【数学】2019届一轮复习北师大版导数学案

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第三章 导 数 导数与函数的单调性、极值、最值 【背一背重点知识】 1．求函数单调区间的步骤 (1）确定 的定义域，(2）求导数 ，(3）令 (或 )，解出相应的 的范围．当 时， 在相应区间上是增函数；当 时， 在相应区间上是减函数 2．求极值常按如下步骤 ① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程 的根及导 数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法， 检查在可能极值点的左右 两侧的符号，如果左正右负，那么 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 在这个根处取得极小值．． 3．求函数 在 上的最大值与最小值的步骤 ] (1)求函数 在 内的极值； (2)将函数 的各极值与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值． 【讲一讲提高技能】 1．必备技能 函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质，函数的单调区间是函数的定义 域的子区间，求函数的单调区间时千万不要忽视函数的定义域．如果一个函数在给定定义域 上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字 隔开． 利用导数研究函数最值问题讨论思路很清晰，但计算比较复杂，其次有时需要二次求导研究 导函数的最值 判断导函数的正负． - 根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这 种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内 的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时，导数等于零 的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论． ( )f x ' ( )f x ' ( ) 0f x > ' ( ) 0f x < x ' ( ) 0f x > ( )f x ' ( ) 0f x < ( )f x ' ( ) 0f x = ( )f x ( )f x )(xfy = [ ],a b )(xfy = ( ),a b )(xfy = ( ), ( )f a f b 2．典型例题 例 1．【2018 江西重点中 盟校高三第一次联考】已知函数 是偶函数，当 x∈(1，＋∞) 时，函数 ，设 ＝ ， ，则 、 、的大小关系为(　　) A． < < B． < < C． << D． < < 【答案】A 【名师点睛】数的大小比较主要考查了函数的单调性，尤其在给定函数的解析式的前提 下．本题中函数的解析中含有对数式，一次式，分式，对其单调性的判断主要利用导数的方 法 判断．利用导数 判断单调性时要注意函数的定义域．本题的另一个难点是利用函数的解 析式将 转化为 ． 例 2．【2018 湖北襄阳高三 1 月调研】已知定义在 R 上的可导函数 f (x)的导函数为 ，满足 ，f (0) = 1，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令 ，则 ，故 为 上 的 减 函 数 ， 有 等 价 于 ， 即 ， 故 不 等 式 的 解 ． 【名师点睛】在导数问题中，我们往往需要利用导数满足的关系式构建新函数，通常有下面 的几种类型 根 据 构 造 新 函 数 ； 根 据 构 造 新 函 数 ；根据 构造新函数 ． 【练一练提升能力】 ( )y f x= ′ ( ) ( )f x f x′ < ( ) xf x e< ( )0 + ∞， ( )1 + ∞， ( )2− + ∞， ( )4 + ∞， ( ) ( ) x f xF x e = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' '' 0 x x x x f x e f x e f x f xF x e e − −= = < ( )F x R ( ) xf x e< ( ) 1F x < ( ) ( )0F x F< ( )0,+∞ ( ) ( )'f x f x< ( ) ( ) x f xF x e = ( ) ( )' 0f x f x+ < ( ) ( )xF x e f x= ( ) ( )' 0xf x f x+ < ( ) ( )F x xf x= 1．【2018 广东中山模拟】 在 上是增函数， 的范围是（ ） A． 或 B． C． D． 【答案】C 2．【2018 河北衡水武邑中 高三上 期第五次调研】设函数 是奇函数 的 导函数， ，且当 时， ，则使得 成立的 的取 值范围是（ ） A ． B ． C ． D． 