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文档介绍
【数学】2018届一轮复习北师大版空间向量及其运算(理)教案
第六节 空间向量及其运算 [考纲传真] 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫作空间向量. (2)单位向量:对于任意一个非零向量a,把叫作向量a的单位向量,记作a0. (3)相等向量:方向相同且模相等的向量. (4)相反向量:方向相反而模相等的向量. (5)向量a,b的夹角:过空间任意一点O作向量a,b的相等向量和,则∠AOB叫作向量a,b的夹角,记作〈a,b〉,范围是[0,π]. ①当〈a,b〉=时,记作a⊥b; ②当〈a,b〉=0或π时,记作a∥b. (6)平行向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,则这些向量叫作平行向量或共线向量. 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理:空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb. (2)空间向量基本定理 如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面向量,a是空间任一向量,那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3,使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3. 3.两个向量的数量积 (1)非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos〈a,b〉. (2)空间向量数量积的运算律: ①交换律:a·b=b·a; ②分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. ③λ(a·b)=(λa)·b(λ∈R). 4.空间向量坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a·b=x1x2+y1y2+z1z2. (2)共线与垂直的坐标表示 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 则a∥b⇔a=λb⇔x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)(b≠0), a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0. (3)模和夹角公式 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). 则|a|==, cos〈a,b〉==(a≠0,b≠). 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a,b共面.( ) (2)对任意两个空间向量a,b,若a·b=0,则a⊥b.( ) (3)若a·b<0,则〈a,b〉是钝角.( ) (4)若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改编)如图761所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( ) 图761 A.-a+b+c B.a+b+c C.-a-b+c D.a-b+c A [=+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.] 3.(2017·福州模拟)O为空间任意一点,若=++,则A,B,C,P四点( ) A.一定不共面 B.一定共面 C.不一定共面 D.无法判断 B [由++=1知,A,B,C,P四点共面.] 4.(2014·广东高考)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是( ) A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) B [各选项给出的向量的模都是,|a|=. 对于选项A,设b=(-1,1,0),则cos 〈a,b〉===-.因为0°≤〈a,b〉≤180°,所以〈a,b〉=120°. 对于选项B,设b=(1,-1,0),则cos 〈a,b〉===.因为0° ≤〈a,b〉≤180°,所以〈a,b〉=60°,正确. 对于选项C,设b=(0,-1,1),则cos 〈a,b〉===-.因为0°≤〈a,b〉≤180°,所以〈a,b〉=120°. 对于选项D,设b=(-1,0,1),则cos 〈a,b〉===-1.因为0°≤〈a,b〉≤180°,所以〈a,b〉=180°.] 5.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(a+b)·(a-b)的值为________. 【导学号:57962349】 -13 [(a+b)·(a-b)=a2-b2=42+(-2)2+(-4)2-[62+(-3)2+22]=-13.] 空间向量的线性运算 如图762所示,在空间几何体ABCDA1B1C1D1中,各面为平行四边形,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量: 图762 (1); (2)+. [解] (1)因为P是C1D1的中点, 所以=++=a++ =a+c+=a+c+b. 5分 (2)因为M是AA1的中点, 所以=+=+ =-a+=a+b+c. 7分 因为N是BC的中点, 则=+=+ =+=c+a, 10分 所以+=+ =a+b+c. 12分 [规律方法] 1.(1)选择不共面的三个向量作为基向量,这是利用空间向量基本定理求解立体几何问题的前提. (2)用已知基向量表示指定向量时,应结合已知和所求向量观察图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算. 2.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. [变式训练1] 如图763所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=2,若=x+y+z,则x+y+z=________. 图763 [连接ON,设=a,=b,=c, 则=-=(+)- =b+c-a, =+=+ =a+=a+b+c. 又=x+y+z,所以x=,y=,z=, 因此x+y+z=++=.] 共线向量与共面向量定理的应用 (1)(2017·佛山模拟)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,且a与b反向,则λ+μ=________. (2)如图764所示,已知斜三棱柱ABCA1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足=k,=k(0≤k≤1). 图764 ①向量是否与向量,共面? ②直线MN是否与平面ABB1A1平行? (1)- [∵a∥b,且a与b反向, ∴(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),k<0. ∴解得或 当λ=2,μ=时,k=2不合题意,舍去. 当λ=-3,μ=时,a与b反向. 因此λ+μ=-3+=-.] (2)①因为=k,=k. 所以=++=k++k =k(+)+=k(+)+ =k+=-k=-k(+)=(1-k)-k, 所以由共面向量定理知向量与向量,共面. 6分 ②当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内; 当0查看更多
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