【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第12讲函数模型及其应用作业
课时作业(十二) 第12讲 函数模型及其应用
时间 / 45分钟 分值 / 90分
基础热身
1.某公司招聘员工,面试对象人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=4x,1≤x≤10,2x+10,10
100,其中x代表拟录用人数,y代表面试对象人数.若面试对象人数为60,则该公司拟录用人数为 ( )
A.15 B.40
C.25 D.70
2.某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售16辆这种品牌的车,则能获得的最大总利润是 ( )
A.10.5万元 B.11万元
C.43万元 D.43.025万元
3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了一组实验数据(如下表),现准备用下列四个函数中的一个来近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
x
1.992
3
4
5.51
6.126
y
1.517
4.041 8
7.5
12
18.01
A.y=2x-2 B.y=12(x2-1)
C.y=log2x D.y=log12x
4.某工厂产生的废气经过过滤后排放,在过滤过程中,污染物的含量p(单位:毫克/升)不断减少,已知p与时间t(单位:小时)满足p=p02-t30,其中p0为t=0时的污染物含量.又测得当t从0到30时,污染物含量的平均变化率是-10ln 2,则当t=60时,p= ( )
A.150 B.300
C.150ln 2 D.300ln 2
5.[2018·成都七中模拟] 某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系式y=ekx+b(e为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃时的保鲜时间是192小时,在22 ℃时的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃时的保鲜时间是 小时.
能力提升
6.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与产量x的关系式为R=400x-12x2,0≤x≤400,80 000,x>400,则总利润最大时,生产的产品为 ( )
A.100单位 B.150单位
C.200单位 D.300单位
7.气象学院用32万元购置了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用,第n天的维修保养费为4n+46(n∈N*)元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止,则一共要使用 ( )
A.300天 B.400天
C.600天 D.800天
8.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量(单位:cm3)为y=ae-bt,经过8 min后发现容器内还有一半的细沙,则当容器内的细沙只有开始时的八分之一时,又经过的时间为 ( )
A.8 min B.16 min
C.24 min D.32 min
9.[2018·北京东城区期中] 光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y,则经过x块这样的玻璃后光线强度y=k·0.9x,若光线强度能减弱到原来的14以下,则至少通过这样的玻璃(lg 3≈0.477,lg 2≈0.3)( )
A.12块 B.13块
C.14块 D.15块
图K12-1
10.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图K12-1),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,则截取的矩形铁片面积的最大值为 .
11.某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是y=k·ax(a>0且a≠1,x∈N*).若商品上架第1天的价格为96元,上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为 元.
12.(10分)在十九大报告中提出的新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略,包括“坚持人与自然和谐共生,加快生态文明体制改革,建设美丽中国”.目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩,将严重影响生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.十九大后,某行业计划从2018年开始,每年的产能比上一年减少的百分比为x(0100时,y>150.因此所求人数x∈(10,100],由2x+10=60,得x=25,故选C.
2.C [解析] 依题意,设在A地销售x辆车,则在B地销售(16-x)辆车,所以总利润y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1(x-10.5)2+0.1×10.52+32,因为x∈[0,16]且x∈N,所以当x=10或11时,ymax=43.故选C.
3.B [解析] 由y随x的变化趋势知,函数在(0,+∞)上是增函数,且y的增长速度随x的增大越来越快.A中函数增长速度不变,C中函数是增长速度逐渐变慢的函数,D中函数是减函数,故排除A,C,D,易知B中函数最符合题意.
4.C [解析] 因为当t∈[0,30]时,污染物含量的平均变化率是-10ln 2,所以-10ln 2=12p0-p030-0,所以p0=600ln 2,所以当t=60时,p=600ln 2×2-2=150ln 2.
5.24 [解析] 由题意知192=eb,48=e22k+b,∴e22k=14,∴当x=33时,y=e33k+b=192×1432=24.
6.D [解析] 设总成本为C元,总利润为P元,则C=20 000+100x,
则P=R-C=300x-x22-20 000,0≤x≤400,60 000-100x,x>400.
当0≤x≤400时,P=-12x2+300x-20 000=-12(x-300)2+25 000,x=300时,P取得最大值25 000;
当x>400时,P<20 000.
所以当x=300时,P取得最大值,故选D.
7.B [解析] 使用n天的平均耗资为320 000+(50+4n+46)n2n=320 000n+2n+48(元),当且仅当320 000n=2n时取得最小值,此时n=400.
8.B [解析] 依题意有ae-8b=12a,即e-8b=12,两边取对数,得-8b=ln12=-ln 2,∴b=ln28,∴y=ae-ln28t.当容器内的细沙只有开始时的八分之一时,则有ae-ln28t=18a,∴e-ln28t=18,两边取对数,得-ln28t=ln18=-3ln 2,∴t=24,∴又经过的时间为24-8=16(min).故选B.
9.C [解析] 由题意知0.9xklg14lg0.9=-2lg22lg3-1≈13.04,
又x∈N*,
∴至少通过14块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的14以下.故选C.
10.180 [解析] 依题意知20-x20=y-824-8,即x=54(24-y)(8≤y<24),
所以阴影部分的面积S=xy=54(24-y)·y=54(-y2+24y)=-54(y-12)2+180,
当y=12时,S取得最大值180,故答案为180.
11.40.5 [解析] 由题意可得方程组k×a1=96,k×a3=54,结合a>0且a≠1,可得a=34,k=128,
则y=128×34x,则该商品上架第4天的价格为128×344=812=40.5(元).
12.解:(1)依题意得(1-x)n=a,
即1-x=na,即x=1-na(n∈N*).
(2)由题得(1-10%)n≤25%,即910n≤14,
则nlg910≤lg14,即n(2lg 3-1)≤-2lg 2,
则n≥2lg21-2lg3,又2lg21-2lg3≈13.09,n∈N*,∴n的最小值为14.
故至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.
13.解:(1)依题意知,当n=2时,y=1800;当n=5时,y=6000,
则1800=2k+b,6000=5k+b,解得k=1400,b=-1000,
所以y=0,n=1,1400n-1000,n≥2且n∈N*.
(2)记使用n年,年平均收益为W元,
则当n≥2时,W=60 000-1n[137 600+1400(2+3+…+n)-1000(n-1)]=60 000-1n137 600+1400×(n-1)(n+2)2-1000(n-1)=60 000-1n(137 200+700n2-300n)=60 300-700n+137 200n≤60 300-2700n·137 200n=40 700,
当且仅当700n=137 200n,即n=14时取等号,
所以这台收割机使用14年可使年平均收益最大.
14.解:(1)由已知条件得100=a4,解得a=50,
所以y=50x(1≤x≤16,x∈N*),
所以M=mx-5x-50x+50(1≤x≤16,x∈N*).
(2)由题意知,0≤M≤150,所以mx-5x-50x+50≥0,mx-5x-50x+50≤150(1≤x≤16,x∈N*)恒成立,
即m≥-50x+50x+5,m≤100x+50x+5(1≤x≤16,x∈N*)恒成立.
设t=1x,则14≤t≤1,
所以m≥-50t2+50t+5,m≤100t2+50t+514≤t≤1恒成立.
由m≥-50t2+50t+5=-50t-122+35214≤t≤1恒成立,
得m≥352当t=12,即x=4时取等号;
由m≤100t2+50t+5=100t+142-5414≤t≤1恒成立,
得m≤954当t=14,即x=16时取等号.
所以m的取值范围是352,954.