【答案】A 【解析】设 g（x）= 则 g（x）的导数为 g′（x）= ∵当 x＞0 时，xf′ （x）-f（x）＞0，即当 x＞0 时，g′（x）恒大于 0，∴当 x＞0 时，函数 g（x）为增函数，∵ f（x）为奇函数∴函数 g（x）为定义域上的偶函数，又∵g（-1）= ∵f（x）＞0，∴ 当 x＞0 时， ，当 x＜0 时， ，∴当 x＞0 时，g（x）＞0=g（1），当 x＜ 0 时，g（x）＜0=g（-1），∴x＞1 或-1＜x＜0，故使得 f（x）＞0 成立的 x 的取值范围是 （-1，0）∪（1，+∞），故选 A． 【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不 ( ) ( ) ( )3 2 21 4 1 15 2 7 23f x x m x m m x= − − + − − + ( ),−∞ +∞ m 4m < − 2m > − 4 2m− < < − 2 4m≤ ≤ 2 4m< < ( )f x′ ( )( )f x x R∈ ( )1 0f − = 0x > ( ) ( ) 0xf x f x− >′ ( ) 0f x > x ( ) ( )1,0 1,− ∪ +∞ ( ) ( ), 1 0,1−∞ − ∪ ( ) ( ), 1 1,0−∞ − ∪ − ( ) ( )0,1 1,∪ +∞ ( ) ,f x x ( ) ( ) 2 xf x f x x −′ ( )1 01 f − =− ( ) 0f x x > ( ) 0f x x < 等式，根据 构造新函数 g（x）= 是解决本题的关键． 利用导数探求参数的范围问题 【背一背重点知识】 1．由函数的单调性求参数的取值范围，这类问题一般已知 在区间 上单调递增(递减)， 等价于不等式 (或 )在区间 上恒成立，通过分离参数求得新函数的最值， 从而求出参数的取值范围． 2．常见结论 (1)若 ， 恒成立，则 ； 若 ， 恒 成立，则 (2)若 ，使得 ，则 ；若 ，使得 ，则 ． (3)设 与 的定义域的交集为 D，若 D 恒成立，则有 ． (4)若对 、 ， 恒成立，则 ． (5)若对 ， ，使得 ，则 ． (6)若对 ， ，使得 ，则 ． (7)已知 在区间 上的值域为 A，， 在区间 上值域为 B，若对 ， ，使得 = 成立，则 ． (8)若三次函数 有三个零点，则方程 有两个不等实根 ，且极大值大于 ，极小值小于 ． (9)证题中常用的不等式 ① ； ② ；③ ( ) ( ) 0xf x f x− >′ ， ( )f x x ( )f x I ' ( ) 0f x ≥ ' ( ) 0f x ≤ I x I∀ ∈ ( )f x 0> min( )f x 0> x I∀ ∈ ( )f x 0< max( )f x 0< 0x I∃ ∈ 0( )f x 0> max( )f x 0> 0x I∃ ∈ 0( )f x 0< min( )f x 0< ( )f x ( )g x x∀ ∈ ( ) ( )f x g x> [ ]min( ) ( ) 0f x g x− > 1 1x I∀ ∈ 2 2x I∈ 1 2( ) ( )f x g x> min max( ) ( )f x g x> 1 1x I∀ ∈ 2 2x I∃ ∈ 1 2( ) ( )f x g x> min min( ) ( )f x g x> 1 1x I∀ ∈ 2 2x I∃ ∈ 1 2( ) ( )f x g x< max max( ) ( )f x g x< ( )f x 1I ( )g x 2I 1 1x I∀ ∈ 2 2x I∃ ∈ 1( )f x 2( )g x A B⊆ ( )f x ( ) 0f x′ = 1 2x x、 0 0 ln 1 ( 0)x x x≤ − > ln +1 ( 1)x x x≤ > −（ ） ； ④ ；⑤ ； ⑥ 【讲一讲提高技能】 1．必备技能 不等式恒成立求参数取值范围问题经常采用下面两种方法求解 一是最常使用 的方法是分离参数求最值，即要使 恒成立，只需 x，要使 恒 成立，只需 ，从而转化为求 的最值问题．二是，当参数不宜进行分离时， 还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如 要使不等式 恒成立，可求得 的最小值 ，令 即可求出 的范围． 2．典型例题 例 1 ．【 2018 湖 北 部 分 重 点 中 高 三 上 期 第 二 次 联 考 】 已 知 函 数 （ 为自然对数的底数）与 的图象上存在两组关于 轴对称的点， 则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【名师点睛】本题考查导数的应用．本题中题目转化为 在 上有两个 解，分离参数得 ，则令 ，得到 在 单调递减， 上单调递增，通过图象判断得 ． 