【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第十一章统计11-1简单随机抽样学案

【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第十一章统计11-1简单随机抽样学案

‎1．简单随机抽样 ‎(1)定义：一般地，从个体为N的总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本(n∈N)，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法，称为简单随机抽样．‎ ‎(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数表法．‎ ‎2．系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．‎ ‎①采用随机的方法将总体中的N个个体编号；‎ ‎②将编号按间隔k分段，当是整数时，取k＝；当不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，这时取k＝，并将剩下的总体重新编号；‎ ‎③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l；‎ ‎④按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k的个体抽出．‎ ‎3．分层抽样 ‎(1)定义：一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”．‎ ‎(2)分层抽样的应用范围：‎ 当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．(　√　)‎ ‎(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(　×　)‎ ‎(3)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．(　×　)‎ ‎(4)系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样．(　√　)‎ ‎(5)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．(　×　)‎ ‎(6)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　×　)‎ ‎1．(教材改编)某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为______________．‎ 答案　25,56,19‎ 解析　因为125∶280∶95＝25∶56∶19，‎ 所以抽取人数分别为25,56,19.‎ ‎2．(2015·四川改编)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是__________．‎ 答案　分层抽样法 解析　根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．‎ ‎3．(1)某学校为了了解2016年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．‎ ‎(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．‎ Ⅰ.简单随机抽样法　Ⅱ.系统抽样法　Ⅲ.分层抽样法 问题与方法配对正确的是____________．‎ 答案　(1)Ⅲ，(2)Ⅰ 解析　通过分析可知，对于(1)，应采用分层抽样法，对于(2)，应采用简单随机抽样法．‎ ‎4．将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为________．‎ 答案　695‎ 解析　由题意可知，第一组随机抽取的编号l＝15，‎ 分段间隔数k＝＝＝20，则抽取的第35个编号为15＋(35－1)×20＝695.‎ ‎5．某学校高一，高二，高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．‎ 答案　15‎ 解析　设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10，解得x＝15. ‎ 题型一　简单随机抽样 例1　(1)以下抽样方法是简单随机抽样的有________.‎ ‎①在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖；‎ ‎②某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格；‎ ‎③某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见；‎ ‎④用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验．‎ ‎(2)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________.‎ ‎7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198‎ ‎3204　9234　4935　8200　3623　4869　6938　7481‎ 答案　(1)④　(2)01‎ 解析　(1)①、②不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；③不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；④是简单随机抽样．‎ ‎(2)由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.‎ 思维升华　应用简单随机抽样应注意的问题 ‎(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．‎ ‎(2)在使用随机数表法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．‎ ‎　(1)下列抽样试验中，适合用抽签法的有________．‎ ‎①从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验；‎ ‎②从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验；‎ ‎③从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验；‎ ‎④从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验．‎ ‎(2)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________________．‎ ‎①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；‎ ‎②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；‎ ‎③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；‎ ‎④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．‎ 答案　(1)②　(2)①②③④‎ 解析　(1)①、④中的总体个体数较多，不适宜抽签法，③中甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜抽签法．②是简单随机抽样．‎ ‎(2)①不是简单随机抽样．‎ ‎②不是简单随机抽样．由于它是放回抽样．‎ ‎③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．‎ ‎④不是简单随机抽样．因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．‎ 题型二　系统抽样 例2　(1)(2015·湖南改编)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．‎ ‎(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________．‎ 答案　(1)4　(2)12‎ 解析　(1)由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．‎ ‎(2)由＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落在区间[481,720]的人数为＝＝12.‎ 引申探究 ‎1．本例(2)中条件不变，若第三组抽得的号码为44，则在第八组中抽得的号码是________．‎ 答案　144‎ 解析　在第八组中抽得的号码为(8－3)×20＋44＝144.‎ ‎2．本例(2)中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________．