【数学】2020届数学（理）一轮复习人教版：第六章第五节　直接证明与间接证明、数学归纳法作业

【数学】2020届数学（理）一轮复习人教版：第六章第五节　直接证明与间接证明、数学归纳法作业

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A 级　基础夯实练 1.(2018·广州模拟)用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x2 ＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是(　　) A．方程 x2＋ax＋b＝0 没有实根 B．方程 x2＋ax＋b＝0 至多有一个实根 C．方程 x2＋ax＋b＝0 至多有两个实根 D．方程 x2＋ax＋b＝0 恰好有两个实根 解析：选 A.因为“方程 x2＋ax＋b＝0 至少有一个实根”等价于 “方程 x2＋ax＋b＝0 有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是 “方程 x2＋ax＋b＝0 没有实根”． 2.(2018·聊城模拟)在等比数列{an}中，a1＜a2＜a3 是数列{an}递增 的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 C.当 a1＜a2＜a3 时，设公比为 q， 由 a1＜a1q＜a1q2 得 若 a1＞0，则 1＜q＜q2，即 q＞1， 此时，显然数列{an}是递增数列， 若 a1＜0，则 1＞q＞q2，即 0＜q＜1， 此时，数列{an}也是递增数列， 反之，当数列{an}是递增数列时，显然 a1＜a2＜a3. 故 a1＜a2＜a3 是等比数列{an}递增的充要条件． 3.(2018·北京西城模拟)设 a，b，c 均为正实数，则三个数 a＋1 b，b ＋1 c，c＋1 a(　　) A．都大于 2　　　　　　　 B．都小于 2 C．至少有一个不大于 2 D．至少有一个不小于 2 解析：选 D.因为 a＞0，b＞0，c＞0， 所以(a＋1 b)＋(b＋1 c)＋(c＋1 a)＝(a＋1 a)＋(b＋1 b)＋(c＋1 c)≥6，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立，故三者不能都小于 2，即至少有一个不 小于 2. 4.(2018·洛阳模拟)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时， f(x)单调递减，若 x1＋x2＞0，则 f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 解析：选 A.由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f(x) 单调递减， 可知 f(x)是 R 上的单调递减函数， 由 x1＋x2＞0，可知 x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，则 f(x1)＋ f(x2)＜0. 5.(2018·昆明模拟)若 a、b、c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b 与 a＜b 及 a＝b 中至少有一 个成立；③a≠c，b≠c，a≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 C.∵a、b、c 是不全相等的正数，故①正确；③错误； 对任意两个数 a、b，a＞b 与 a＜b 及 a＝b 三者必有其一正确，故② 正确． 6.(2018·北京模拟)设 a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下： a∧b＝{a，a ≤ b， b，a＞b， a∨b＝{b，a ≤ b， a，a＞b. 若正数 a，b，c，d 满足 ab≥4，c＋d≤4，则(　　) A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2 解析：选 C.由题意知，运算“∧”为两数中取小，运算“∨” 为两数中取大，由 ab≥4 知，正数 a，b 中至少有一个大于等于 2.由 c＋d≤4 知，c，d 中至少有一个小于等于 2，故选 C. 7.(2018·新余模拟)已知 a，b 是不相等的正数，x＝ a＋ b 2 ，y＝ a＋b，则 x、y 的大小关系是________． 解析：x2＝1 2(a＋b＋2 ab)，y2＝a＋b＝1 2(a＋b＋a＋b)＞1 2(a＋b＋ 2 ab)＝x2，又∵x＞0，y＞0，∴y＞x. 答案：y＞x 8.(2018·烟台三模)给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1； ③0＜a＜1＜b.其中，能推出 logb 1 b＜loga 1 b＜logab 成立的条件的序号是 ________(填上所有可能的条件的序号)． 