【数学】2018届一轮复习北师大版第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系充分条件与必要条件教案
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.理解命题的概念；
2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；
3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义。
2016，北京卷，4,5分(充要条件的判断)
2016，天津卷，5,5分(充要条件的判断)
2014，全国卷Ⅰ，9,5分(逻辑推理判断)
1.分析四种命题的相互关系；由原命题写另一种命题；
2.判定指定条件之间的关系；探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；与命题真假性结合。
微知识 小题练
自|主|排|查
1．命题
(1)命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
(2)四种命题及相互关系
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。
2．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
微点提醒
1．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，命题的否定只否定结论。
2．由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假。
3．“p是q的充分不必要条件”即为“p⇒q且qp”；“p的充分不必要条件是q”即为“q⇒p且pq”。
小|题|快|练
一 、走进教材
1．(选修1－1P10练习T3(2)改编)“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件。
【解析】 因为(x＋1)(y－2)＝0，
所以x＝－1或y＝2，
所以(x＋1)(y－2)＝0x＝－1且y＝2，
x＝－1且y＝2⇒(x＋1)(y－2)＝0，
所以是必要不充分条件。
【答案】 必要不充分
2．(选修1－1P8习题1.1A组T2(1)改编)“若a，b都是偶数，则ab必是偶数“的逆否命题为________。
【解析】 “a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”。
【答案】 若ab不是偶数，则a，b不都是偶数
二、双基查验
1．(2016·天津高考)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件。故选C。
【答案】 C
2．命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tanα≠1 B．若α＝，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α＝
【解析】 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”。故选C。
【答案】 C
3．设集合A，B，则“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B，因此，“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要条件。故选C。
【答案】 C
4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：___________________________________________________。
【解析】 原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°。
结论：∠A，∠B都是锐角。否命题是否定条件和结论。
即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”。
【答案】 在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角
5．若“x2>1”是“x
1得x>1或x<－1。
由题意知{x|x1或x<－1}，结合数轴可知，a≤－1，从而a的最大值为－1。
【答案】 －1
微考点 大课堂
考点一
四种命题及其相互关系
【典例1】 (1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
【解析】 (1)由于“x，y都是偶数”的否定是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”。故选C。
(2)先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝，∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假。故选B。
【答案】 (1)C (2)B
反思归纳
1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提。
2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例。
3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假。
【变式训练】 (1)命题“若α＝，则cosα＝”的逆命题是( )
A．若α＝，则cosα≠
B．若α≠，则cosα≠
C．若cosα＝，则α＝
D．若cosα≠，则α≠
(2)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3。关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；
②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；
③命题β是命题α的否命题，且命题γ 是命题α的逆否命题。
A．①③ B．②
C．②③ D．①②③
【解析】 (1)命题“若α＝，则cosα＝”的逆命题是“若cosα＝，则α＝”。故选C。
(2)命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确。故选A。
【答案】 (1)C (2)A
考点二
充分条件与必要条件的判断……多维探究
角度一：用定义法判断充分条件、必要条件
【典例2】 (2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|。由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|。故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件。故选D。
【答案】 D
角度二：用集合法判断充分条件、必要条件
【典例3】 设p：11，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 由2x>20⇒x>0，且{x|10}可知：由p能推出q，但由q不能得出p，所以p是q成立的充分不必要条件。故选A。
【答案】 A
角度三：用等价转化法判断充分条件、必要条件
【典例4】 (2017·锦州模拟)给定两个命题p，q。若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 因为綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p但綈pq，其逆否命题为p⇒綈q但綈qp，所以p是綈q的充分不必要条件。故选A。
【答案】 A
反思归纳 充要条件的三种判断方法
1.定义法：根据pq,qp进行判断。
2.集合法：根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断。
3.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件。
考点三
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围……母题发散
【典例5】 (1)(2016·南昌模拟)已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( )
A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)
C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)
(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}。若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________。
【解析】 (1)条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，又因为p是q的充分不必要条件，所以有解得m≥9。故选B。
(2)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P。
则∴0≤m≤3。
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]。
【答案】 (1)B (2)[0,3]
【母题变式】 1.本典例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件。
【解析】 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴∴
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件。
【答案】 不存在
2．本典例(2)条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围。
【解析】 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵綈P是綈S的必要不充分条件，
∴P⇒S且SP。
∴[－2,10][1－m,1＋m]。
∴或
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)。
【答案】 [9，＋∞)
反思归纳 由充分条件、必要条件求参数。解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解。但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值。
微考场 新提升
1．命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( )
A．“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”
B．“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”
C．“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”
D．“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”
解析 根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”。故选D。
答案 D
2．已知向量a＝(sinα，cosα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a与b的夹角为θ，则“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 由条件可知|a|＝|b|＝1，若|a－b|＝1，则(a－b)2＝1，即a2＋b2－2a·b＝1，所以1＋1－2cosθ＝1，即cosθ＝，故θ＝60°。同理，若θ＝60°，则|a－b|＝1也成立。故“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的充分必要条件。故选C。
答案 C
3．设m，n为正实数，则“m0)，易知f(x)＝x2－(x>0)是单调递增函数，任取m，n>0，当mb，则<”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数a，b应满足的前提条件是________。
解析 显然ab≠0，当ab>0时，<⇔·ab<·ab⇔bb，则必有a>0>b，故>0>，所以原命题是假命题；若<，则必有<0<，故a<0m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________。
解析 由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
∴或∴0≤m≤2。
答案 [0,2]
