× - 1 4 =16,则 c=4. 答案:4 10.在△ABC 中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.若角 A,B,C成等差数列, 且边 a,b,c成等比数列,则△ABC的形状为________. 解析:∵在△ABC中,角 A,B,C成等差数列, ∴2B=A+C,由三角形内角和定理,可得 B=π 3 , 又∵边 a,b,c成等比数列,∴b2=ac, 由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accos B, ∴ac=a2+c2-ac,即 a2+c2-2ac=0, 故(a-c)2=0,可得 a=c, 所以△ABC的形状为等边三角形. 答案:等边三角形 11.已知△ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且 a=x,b=2,B=45°, 若三角形有两解,则 x的取值范围为________. 解析:由 AC=b=2,要使三角形有两解,就是要使以 C 为圆心,以 2 为半径的圆与 AB有两个交点,当 A=90°时,圆与 AB相切,只有一解;当 A=45°时,交于 B点,也就 是只有一解,所以要使三角形有两解,需满足 45°查看更多
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