【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第十二章第4讲 直接证明与间接证明学案
第4讲 直接证明与间接证明
[学生用书P210]
1．直接证明
(1)综合法
①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
②框图表示：―→―→―→
…―→
(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．
③思维过程：由因导果．
(2)分析法
①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义 、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
②框图表示：―→―→―→…―→
(其中Q表示要证明的结论)．
③思维过程：执果索因．
2．间接证明
(1)反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
(2)用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用框图表示为
―→―→―→
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )
(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a
ab>b2
C.< D．>
解析：选B.a2－ab＝a(a－b)，所以a0，所以a2>ab.①
又ab－b2＝b(a－b)>0，所以ab>b2，②
由①②得a2>ab>b2.
用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.
(教材习题改编)若，，成等比数列，则logx＝________．
解析：由题意得()2＝·，所以＝，所以x＝.设＝y，即＝＝，所以y＝2，即＝2.
答案：2
(教材习题改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________．
解析：由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以B＝，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，所以a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c，
所以A＝C，所以A＝B＝C＝，所以△ABC为等边三角形．
答案：等边三角形
综合法的应用[学生用书P210]
[典例引领]
数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和Sn，并证明＋＋…＋>.
【解】 (1)证明：因为an＋1＝，
所以＝，
化简得＝2＋，
即－＝2，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝2n－1，
所以Sn＝＝n2.
法一：＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.
法二：＋＋…＋＝＋＋…＋>1，
又因为1>，
所以＋＋…＋>.
综合法证题的思路
―→分析题目的已知条件及已知与结论之
间的联系，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法
―→把已知条件转化成解题所需要的语言，主
要是文字、符号、图形三种语言之间的转化
―→回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，
并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取
[通关练习]
在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bx＋ycos A＋cos B＝0与ax＋ycos B＋cos A＝0平行，求证：△ABC是直角三角形．
证明：法一：由两直线平行可知bcos B－acos A＝0，由正弦定理可知sin Bcos B－sin Acos A＝0，即sin 2B－sin 2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.若A＝B，则a＝b，cos A＝cos B，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝，
即△ABC是直角三角形．
法二：由两直线平行可知bcos B－acos A＝0，
由余弦定理，得a·＝b·，
所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，
所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
所以a＝b或a2＋b2＝c2.
若a＝b，则两直线重合，不符合题意，
故a2＋b2＝c2，
即△ABC是直角三角形．
分析法的应用[学生用书P211]
[典例引领]
已知函数f(x)＝tan x，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]>f.
【证明】 要证[f(x1)＋f(x2)]>f，
即证明(tan x1＋tan x2)>tan，
只需证明>tan，
只需证明>.
由于x1，x2∈，
故x1＋x2∈(0，π)，
所以cos x1cos x2>0，sin(x1＋x2)>0，
1＋cos(x1＋x2)>0，
故只需证明1＋cos(x1＋x2)>2cos x1cos x2，
即证1＋cos x1cos x2－sin x1sin x2>2cos x1cos x2，
即证cos(x1－x2)<1.
由x1，x2∈，x1≠x2知上式显然成立，
因此[f(x1)＋f(x2)]>f.
若将本例中f(x)变为f(x)＝3x－2x，试证：对于任意的x1，x2∈R，均有≥f.
证明：要证明≥f，
即证明≥3－2·，
因此只要证明－(x1＋x2)≥3－(x1＋x2)，
即证明≥3，
因此只要证明≥，由于x1，x2∈R时，3x1>0，3x2>0，
由基本不等式知≥，
显然成立，故原结论成立．
分析法的证题思路
(1)分析法的证题思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，
而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证；
(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
[通关练习]
已知a，b，c为正实数，求证： ≥.
证明：要证 ≥，
只需证：≥，
只需证：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，
所以 ≥成立(当且仅当a＝b＝c时等号成立)．
反证法(高频考点)[学生用书P211]
反证法是高考命题的重要内容．主要命题角度有：
(1)证明否定性命题；
(2)证明存在性命题；
(3)证明唯一性命题．
[典例引领]
角度一 证明否定性命题
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
【解】 (1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，
所以an＋1＋Sn＋1＝2，
两式相减得an＋1＝an，
所以{an}是首项为1，
公比为的等比数列，
所以an＝.
(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，
则2·＝＋，
所以2·2r－q＝2r－p＋1.(*)
又因为p＜q＜r，
所以r－q，r－p∈N*.
所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不等立．
所以假设不成立，原命题得证．
角度二 证明存在性问题
已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.
(1)求证：SA⊥平面ABCD；
(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，
所以SA⊥AD.
同理SA⊥AB.
又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，
AD⊂平面ABCD，
所以SA⊥平面ABCD.
(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，
使得BF∥平面SAD.
因为BC∥AD，BC⊄平面SAD.
所以BC∥平面SAD，而BC∩BF＝B，
所以平面FBC∥平面SAD.
这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，
所以假设不成立．
所以不存在这样的点F，
使得BF∥平面SAD.
角度三 证明唯一性命题
已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且只有一个根．
【证明】 由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝.
假设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1＝b，①
ax2＝b，②
由①－②得a(x1－x2)＝0，
因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，
所以a＝0，这与已知矛盾，故假设错误．
所以当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．
用反证法证明数学命题需把握的三点
(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；
(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；
(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．
[通关练习]
已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，
即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，
这与已知a1＋a2＋a3＋a4>100矛盾，故假设错误．
所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
综合法的应用
(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．
(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
分析法的应用
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．
(2)应用分析法要书写规范，常用“要证……”“只需证……”等分析到一个明显成立的结论．
反证法的应用
应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤：
第一步：分清命题“p⇒q”的条件和结论；
第二步：作出与命题结论q相反的假设﹁q；
第三步：由p和﹁q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步；断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设﹁q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真 .
所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果．
[学生用书P345(单独成册)]
1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是( )
A．自然数a，b，c中至少有两个偶数
B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．自然数a，b，c都是奇数
D．自然数a，b，c都是偶数
解析：选B.“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”．故选B.
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：0 B.a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：选C.0
⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.故选C.
3．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是( )
A．a＞b＞c B.b＞c＞a
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
解析：选A.因为a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，
且＋＞＋＞＋＞0，
所以a＞b＞c.
4．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋( )
A．都大于2 B.至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
解析：选C.假设三个数都小于2，
则＋＋＋＋＋<6，
由于＋＋＋＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，
所以假设不成立，
所以＋，＋，＋中至少有一个不小于2.故选C.
5．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B.A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析：选A.因为≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，所以f≤f()≤f.
6．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．
解析：法一：取a＝2，b＝1，得m⇐a0，
显然成立，故m0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B.恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)b，则f(f(b))>f(b)>b，与题意不符，
若f(b)0，所以Tn<.
6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小；
(3)证明：－20，
由00，
知f>0与f＝0矛盾，
所以≥c，又因为≠c，所以>c.
(3)证明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，
所以b＝－1－ac.
又a>0，c>0，所以b<－1.
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为
x＝－＝<＝x2＝，
即－<.
又a>0，所以b>－2，
所以－2
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