1xe x≥ + 1xe x− ≥ − ln 1 ( 1)1 2 x x xx −< >+ 2 2 ln 1 1 ( 0)2 2 x xx x < − > ( )a g x≥ ( )maxa g x≥ ( )a g x≤ ( )mina g x≤ ( )f x ( ) 0f x ≥ ( )f x ( )h a ( ) 0h a ≥ a ( ) 2f x a x= − 1 ,x e ee ≤ ≤ ( ) 2lng x x= x a ( 21, 2e −  2 11, 2e  +   2 2 1 2, 2ee  + −   2 2 1 2, 2ee  + −   2 2ln 0a x x− + = 1 ,ee      2 2lna x x= − ( ) 2 2lnh x x x= − ( )h x 1 ,1e      ( )1,e 2 11 2a e < ≤ + 例 2．【2018 湖南永州高三二模】函数 ，若 ， 使得 都有 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，使得 都有 ，设 ， ，只需 ，由二次 函数的性质可得， ，由 ，得 ，由 ，得 ， ， ， ，得 ，得 ， ， 的取 值范围是 ，故选 C． 【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及不等式 恒成立问题，属于难题．解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等 式 问 题 ， 全 称 量 词 与 存 在 量 词 的 应 用 共 分 四 种 情 况 （ 1 ） 只需 ；（2） ，只 需 ； （ 3 ） ， 只 需 ；（4） ， ， ． 【练一练提升能力】 1．【2018 四川广安、眉山毕业班第一次诊断性考试】已知函数 ，设 关于 的方程 有 个不同的实数解，则 的所有可能的值为 A． B． 或 C． 或 D． 或 或 【答案】A ( ) ( )2 , { , x x a k a x a f x e x aa x − − − − ≤ = >− ( ]0 ,x a∃ ∈ −∞ ( )1 ,x a∀ ∈ +∞ ( ) ( )1 0f x f x≤ k ( ),1−∞ [ )1,+∞ ( ],2−∞ [ )2,+∞  ( ]0 ,x a∃ ∈ −∞ ( )1 ,x a∀ ∈ +∞ ( ) ( )1 0f x f x≤ ( ) ( )2 ,g x x a k a x a= − − − − ≤ ( ) , xeh x x aa x = >− ( ) ( )max maxg x h x> ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2max 1, ' xe a xg x g a k a h x a x + −= = − − = − ( )' 0h x > 1a x a< < + ( )' 0h x < 1x a> + ( ) ( ) 1 1 max 1 ,a ah x h a e k a e+ +∴ = + = − ∴− − ≥ − ( )1ak e a P a+≤ − = ( ) 1' 1,aP a e += − ( )' 0P a > ( )1, ' 0a P a> − < 1a < − ( ) ( )min 1 2, 2P a P k∴ = − = ∴ ≤ k ( ],2−∞ 1 2, ,x D x E∀ ∈ ∀ ∈ ( ) ( )1 2f x g x≥ ( ) ( )min maxf x g x≥ 1 ,x D∀ ∈ 2x E∃ ∈ ( ) ( )1 2f x g x≥ ( )minf x ≥ ( )ming x 1x D∃ ∈ 2 ,x E∀ ∈ ( ) ( )1 2f x g x≥ ( )max ,f x ≥ ( )maxg x 1 2,x D x E∃ ∈ ∃ ∈ ( ) ( )1 2f x g x≥ ( )maxf x ≥ ( )ming x ( ) ( )2 1 xf x x x e= − − x ( ) ( ) ( )2 5f x mf x m Re − = ∈ n n 3 1 3 4 6 3 4 6 【解析】 在 和 上单增， 上单减， 又当 时， 时， 故 的图象大致为 令 ，则方程 必有两个根， 且 ，不仿设 ，当 时，恰有 ，此时 ，有 个根， ，有 个根，当 时必有 ，此时 无根， 有 个根，当 时必有 ，此时 有 个根， ，有 个根，综上，对任意 ，方程均 有 个根，故选 A． 【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法 (1)直接法， 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法， 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同 一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函 数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题． 