高中人教a版数学必修1单元测试：创优单元测评(第一章)a卷word版含解析
高中同步创优单元测评
A 卷 数 学
班级：________ 姓名：________ 得分：________
创优单元测评
(第一章)
名师原创·基础卷]
(时间：120 分钟 满分：150 分)
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合 M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则 P 的子
集共有( )
A．2 个 B．4 个
C．6 个 D．8 个
2．下列各组函数表示相等函数的是( )
A．y＝x2－9
x－3
与 y＝x＋3
B．y＝ x2－1 与 y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与 y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1(x∈Z)与 y＝2x－1(x∈Z)
3．设 M＝{1,2,3}，N＝{e，g，h}，从 M 至 N 的四种对应方式如
下图所示，其中是从 M 到 N 的映射的是( )
4．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|2x2－3x－2＝0}，集合 B＝{x|x>1}，
则 A∩(∁UB)＝( )
A．{2} B．{x|x≤1}
C.
－1
2 D．{x|x≤1 或 x＝2}
5．函数 f(x)＝ x
|x|
的图象是( )
6．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x B．y＝2x2－3
C．y＝ 1
x D．y＝x2，x∈0,1]
7．已知偶函数 f(x)在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成
立的是( )
A．f
－7
2 ＜f(－3)＜f(4)
B．f(－3)＜f
－7
2 ＜f(4)
C．f(4)＜f(－3)＜f
－7
2
D．f(4)＜f
－7
2 ＜f(－3)
8．已知反比例函数 y＝k
x
的图象如图所示，则二次函数 y＝2kx2－
4x＋k2 的图象大致为( )
9．函数 f(x)是定义在 0，＋∞)上的增函数，则满足 f(2x－1)
0 时，f(x)＝x－1，则当 x<0 时，
有( )
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)－f(－x)>0
11．已知函数 f(x)是定义在－5,5]上的偶函数，f(x)在 0,5]上是单调
函数，且 f(－3)＜f(1)，则下列不等式中一定成立的是( )
A．f(－1)＜f(－3) B．f(2)＜f(3)
C．f(－3)＜f(5) D．f(0)＞f(1)
12．函数 f(x)＝ax2－x＋a＋1 在(－∞，2)上单调递减，则 a 的取值
范围是( )
A．0,4] B．2，＋∞) C. 0，1
4 D. 0，1
4
第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确
答案填在题中横线上)
13．如图，函数 f(x)的图象是曲线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标
分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f(f(3))的值等于________．
14．已知集合 A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且 A∪B＝A，则实数 m
的取值范围是________．
15．若函数 f(x)＝x2＋a＋1x＋a
x
为奇函数，则实数 a＝________.
16．老师给出一个函数，请三位同学各说出了这个函数的一条性
质：
①此函数为偶函数；
②定义域为{x∈R|x≠0}；
③在(0，＋∞)上为增函数．
老师评价说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正
确．请你写出一个(或几个)这样的函数________．
三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)
已知集合 A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且 B⊆A.
求实数 m 的取值范围．
18．(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)的解析式为 f(x)＝
3x＋5x≤0，
x＋501.
(1)求 f
3
2 ，f
1
π ，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求 f(x)的最大值．
19．(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)是偶函数，且 x≤0 时，f(x)＝1＋x
1－x
，求：
(1)f(5)的值；
(2)f(x)＝0 时 x 的值；
(3)当 x>0 时 f(x)的解析式．
20．(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝x＋a
x
，且 f(1)＝10.
(1)求 a 的值；
(2)判断 f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(3)函数在(3，＋∞)上是增函数，还是减函数？并证明你的结论．
21．(本小题满分 12 分)
已知函数 y＝f(x)是二次函数，且 f(0)＝8，f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1.
(1)求 f(x)的解析式；
(2)求证：f(x)在区间 1，＋∞)上是减函数．
22．(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝ax＋b
1＋x2
是定义在(－1,1)上的奇函数，且 f
1
2 ＝2
5.
(1)确定函数 f(x)的解析式；
(2)当 x∈(－1,1)时判断函数 f(x)的单调性，并证明；
(3)解不等式 f(2x－1)＋f(x)<0.
详解答案
创优单元测评
(第一章)
名师原创·基础卷]
1．B 解析：P＝M∩N＝{1,3}，故 P 的子集有 22＝4 个，故选 B.
2．C 解析：A 中两个函数定义域不同；B 中 y＝ x2－1＝|x|－1，
所以两函数解析式不同；D 中两个函数解析式不同，故选 C.
