【数学】2020届一轮复习北师大版绝对值不等式学案

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【数学】2020届一轮复习北师大版绝对值不等式学案

选修4－5　不等式选讲 第一节　绝对值不等式 ‎[考纲传真]　1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.‎ ‎1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎2．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解法：‎ 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x＞a或x＜－a}‎ ‎{x∈R|x≠0}‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：‎ ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解；‎ ‎②利用零点分段法求解；‎ ‎③构造函数，利用函数的图像求解．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b 的距离之和． (　　)‎ ‎(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0． (　　)‎ ‎(3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0． (　　)‎ ‎(4)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立． (　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．设a，b为满足ab＜0的实数，那么(　　)‎ A．|a＋b|＞|a－b|　 B．|a＋b|＜|a－b|‎ C．|a－b|＜||a|－|b|| D．|a－b|＜|a|＋|b|‎ B　[∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|.]‎ ‎3．不等式1<|x＋1|<3的解集为(　　)‎ A．(0,2)　　　 B．(－2,0)∪(2,4)‎ C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)‎ D　[原不等式等价于11的解集．‎ ‎[解]　(1)由题意得f(x)＝ 故y＝f(x)的图像如图所示．‎ ‎(2)由f(x)的函数表达式及图像可知，‎ 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.‎ 故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，‎ f(x)＜－1的解集为.‎ 所以|f(x)|＞1的解集为x或1＜x＜3或x＞5.‎ ‎[规律方法]　1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形结合的思想．‎ ‎2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集．此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解．‎ 绝对值三角不等式的应用 ‎【例1】　(1)若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值．‎ ‎[解]　因为|2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)|≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，‎ 所以|2x＋3y＋1|的最大值为7.‎ ‎(2)若a≥2，x∈R，求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.‎ ‎[证明]　因为|x－1＋a|＋|x－a|≥|(x－1＋a)－(x－a)|＝|2a－1|，‎ 又a≥2，故|2a－1|≥3，‎ 所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3成立．‎ ‎[规律方法]　利用绝对值三角不等式求最值(或证明)‎ ‎(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件是要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．‎ 对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．‎ ‎(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．‎ ‎ 已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜.求证：|y|＜.‎ ‎[证明]　因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，‎ 由题设知|x＋y|＜，|2x－y|＜，‎ 从而3|y|＜＋＝，所以|y|＜.‎ 绝对值不等式的综合应用 ‎【例2】　已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.‎ 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.‎ 所以f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．‎ ‎(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，‎ 所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①‎ 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．‎ 当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是[2，＋∞)．‎ ‎[规律方法]　设函数f(x)中含有绝对值，则 ‎(1)f(x)＞a有解⇔f(x)max＞a.‎ ‎(2)f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a.‎ ‎(3)f(x)＞a恰在(c，b)上成立⇔c，b是方程f(x)＝a的解．‎ ‎ (2019·郑州第二次质量预测)已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a.‎ ‎(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；‎ ‎(2)若存在x∈R，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)，得|2x＋1|≥|x|.‎ 两边平方整理，得3x2＋4x＋1≥0，‎ 解得x≤－1或x≥－.‎ 所以原不等式的解集为(－∞，－1]∪.‎ ‎(2)由f(x)≤g(x)，得a≥|2x＋1|－|x|.‎ 令h(x)＝|2x＋1|－|x|，‎ 则h(x)＝ 由分段函数图像可知 h(x)min＝h＝－，‎ 从而所求实数a的取值范围为.‎ ‎1．(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝ 故不等式f(x)＞1的解集为.‎ ‎(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0,1)时，|ax－1|＜1成立．‎ 若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax－1|≥1；‎ 若a＞0，|ax－1|＜1的解集为0＜x＜，所以≥1，故0＜a≤2.综上，a的取值范围为(0,2]．‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝1时，f(x)＝ 可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．‎ ‎(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.‎ 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.‎ 由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．‎
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