‎ 答案　28‎ 解析　因为在编号[481,720]中共有720－480＝240人，又在[481,720]中抽取8人，‎ 所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为＝28.‎ 思维升华　(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．‎ ‎(2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．‎ ‎(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．‎ ‎　(1)(2016·南京模拟)高三(1)班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是________．‎ ‎(2)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为________．‎ 答案　(1)18　(2)10‎ 解析　(1)分段间隔为＝13，故还有一个学生的编号为5＋13＝18.‎ ‎(2)由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．‎ 题型三　分层抽样 命题点1　求总体或样本容量 例3　(1)(2016·苏北四市联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝________.‎ ‎(2)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．‎ 答案　(1)90　(2)1 800‎ 解析　(1)依题意得×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.‎ ‎(2)分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1 800件．‎ 命题点2　求某层入样的个体数 例4　(2015·北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为________.‎ 类别 人数 老年教师 ‎900‎ 中年教师 ‎1 800‎ 青年教师 ‎1 600‎ 合计 ‎4 300‎ ‎(2)(2015·福建)某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．‎ 答案　(1)180　(2)25‎ 解析　(1)由题意抽样比为＝，‎ ‎∴该样本中的老年教师人数为900×＝180.‎ ‎(2)由题意知，男生共有500名，根据分层抽样的特点，在容量为45的样本中男生应抽取的人数为45×＝25.‎ 思维升华　分层抽样问题类型及解题思路 ‎(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．‎ ‎(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．‎ ‎(3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．‎ ‎　(1)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________．‎ ‎(2)某公司共有1 000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本，已告知广告部门被抽取了4个员工，则广告部门的员工人数为________．‎ 答案　(1)200,20　(2)50‎ 解析　(1)该地区中小学生总人数为 ‎3 500＋2 000＋4 500＝10 000，‎ 则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20.‎ ‎(2)＝，x＝50.‎ 五审图表找规律 典例　(14分)某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：‎ 人数 管理 技术开发 营销 生产 共计 老年 ‎40‎ ‎40‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎200‎ 中年 ‎80‎ ‎120‎ ‎160‎ ‎240‎ ‎600‎ 青年 ‎40‎ ‎160‎ ‎280‎ ‎720‎ ‎1 200‎ 共计 ‎160‎ ‎320‎ ‎480‎ ‎1 040‎ ‎2 000‎ ‎(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？‎ ‎(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？‎ ‎(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？‎ 抽取40人调查身体状况 ‎↓(观察图表中的人数分类统计情况)‎ 样本人群应受年龄影响 ‎↓(表中老、中、青分类清楚，人数确定)‎ 要以老、中、青分层，用分层抽样 ‎↓‎ 要开一个25人的座谈会 ‎↓(讨论单位发展与薪金调整)‎ 样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响 ‎↓(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚，人数确定)‎ 要以管理、技术开发、营销、生产人员分层，用分层抽样 ‎↓‎ 要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解 ‎↓(可认为亚运会是大众体育盛会，一个单位人员对情,况了解相当) 将单位人员看作一个整体 ‎↓(从表中数据看总人数为2 000)‎ 人员较多，可采用系统抽样 规范解答 解　(1)按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取， [1分]‎ 抽取比例为＝. [3分]‎ 故老年人、中年人、青年人各抽取4人、12人、24人． [5分]‎ ‎(2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取， [6分]‎ 抽取比例为＝， [8分]‎ 故管理、技术开发、营销、生产各部门抽取2人、4人、6人、13人． [10分]‎ ‎(3)用系统抽样，‎ 对全部2 000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1 900，共20人组成一个样本．‎ ‎[14分] ‎ ‎1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为________．‎ 答案　8‎ 解析　设样本容量为N，则N×＝6，∴N＝14，‎ ‎∴高二年级所抽学生人数为14×＝8.‎ ‎2．(2017·扬州月考)打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体抽取一个13张的样本．这种抽样方法是 ‎______________．‎ 答案　系统抽样 解析　符合系统抽样的特点，故是系统抽样．‎ ‎3．(2016·南京、盐城联考)某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________．‎ 答案　17‎ 解析　由题意可得从高二年级学生中抽出的人数为×360＝18，故从高三年级学生中抽取的人数为55－20－18＝17.‎ ‎4．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160进行编号，并按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若按等距的规则从第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签法确定的号码是________．‎ 答案　6‎ 解析　第1组中用抽签法确定的号码是126－15×8＝6.‎ ‎5．(2016·镇江模拟)将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是______________．‎ 答案　16,28,40,52‎ 解析　编号组数为5，间隔为＝12，‎ 因为在第一组抽得04号：‎ 又4＋12＝16,16＋12＝28,28＋12＝40,40＋12＝52，‎ 所以其余4个号码为16,28,40,52.‎ ‎6．将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为__________________．‎ 答案　25,17,8‎ 解析　由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．‎ 令3＋12(k－1)≤300得k≤，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；‎ 令300<3＋12(k－1)≤495得

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