2．【2018 河北衡水金卷高三高考模拟】若函数 ， ，对于给定的非零实数 ， 总存在非零常数 ，使得定义域 内的任意实数 ，都有 恒成立，此时 为 的类周期，函数 是 上的 级类周期函数．若函数 是定义 在 区 间 内 的 2 级 类 周 期 函 数 ， 且 ， 当 时 ， 函 数 ． 若 ， ( ) ( )( ) ( )' 1 2 ,xf x x x e f x= − + ∴ ( ), 2−∞ − ( )1,+∞ ( )2,1− x → −∞ ( ) 0,f x x→ → +∞ ( )f x → +∞ ( )f x ( )f x t= 2 5 0t mt e − − = 1 2,t t 1 2 5t t e = − 1 20t t< < 1t e= − 2 2 5t e−= ( ) 1f x t= 1 ( ) 2f x t= 2 1t e< − 2 20 5t e−< < ( ) 1f x t= ( ) 2f x t= 3 1 0e t− < < 2 2 5t e−> ( ) 1f x t= 2 ( ) 2f x t= 1 m R∈ 3 ( ) ( ),y g x y h x= = ( ),y a y g x= = ( )y f x= x M∈ a T M x ( ) ( )af x f x T= + T ( )f x ( )y f x= M a ( )y f x= [ )0,+∞ 2T = [ )0,2x∈ ( ) ( ) 21 2 ,0 1,{ 2 2 ,1 2, x xf x f x x − ≤ ≤= − < < ( ) 212ln 2g x x x x m= − + + + [ ]1 6,8x∃ ∈ ， 使 成 立 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是 （ ） A． B． C． D． [ ] 【答案】B 【解析】 是定义在区间 内的 级类周期函数，且 ， ，当 时， ，故 时， 时， ，而 当 时， ， ，当 时， 在区间 上单 调递减，当 时， 在区间 上单调递增，故 ，依题意得 ，即 实数 的取值范 围是 ，故选 B． 利用定积分求解平面图形的面积 【背一背重点知识】 定积分求曲边梯形面积 1．由三条直线 ， 轴及一条曲线 ( )围成的曲边梯的 面积 ． …… ( )2 0,x∃ ∈ +∞ ( ) ( )2 1 0g x f x− ≤ m 5, 2  −∞   13, 2  −∞   3, 2  −∞ −   13,2  +∞  ( )y f x= [ )0,+∞ 2 ( ) ( )2, 2 2T f x f x= ∴ = + ( ) ( ) ( )2 2 4 4f x f x f x∴ = − = − ( ) ( )8 6 16 8f x f x= − = − [ )0,2x∈ ( ) ( ) 21 2 ,0 1{ 2 2 ,1 2 x xf x f x x − ≤ ≤= − < < ( ) 2 2 1 2 ,0 12{ 1 2 2 ,1 22 x x x x − ≤ ≤ = − − < < [ )0,2x∈ ( ) ( ) [ )max 10 , 6,82f x f x= = ∈ ( ) ( ) ( )max 6 8 0 4f x f f= = = ( ) ( )8 16 0 8,f f= = ∴ [ ]6,8x∈ ( )max 8f x = ( ) ( )( )2 2 12' x xx xg x x x + −+ −= = ( )0,1x∈ ( ) ( )' 0,g x g x< ( )0,1 ( )1,x∈ +∞ ( ) ( )' 0,g x g x> ( )1,+∞ ( ) ( )min 31 2g x g m= = + ( ) ( )min maxg x f x≤ 3 8,2 m+ ≤ ∴ m 13, 2  −∞   ( ),x a x b a b= = < x ( )y f x= ( ) 0f x ≥ ∫= b a dxxfS )( 2．如果图形由曲线 ， （不妨设 ），及直线 围成，那么所求图形的面积 S＝S 曲边梯形 AMNB－S 曲边梯形 DMNC＝ ． 3．如果图形由曲线 以及直线 如下图围成，那么所求图形的面 积为 轴上方的积分值，加上 轴下方的积分值的相反数． 【讲一讲提高技能】 1 必备技能 定积分的应用及技巧 (1)对被积函数，要先化简，再求定积分．(2)求被积函数是分段函数的 定积分，依据定积分的性质，分段求定积分再求和．(3)对含有绝对值符号的被积函数，要 去掉绝对值符号才能求定积分．(4)应用定积分求曲边梯形的面积，解题的关键是利用两条 曲线的交点确定积分区间以及结合图形确定被积函数．求解两条曲线围成的封闭图形的面积 一般是用积分区间内上方曲线减去下方曲线对应的方程、或者直接作差之后求积分的绝对值， 否则就会求出负值． [易错提示]　在使用定积分求两曲线围成的图形的面积时，要注意根据曲线的交点判断这个 面积是怎样的定积分，既不要弄错积分的上下限，也不要弄错被积函数． 