【数学】2020届一轮复习北师大版柯西不等式与排序不等式学案

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文档介绍

【数学】2020届一轮复习北师大版柯西不等式与排序不等式学案

第三讲 柯西不等式与排序不等式 考情分析 从近两年高考来看,对本部分内容还未单独考查,但也不能忽视,利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”,利用排序不等式证明成“对称”形式,或两端是“齐次式”形式的不等式问题.‎ 真题体验 ‎ ‎1.(2017·江苏高考)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd≤8.‎ 证明:由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).‎ 因为a2+b2=4,c2+d2=16,‎ 所以(ac+bd)2≤64,‎ 因此ac+bd≤8.‎ ‎2.(2015·陕西高考)已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.‎ ‎(1)求实数a,b的值;‎ ‎(2)求+的最大值.‎ 解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,‎ 则解得 ‎(2)+=·+ ‎≤ ‎=2=4,‎ 当且仅当=,即t=1时等号成立,‎ 故(+)max=4.‎ 利用柯西不等式证明有关不等式问题 柯西不等式的一般形式为(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai,bi∈R,i=1,2,…,n),形式简洁、美观、对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解.‎ ‎[例1] 已知a,b为正实数,a+b=1,x1,x2为正实数.‎ ‎(1)求++的最小值;‎ ‎(2)求证:(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2.‎ ‎[解] (1)∵a,b为正实数,a+b=1,x1,x2为正实数,‎ ‎∴++≥3=3≥‎ ‎3=6,当且仅当==,a=b,‎ 即a=b=,且x1=x2=1时,++有最小值6.‎ ‎(2)证明:∵a,b∈R+,a+b=1,x1,x2为正实数,‎ ‎∴(ax1+bx2)(ax2+bx1)‎ ‎=[()2+()2][()2+()2]≥(+)2=x1x2(a+b)2=x1x2,‎ 当且仅当x1=x2时取等号.‎ 利用排序不等式证明有关的不等式问题 排序不等式具有自己独特的体现:多个变量的排列与其大小顺序有关,特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题,利用排序不等式解决往往很简捷.‎ ‎[例2] 在△ABC中,试证:≤<.‎ ‎[证明] 不妨设a≤b≤c,于是A≤B≤C.‎ 由排序不等式,得aA+bB+cC=aA+bB+cC,‎ aA+bB+cC≥bA+cB+aC,‎ aA+bB+cC≥cA+aB+bC.‎ 以上三式相加,得 ‎3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=π(a+b+c).‎ 得≥,①‎ 又由0<b+c-a,0<a+b-c,0<a+c-b,有 ‎0<A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)‎ ‎=a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C)‎ ‎=a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C)‎ ‎=(a+b+c)π-2(aA+bB+cC).‎ 得<.②‎ 由①②得原不等式成立.‎ 利用柯西不等式或排序不等式求最值问题 有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限定.其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理.在这类题目中,利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易.‎ ‎[例3] 已知5a2+3b2=,求a2+2ab+b2的最大值.‎ ‎[解] ∵[(a)2+(b)2]‎ ‎≥2‎ ‎=(a+b)2=a2+2ab+b2,当且仅当5a=3b即a=,b=时取等号.‎ ‎∴a2+2ab+b2≤×(5a2+3b2)=×=1.‎ ‎∴a2+2ab+b2的最大值为1.‎ ‎[例4] 已知a+b+c=1.‎ ‎(1)求S=2a2+3b2+c2的最小值及取得最小值时a,b,c的值;‎ ‎(2)若2a2+3b2+c2=1,求c的取值范围.‎ ‎[解] (1)根据柯西不等式,‎ 得1=a+b+c=·a+·b+1·c ‎≤(2a2+3b2+c2)= ·,‎ 即 ·≥1,∴S≥,当且仅当a=,‎ b=,c=时等号成立,‎ ‎∴当a=,b=,c=时,Smin=.‎ ‎(2)由条件可得 根据柯西不等式,‎ 得(a+b)2≤[(a)2+(b)2]=×(2a2+3b2),‎ ‎∴(1-c)2≤·(1-c2),解得≤c≤1.‎ ‎∴c的取值范围为.‎ ‎ (时间:90分钟,总分120分)‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.设a,b∈R+且a+b=16,则+的最小值是(  )‎ A.            B. C. D. 解析:选A (a+b)≥2=4,∴+≥.‎ 当且仅当·=×,‎ 即a=b=8时取等号.‎ ‎2.已知x+3y+5z=6,则x2+y2+z2的最小值为(  )‎ A. B. C. D.6‎ 解析:选C 由柯西不等式,得x2+y2+z2=(12+32+52)(x2+y2+z2)×≥(x+3y+5z)2×=62×=,当且仅当x==时等号成立.‎ ‎3.已知a,b,c为正数且a+b+c=3,则++的最小值为(  )‎ A.4 B.4 C.6 D.6 解析:选C ∵a,b,c为正数.‎ ‎∴ = ≥a+b.‎ 同理 ≥b+c, ≥c+a,‎ 相加得 (++)≥2(b+c+a)=6,‎ 即++≥6,当且仅当a=b=c=时取等号.‎ ‎4.