解析：若 1＜a＜b，则1 b＜1 a＜1＜b，所以 loga 1 b＜loga 1 a＝－1＝logb 1 b ，故条件①不成立；若 0＜a＜b＜1，则 b＜1＜1 b＜1 a，所以 logab＞loga 1 b＞loga 1 a＝－1＝logb 1 b，故条件②成立；若 0＜a＜1＜b，则 0＜1 b＜1， 所以 loga 1 b＞0，logab＜0，故条件③不成立． 答案：② 9.(2019·青岛期末)某同学在一次研究性学习中发现，以下 5 个不 等关系式 ① 3－1＞2－ 2； ②2－ 2＞ 5－ 3； ③ 5－ 3＞ 6－2； ④ 6－2＞ 7－ 5； ⑤ 7－ 5＞2 2－ 6. (1)上述五个式子有相同的不等关系，根据其结构特点，请你再 写出一个类似的不等式． (2)请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况， 并证明． 解：(1) 10－2 2＞ 11－3(答案不唯一)． (2) a＋2－ a＞ a＋3－ a＋1. 证明：要证原不等式成立，只需证 a＋2＋ a＋1＞ a＋3＋ a， 因为不等式两边都大于 0， 只需证 2a＋3＋2 （a＋2）（a＋1）＞2a＋3＋2 a（a＋3）， 只需证 a2＋3a＋2＞ a2＋3a， 只需证 a2＋3a＋2＞a2＋3a， 只需证 2＞0，显然成立，所以原不等式成立． 10.(1)设 x≥1，y≥1，证明：x＋y＋ 1 xy≤1 x＋1 y＋xy； (2)1＜a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac. 证明：(1)由于 x≥1，y≥1， 所以要证明 x＋y＋ 1 xy≤1 x＋1 y＋xy， 只要证明 xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2， 只要证明(xy)2－1＋(x＋y)－xy(x＋y)≥0， 只要证明(xy－1)(xy＋1－x－y)≥0， 只要证明(xy－1)(x－1)(y－1)≥0. 由于 x≥1，y≥1，上式显然成立，所以原命题成立． (2)设 logab＝x，logbc＝y，则 logca＝ 1 logbc·logab＝ 1 xy，logba＝ 1 x，logcb＝1 y ，logac＝xy， 所以要证明不等式 logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac，即 证 x＋y＋ 1 xy≤1 x＋1 y＋xy. 因为 c≥b≥a＞1，所以 x＝logab≥1，y＝logbc≥1， 由(1)知所要证明的不等式成立． B 级　能力提升练 11.(2018·揭阳模拟)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是(　　) A．若 a1＋a2＞0，则 a2＋a3＞0 B．若 a1＋a3＜0，则 a1＋a2＜0 C．若 0＜a1＜a2，则 a2＞ a1a3 D．若 a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0 解析：选 C.设等差数列{an}的公差为 d，若 a1＋a2＞0，a2＋a3＝ a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于 d 正负不能确定，因而 a2＋a3 符号 不确定，故选项 A 错误；若 a1＋a3＜0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a 1＋a3)－ d，由于 d 正负不能确定，因而 a1＋a2 符号不确定，故选项 B 错误； 若 0＜a1＜a2，可知 a1＞0，d＞0，a2＞0，a3＞0，∴a22－a1a3＝(a1＋d)2 －a1(a1＋2d)＝d2＞0，∴a2＞ a1a3，故选项 C 正确；若 a1＜0，则(a2－ a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故选项 D 错，故选 C. 12.(2018·金华调研)已知 a，b，c∈R，若b a·c a＞1 且b a＋c a≥－2， 则下列结论成立的是(　　) A．a，b，c 同号 B．b，c 同号，a 与它们异号 C．a，c 同号，b 与它们异号 D．b，c 同号，a 与 b，c 的符号关系不确定 解析：选 A.由b a·c a＞1，知b a与c a同号， 若b a＞0 且c a＞0，不等式b a ＋c a≥－2 显然成立， 若b a＜0 且c a＜0，则－b a ＞0，－c a＞0， (－b a )＋(－c a )≥2 (－b a )·(－c a )＞2， 即b a＋c a＜－2， 这与b a＋c a≥－2 矛盾，故b a＞0 且c a＞0，即 a，b，c 同号．故选 A. 13.(2018·大连模拟)设 a，b 是两个实数，给出下列条件： ①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1. 其 中 能 推 出 ： “a ， b 中 至 少 有 一 个 大 于 1” 的 条 件 是 ________． 