解题技巧：判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是
否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．
3．C 解析：A 选项中，元素 3 在 N 中有两个元素与之对应，故
不正确；同样 B，D 选项中集合 M 中也有一个元素与集合 N 中两个元
素对应，故不正确；只有 C 选项符合映射的定义．
4．C 解析：A＝ －1
2
，2 ，∁UB＝{x|x≤1}，则 A∩(∁UB)＝ －1
2 ，
故选 C.
5．C 解析：由于 f(x)＝ x
|x|
＝ 1，x>0，
－1，x<0， 所以其图象为 C.
6．B 解析：A 选项是奇函数；B 选项为偶函数；C，D 选项的定
义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数．
7．D 解析：∵f(x)在(－∞，－2]上是增函数，且－4<－7
2<－3，
∴f(4)＝f(－4)0，
∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x－1)＝x＋1，
∴f(x)·f(－x)＝－(x＋1)2≤0.
11．D 解析：易知 f(x)在－5,0]上单调递增，在 0,5]上单调递减，
结合 f(x)是偶函数可知，故选 D.
12．C 解析：由已知得，
a>0，
1
2a
≥2， ∴00，
1＋x，x<0
或 y＝－2
x(答案不唯一)
解析：可结合条件来列举，如：y＝x2 或 y＝ 1－x，x>0
1＋x，x<0
或 y＝－
2
x.
解题技巧：本题为开放型题目，答案不唯一，可结合条件来列举，
如从基本初等函数中或分段函数中来找．
17．解：∵B⊆A，
①当 B＝∅时，m＋1≤2m－1，
解得 m≥2；
②当 B≠∅时，有
－3≤2m－1，
m＋1≤4，
2m－11，∴f
3
2 ＝－2×3
2
＋8＝5，
∵0<1
π<1，∴f
1
π ＝1
π
＋5＝5π＋1
π .
∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)如图：
在函数 y＝3x＋5 的图象上截取 x≤0 的部分，在函数 y＝x＋5 的图
象上截取 01 的部
分．图中实线组成的图形就是函数 f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当 x＝1 时，f(x)的最大值为 6.
19．解：(1)f(5)＝f(－5)＝ 1－5
1－－5
＝－4
6
＝－2
3.
(2)当 x≤0 时，f(x)＝0 即为1＋x
1－x
＝0，∴x＝－1，
又 f(1)＝f(－1)，∴f(x)＝0 时 x＝±1.
(3)当 x>0 时，f(x)＝f(－x)＝1－x
1＋x
，∴x>0 时，f(x)＝1－x
1＋x.
20．解：(1)f(1)＝1＋a＝10，∴a＝9.
(2)∵f(x)＝x＋9
x
，∴f(－x)＝－x＋ 9
－x
＝－ x＋9
x ＝－f(x)，∴f(x)是
奇函数．
(3)设 x2>x1>3，f(x2)－f(x1)＝x2＋9
x2
－x1－9
x1
＝(x2－x1)＋
9
x2
－9
x1 ＝(x2
－x1)＋9x1－x2
x1x2
＝x2－x1x1x2－9
x1x2
，∵x2>x1>3，∴x2－x1>0，x1x2>9，
∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)＝x＋9
x
在(3，＋∞)上为增函数．
21．(1)解：设 f(x)＝ax2＋bx＋c，∴f(0)＝c，又 f(0)＝8，∴c＝8.
又 f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，
∴f(x＋1)－f(x)
＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)
＝2ax＋(a＋b)．
结合已知得 2ax＋(a＋b)＝－2x＋1.
∴ 2a＝－2，
a＋b＝1.
∴a＝－1，b＝2.∴f(x)＝－x2＋2x＋8.
(2)证明：设任意的 x1，x2∈1，＋∞)且 x10，
而 x2>x1≥1，
∴x2＋x1－2>0，
∴(x2－x1)(x2＋x1－2)>0，f(x1)－f(x2)>0，
f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在区间 1，＋∞)上是减函数．
22．解：(1)由题意可知 f(－x)＝－f(x)，
∴－ax＋b
1＋x2
＝－ax＋b
1＋x2
，∴b＝0.
∴f(x)＝ ax
1＋x2.
∵f
1
2 ＝2
5
，∴a＝1.
∴f(x)＝ x
1＋x2.
(2)f(x)在(－1,1)上为增函数．
证明如下：设－10，
1＋x21>0,1＋x22>0，
∴x1－x21－x1x2
1＋x211＋x22 <0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)
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