设a,b,c均大于0,a2+b2+c2=3,则ab+bc+ca的最大值为(  )‎ A.0 B.1‎ C.3 D. 解析:选C 设a≥b≥c>0,由排序不等式得a2+b2+c2≥ab+bc+ac,所以ab+bc+ca≤3,故选C.‎ ‎5.已知a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值为(  )‎ A.1 B. C.3 D.4‎ 解析:选D (a+b+c) ‎=[()2+()2] ‎≥2=22=4.‎ 当且仅当a+b=c时取等号.‎ ‎6.已知(x-1)2+(y-2)2=4,则3x+4y的最大值为(  )‎ A.21 B.11‎ C.18 D.28‎ 解析:选A 根据柯西不等式得[(x-1)2+(y-2)2][32+42]≥[3(x-1)+4(y-2)]2=(3x+4y-11)2,‎ ‎∴(3x+4y-11)2≤100.‎ 可得3x+4y≤21,当且仅当==时取等号.‎ ‎7.设a,b,c为正数,a+b+4c=1,则++2的最大值是(  )‎ A. B. C.2 D. 解析:选B ∵1=a+b+4c=()2+()2+(2)2‎ ‎=[()2+()2+(2)2]·(12+12+12)‎ ‎≥(++2)2·,‎ ‎∴(++2)2≤3,当且仅当a=b=4c时等式成立,故++2的最大值为.‎ ‎8.函数f(x)=+cos x,则f(x)的最大值是(  )‎ A. B. C.1 D.2‎ 解析:选A 因为f(x)=+cos x,‎ 所以f(x)= +cos x ‎≤ ‎=,当且仅当cos x=时取等号.‎ ‎9.若5x1+6x2-7x3+4x4=1,则3x+2x+5x+x的最小值是(  )‎ A. B. C.3 D. 解析:选B ∵[3x+2x+5(-x3)2+x]≥(5x1+6x2-7x3+4x4)2=1,‎ 即3x+2x+5x+x≥.‎ ‎10.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是(  )‎ A.大于零 B.大于等于零 C.小于零 D.小于等于零 解析:选B 设a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,‎ 根据排序不等式,‎ 得a3·a+b3·b+c3·c≥a3b+b3c+c3a.‎ 又ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,‎ 所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.‎ 所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,‎ 即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填写在题中横线上)‎ ‎11.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,则++的最小值为________.‎ 解析:∵(a+b+c)=[()2+()2+()2]≥‎ 2=18,‎ ‎∴++≥2,当且仅当a=b=c=3时等号成立.‎ ‎∴++的最小值为2.‎ 答案:2‎ ‎12.已知A,B,C是三角形三个内角的弧度数,则++的最小值是________.‎ 解析:(A+B+C)≥(1+1+1)2=9,而A+B+C=π,故++≥,当且仅当A=B=C=时,等号成立.‎ 答案: ‎13.设有两组实数:a1,a2,a3,…,an与b1,b2,b3,…,bn,且它们满足:a1≤a2≤a3≤…≤an,b1≤b2≤b3≤…≤bn,若c1,c2,c3,…,cn是b1,b2,b3,…,bn的任意一个排列,则a1b1+a2b2+…+anbn≥a1c1+a2c2+…+ancn≥a1bn+a2bn-1+…+anb1,反序和与顺序和相等的条件是________.‎ 解析:反序和与顺序和相等,则两组数至少有一组相等.‎ 答案:a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn ‎14.设a,b,c为正数,且a+2b+3c=13,求++的最大值为________.‎ 解析:∵(a+2b+3c)≥2=(++)2,‎ ‎∴(++)2≤.‎ ‎∴++≤.‎ 当且仅当==时取等号.‎ 又a+2b+3c=13,‎ ‎∴a=9,b=,c=时,‎ ++有最大值.‎ 答案: 三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(本小题满分12分)已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,求实数a的取值范围.‎ 解:由柯西不等式,得:‎ ‎(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2,‎ 即2b2+3c2+6b2≥(b+c+d)2.‎ 由条件可得5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2.‎ 所以实数a的取值范围为[1,2].‎ ‎16.(本小题满分12分)求函数y=+的最大值.‎ 解:由1-sin x≥0,4sin x-1≥0,‎ 得≤sin x≤1,‎ 则y2=2‎ ‎≤(1+4) ‎=,即y≤,‎ 当且仅当4(1-sin x)=sin x-,即sin x=时等号成立,所以函数y=+的最大值为.‎ ‎17.(本小题满分12分)设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列,求证:++…+≤++…+.‎ 证明:设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列,‎ 且b1>…>且b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,c1≤2,c2≤3,…,cn-1≤n.‎ 利用排序不等式,有++…+≥++…+≥++…+.‎ ‎∴原不等式成立.‎ ‎18.(本小题满分14分)已知函数f(x)=|x-2|-3.‎ ‎(1)若f(x)<0,求x的取值范围;‎ ‎(2)在(1)的条件下,求g(x)=3+4的最大值.‎ 解:(1)因为f(x)<0⇔|x-2|<3⇔-3
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