1 1( )y f x= 2 2 ( )y f x= 1 2( ) ( ) 0f x f x≥ ≥ ( ),x a x b a b= = < ∫ ∫−b a b a dxxfdxxf )()( 21 ( )y f x= ( ),x a x b a b= = < x x 用微积分基本定理求定积分时，要掌握积分与导数的互逆关系及求导公式的逆向形式． 2 典型例题 例 1．【2018 内蒙古呼和浩特高三年级质量普查调研】曲线 与直线 所围成的封 闭图像的面积是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 ，故选 C． 例 2．【2018 皖江名校高三 12 月份大联考】由直线 及曲线 所围成 的封闭图形的面积为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【 解 析 】 如 图 所 示 ， 曲 边 四 边 形 OABC 的 面 积 为 ． 故选 A． 【名师点睛】本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计 算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤 （1）根据已知条件，作出 平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交 点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积． 【练一练提升能力】 1．【2018 安徽淮南高三一模】求曲线 与 所围成的图形的面积 ，正确的是( ) 2y x= y x= 1 6 1 3 1 2 5 6 2y x= y x= ( ) 1 1 2 2 3 0 0 1 1 1 1 1 2 3 2 3 6x x dx x x − = − = − =  ∫ 0, , 2y x e y x= = = 2y x = 3 2ln2+ 22 3e − e ( )1 1 1 21 2 1 2ln 1 2 ln ln1 1 2 32 e edx x ex × × + = + = + − = + =∫ 2y x= y x= S A ． B ． C ． D． 【答案】A 【解析】如图所示 故选 A． 2 ．【 2018 河 北 衡 水 金 卷 高 三 高 考 模 拟 】 已 知 函 数 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， 的 几 何 意 义 是 以 原 点 为 圆 心 ， 半 径 为 的 圆 的 面 积 的 ， 故 ，故选 D． ( )1 2 0 S x x dx= −∫ ( )1 2 0 S x x dx= −∫ ( )1 2 0 S y y dy= −∫ ( )1 0 S y y dy= −∫ ( )1 2 0 ABO ABOS S S x x dx= − −∫ 曲边梯形 ＝ ， ( ) [ ] ( ]2 , ,0 , { 1 , 0,1 , sinx x f x x x π∈ − = − ∈ ( )1 f x dx π− =∫ 2 π+ 2 π 2 2 π− + 24 π − ( )1 0 1 2 0 sin 1f x dx xdx x dx π π− − = + −∫ ∫ ∫ 0 0sin cos | 2xd x π π − − = − = −∫ 1 2 0 1 x dx−∫ 1 1 4 ( )1 1 2 0 11 , 24 4x dx f x dx π ππ − − = ∴ = −∫ ∫ （一）选择题（12 5=60 分） 1．【2018 陕西高三第一次模拟】设函数 ，则下列结论正确的是 （ ） A．函数 在 上单调递增 B．函数 在 上单调递减 C．若 ，则函数 的图像在点 处的切线方程为 D．若 ，则函数 的图像与直线 只有一个公共点 【答案】C 【解析】对于选项 A，B，由条件得 ，故 在区间 和 上单调递增，在 上单调递减，故 A，B 都不正确．对于选项 C， 可得 ，故所求的切线方程 为 ，即 ，所以 C 正确．对于选项 D，当 时，由 可得 ．令 ，则 ， 故函数 在区间 和 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时， 有极大值，且极大值为 ；当 时， 有极小值，且极小值 为 ，因此函数 的图象与 x 轴有三个交点，从而函数 的图像与直 线 有三个交点．故 D 不正确．综上选 C． 2．