解析：若 a＝1 2，b＝2 3，则 a＋b＞1， 但 a＜1，b＜1，故①推不出； 若 a＝b＝1，则 a＋b＝2，故②推不出： 若 a＝－2，b＝－3，则 a2＋b2＞2，故④推不出； 若 a＝－2，b＝－3，则 ab＞1，故⑤推不出； 对于③，即 a＋b＞2，则 a，b 中至少有一个大于 1， 反证法：假设 a≤1 且 b≤1， 则 a＋b≤2 与 a＋b＞2 矛盾， 因此假设不成立，故 a，b 中至少有一个大于 1. 答案：③ 14.(2018·黑龙江哈尔滨模拟)(1)当 x＞1 时，求证：2x2＋ 1 x2＞2x＋ 1 x＞2 x＋ 1 x ； (2)若 a＜e，用反证法证明：函数 f(x)＝xex－ax2(x＞0)无零点． 证明：(1)∵x＞1，∴要证 2x2＋ 1 x2＞2x＋1 x， 只需证 2x4＋1＞2x3＋x， 即证 2x3(x－1)＞x－1. ∵x＞1，∴只需证 2x3＞1. ∵x＞1，∴2x3＞2＞1， 故 2x2＋ 1 x2＞2x＋1 x得证． 令 x＝ t，则 2( t)2＋ 1 （ t）2 ＞2 t＋ 1 t ， 即 2t＋1 t＞2 t＋ 1 t ， 则 2x＋1 x＞2 x＋ 1 x ， 从而 2x2＋ 1 x2＞2x＋1 x＞2 x＋ 1 x. (2)假设函数 f(x)＝xex－ax2(x＞0)有零点，则 f(x)＝0 在(0，＋∞) 上有解， 即 a＝ex x 在(0，＋∞)上有解． 设 g(x)＝ex x (x＞0)， 则导函数 g′(x)＝ex（x－1） x2 (x＞0)， 当 0＜x＜1 时，g′(x)＜0； 当 x＞1 时，g′(x)＞0. ∴g(x)≥g(x)min＝g(1)＝e，∴a≥e，但这与条件 a＜e 矛盾，故假 设不成立，即原命题得证． 15.已知数列{an}的各项均为正数，bn＝n(1＋1 n) n an(n∈N*)，e 为 自然对数的底数． (1)求函数 f(x)＝1＋x－ex 的单调区间，并比较(1＋1 n) n 与 e 的大 小； (2)计算b1 a1，b1b2 a1a2，b1b2b3 a1a2a3，由此推测计算b1b2·…·bn a1a2·…·an的公式，并给 出证明． 解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1－ex. 当 f′(x)＞0，即 x＜0 时，f(x)单调递增； 当 f′(x)＜0，即 x＞0 时，f(x)单调递减． 故 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋ ∞)． 当 x＞0 时，f(x)＜f(0)＝0，即 1＋x＜ex. 令 x＝1 n，得 1＋1 n＜e 1 n ，即(1＋1 n) n ＜e.① (2)b1 a1＝1·(1＋1 1) 1 ＝1＋1＝2； b1b2 a1a2＝b1 a1·b2 a2＝2·2(1＋1 2) 2 ＝(2＋1)2＝32； b1b2b3 a1a2a3＝b1b2 a1a2·b3 a3＝32·3(1＋1 3) 3 ＝(3＋1)3＝43. 由此推测：b1b2·…·bn a1a2·…·an＝(n＋1)n.② 下面用数学归纳法证明②. (ⅰ)当 n＝1 时，左边＝右边＝2，②式成立． (ⅱ)假设当 n＝k 时，②式成立，即b1b2·…·bk a1a2·…·ak＝(k＋1)k. 当 n＝k＋1 时，bk＋1＝(k＋1)(1＋ 1 k＋1)k＋1 ak＋1，由归纳假设可 得 b1b2·…·bkbk＋1 a1a2·…·akak＋1 ＝b1b2·…·bk a1a2·…·ak·bk＋1 ak＋1 ＝(k＋1) k(k＋1)(1＋ 1 k＋1) k＋1 ＝(k＋2)k＋1. 所以当 n＝k＋1 时，②式也成立． 根据(ⅰ)(ⅱ)，可知②式对一切正整数 n 都成立． C 级　素养加强练 16.(2018·北京模拟)已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一 轴穿过它们的圆心)，两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为 四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为 x1，x2，x3，x4，大圆盘上 所写的实数分别记为 y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋 转 i(i＝1，2，3，4)次，每次转动 90°，记 Ti(i＝1，2，3，4)为转动 i 次后各区域内两数乘积之积，例如 T1＝x1y2＋x2y3＋x3y4＋x4y1.若 x1 ＋x2＋x3＋x4＜0，y1＋y2＋y3＋y4＜0，则以下结论正确的是(　　) A．T1，T2，T3，T4 中至少有一个为正数 B．T1，T2，T3，T4 中至少有一个为负数 C．T1，T2，T3，T4 中至多有一个为正数 D．T1，T2，T3，T4 中至多有一个为负数 解析：选 A.根据题意可知： (x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)＞0， 又(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)去掉括号即得(x1＋x2＋x3＋ x4)·(y1＋y2＋y3＋y4)＝T1＋T2＋T3＋T4＞0，所以可知 T1，T2，T3，T4 中至少有一个为正数，故选 A.