【数学】2019届一轮复习北师大版直线与圆学案
【考向解读】
考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.
【命题热点突破一】 直线的方程及应用
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率存在，则l1∥l2⇔ 1＝ 2，l1⊥l2⇔ 1 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．求直线方程
要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
3．两个距离公式
(1)两平行直线l1 Ax＋By＋C1＝0，
l2 Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
(2)点(x0，y0)到直线l Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝.
例1、【2016高考新课标3理数】已知直线 与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.
【答案】4
【变式探究】(1)已知直线l1 ( －3)x＋(4－ )y＋1＝0与l2 2( －3)x－2y＋3＝0平行，则 的值是( )
A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2
(2)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )
A．0或－ B. 或－6
C．－或 D．0或
【答案】(1)C (2)B
(2)依题意，得＝.
所以|3m＋5|＝|m－7|.
所以(3m＋5)2＝(m－7)2，
所以8m2＋44m－24＝0.
所以2m2＋11m－6＝0.
所以m＝或m＝－6.学
【特别提醒】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．
【变式探究】
已知A(3,1)，B(－1,2)两点，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为( )
A．y＝2x＋4 B．y＝x－3
C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0
【答案】C
【解析】由题意可知，直线AC和直线BC关于直线y＝x＋1对称．设点B(－1,2)关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x0，y0)，则有⇒即B′(1,0)．因为B′(1,0)在直线AC上，
所以直线AC的斜率为＝＝，
所以直线AC的方程为y－1＝(x－3)，
即x－2y－1＝0.
故C正确．
【命题热点突破二】 圆的方程及应用
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2
＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(－，－)为圆心，为半径的圆．
例2、(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________．
【答案】(x＋1)2＋(y－)2＝1
【变式探究】【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】A
【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得
，解得，故选A．
【变式探究】(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( )
A．(x－2)2＋(y±2)2＝3
B．(x－2)2＋(y±)2＝3
C．(x－2)2＋(y±2)2＝4
D．(x－2)2＋(y±)2＝4
(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1 x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2 2x－y－4＝0相切，则圆M的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4
C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4
【答案】(1)D (2)B
【解析】(1)因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±，所以选D. 学
【特别提醒】解决与圆有关的问题一般有两种方法 (1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
【变式探究】
(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________________．
(2)已知直线l的方程是x＋y－6＝0，A，B是直线l上的两点，且△OAB是正三角形(O为坐标原点)，则△OAB外接圆的方程是____________________．
【答案】 (1)(x－2)2＋(y－1)2＝10 (2)(x－2)2＋(y－2)2＝8
【解析】(1)由题意知 AB＝2，AB的中点为(4,0)，
设圆心为C(a，b)，
∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．
则解得∴C(2,1)，
∴r＝|CA|＝＝.
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
【命题热点突破三】 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系 相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．
(1)点线距离法 设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d
r⇔直线与圆相离．
(2)判别式法 设圆C (x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l Ax＋By＋C＝0，方程组消去y，得关于x的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
设圆C1 (x－a1)2＋(y－b1)2＝r，圆C2 (x－a2)2＋(y－b2)2＝r，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下
(1)d>r1＋r2⇔两圆外离；
(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；
(3)|r1－r2|0)上一动点，PA，PB是圆C x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则 的值为( )
A．3B.C．2D．2
【答案】(1)A (2)D
【解析】(1)对于直线方程2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)，取y＝3，则必有x＝2，所以该直线恒过定点P(2,3)．
设圆心是C，则易知C(1,2)，
所以 CP＝＝1，
由垂径定理知CP⊥MN，所以 MN＝－1.
又弦MN过点P(2,3)，
故弦MN所在直线的方程为y－3＝－(x－2)，
即x＋y－5＝0.
【特别提醒】 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．
【变式探究】
(1)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直．若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为( )
A．1B.C．2D．2
(2)两个圆C1 x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2 x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为( )
A．－6B．－3C．－3D．3
【答案】 (1)A (2)C
【解析】(1)因为圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为C(0，－1)，半径r＝2，直线l的斜率为－1，其方程为x＋y－1＝0.
圆心C到直线l的距离d＝＝，
弦长|AB|＝2＝2＝2，
又坐标原点O到线段AB的距离为，
所以S△OAB＝×2×＝1，故选A.
(2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程分别为圆C1 (x＋a)2＋y2＝4，
圆C2 x2＋(y－b)2＝1，
所以|C1C2|＝＝2＋1＝3，
即a2＋b2＝9.
由()2≤，得(a＋b)2≤18，所以－3≤a＋b≤3，当且仅当“a＝b”时取“＝”．所以选C.
【高考真题解读】
1．(2017·北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则·的最大值为________．
【答案】6
2.(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________．
【答案】(x＋1)2＋(y－)2＝1
【解析】由题意知该圆的半径为1，设圆心C(－1，a)(a＞0)，则A(0，a)．
又F(1，0)，所以＝(－1，0)，＝(1，－a)，由题意得与的夹角为120°，
得cos 120°＝＝－，解得a＝.
所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
3.【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】设，由，易得，由，可得或
，由得P点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点P横坐标的取值范围为．学
1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】A
2.【2016高考上海理数】已知平行直线，则的距离___________.
【答案】
【解析】利用两平行线间距离公式得.
3.【2016高考新课标3理数】已知直线 与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.
【答案】4
【解析】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
4.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（）（II）
（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.
过点且与垂直的直线 ，到的距离为，所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.学
5.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；
（3）设点满足 存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
1．(2015·新课标全国Ⅰ，14)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
【答案】＋y2＝
【解析】由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，
令y＝0，解得x＝，圆心为，半径为.故圆的标准方程为＋y2＝.
2．(2015·江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
【答案】(x－1)2＋y2＝2
3．(2015·广东，5)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
【答案】D
【解析】设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有＝，解得c＝±5，所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选D.学
4．(2015·新课标全国Ⅱ，7)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|＝( )
A．2 B．8 C．4 D．10
【答案】C
【解析】由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，则·＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，选C.
5．(2015·重庆，8)已知直线l x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．2
【答案】C
【解析】圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝＝
＝6，选C.
6．(2015·山东，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
【答案】D
【解析】圆(x＋3)2＋ (y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r＝1.(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率 存在，∴反射光线所在直线方程为y＋3＝ (x－2)，即 x－y－2 －3＝0.
∵反射光线与已知圆相切，
∴＝1，整理得12 2＋25 ＋12＝0，解得 ＝－或 ＝－.
7．(2014·江西，9)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )
A.π B.π
C．(6－2)π D.π
【答案】A
8．(2014·陕西，12)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为____________．
【答案】x2＋(y－1)2＝1
【解析】因为点(1，0)关于直线y＝x对称点的坐标为(0，1)，即圆心C为(0，1)，又半径为1，∴圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
9．(2014·四川，14)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
【答案】5
10．(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
【答案】－3
【解析】由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)可得－5＝4a＋ (1)．又y′＝2ax－，所以在点P处的切线斜率4a－＝－ (2)．由(1)(2)解得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.学
11．(2015·广东，20)已知过原点的动直线l与圆C1 x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数 ，使得直线L y＝ (x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】(1)圆C1的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
∴圆C1的圆心坐标为(3，0)．
(2)设动直线l的方程为y＝ x.
联立⇒( 2＋1)x2－6x＋5＝0，
则Δ＝36－4( 2＋1)×5>0⇒ 2<.
设A，B两点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝.
⇒AB中点M的轨迹C的参数方程为
即轨迹C的方程为＋y2＝，
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