【2018 广东茂名高三上 期第一次综合测试】函数 的部分图象大致为(　　) A ． B ． C ． ( ) 3 12f x x x b= − + ( )f x ( ), 1−∞ − ( )f x ( ), 1−∞ − 6b = − ( )f x ( )( )2, 2f− − 10y = 0b = ( )f x 10y = ( ) ( )( )23 12 3 2 2f x x x x= = −′ − + ( )f x ( ), 2−∞ − ( )2,+∞ ( )2,2− ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 32 3 2 12 0, 2 2 12 2 6 10f f− = × − − = − = − − × − − =′ 10 0y − = 10y = 0b = ( ) 3 12 10f x x x= − = 3 12 10 0x x− − = ( ) 3 12 10g x x x= − − ( ) ( )( )23 12 3 2 2g x x x x= = −′ − + ( )g x ( ), 2−∞ − ( )2,+∞ ( )2,2− x 2= − ( )g x ( )2 6 0g − = > x 2= ( )g x ( )2 26 0g = − < ( )g x ( )f x 10y = ( ) e 3 x f x x = D． 【答案】C 【解析】由题意得函数 f(x)为奇函数，故排除 B；又 ，故排除 A；当 时， ， ，函数 在区间 上单调递减，在区间 上 单调递增，故排除 D，故选 C． 3 ． 函 数 在 上 最 大 ， 最 小 值 分 别 为 （ ） A．5，-15 B．5，4 C．-4，-15 D．5，-16 【答案】A 4．【2018 广西贵港市高三 12 月联考】若函数 在区间 上单调递增， 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，所以 ， 在区间 上单调递增， 在区间 上 恒成立，即 恒成立，当 时， ， ，故选 D． 5．设函数 ，则 在区间 上的最大值为（ ） A．-1 B．0 C． D． 【答案】B ( )1 13 ef = < 0x > ( ) e 3 x f x x = ( ) 2 ( 1)e 3 xxf x x −∴ =′ ( )f x ( )01， ( )1,+∞ ( ) 2lnf x kx x= − ( )1,+∞ k ( ], 2−∞ − ( ], 1−∞ − [ )1,+∞ [ )2,+∞ ( ) 2lnf x kx x= − ( ) 2f x k x ′ = − ( )f x ( )1,+∞ ∴ ( )1,+∞ ( ) 2 0f x k x = − ≥′ 2k x ≥ ( )1,x∈ +∞ 20 2x < < 2k∴ ≥ 【解析】 ，有 ．令 ，解得 ， （舍去）．当 变化时， 和 的变化情况如下 1 -[ , , ,X,X, ] 0 +[ | | ] 0 极小值 0 所以当 或 时， 有最大值 0．故选 ． 6 ．【 2018 安 徽 蒙 城 一 中 、 淮 南 一 中 等 “ 五 校 ” 高 三 上 期 联 考 】 若 函 数 在其定义域的一个子区间 内不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【 解 析 】 函 数 的 定 义 域 为 ， 所 以 ， 即 ， 又 ，令 ，解得 或 （舍去），由于 函 数 在 区 间 内 不 是 单 调 函 数 ， 所 以 ， 即 ，解得 ．综上可得 ，故选 D． 7．【2018 山西榆社中 高三 11 月月考】当 时， 恒成立，则 的取 值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A ( ) 2 ln 2f x x x x= + − − ( )2 1, 2k k− + k 3 3,2 4  −   1 ,32     3 ,32  −   1 3,2 4     ( )0,+∞ 2 1 0k − ≥ 1 2k ≥ ( ) ( )( )1 2 112 1 x xf x x x x +=′ −= + − ( ) 0f x′ = 1 2x = 1x = − ( )2 1,2 1k k− + ( )1 2 1,2 12 k k∈ − + 12 1 2 12k k− < < + 3 3 2 4k− < < 1 3 2 4k≤ < 0x ≥ ( )ln 11 xxe a xx ≥ ++ a ( ],1−∞ ( ],e−∞ 1, e  −∞   ( ],0−∞ 8 ．【2018 广西桂林、崇左、百色高三下 期一模】已知函数 ，则“ ” 是“函数 在 上为增函数”的（ ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不 必要条件 【答案】B 【 解 析 】 ， 即 在 区 间 上 恒 成 立 ， 则 ， 而 ，故选 B． 9．【2018 河南豫南豫北高三第二次联考】函数 与 ， 这两个函数在区间 上都是减函数的一个充分不必要条件是实数 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵f（x）=-x2+2（a-1）x 在区间[1，2]上是减函数，∴a-1≤1，即 a≤2， 在区间[1，2]上是减函数，∴a-1＞0，即 a＞1，∴a 的取值范围是（1，2]．故 （1，2]一 个充分不必要条件是实数 故选 C 10．【2018 甘肃张掖市高三备考质量检测第一次考试】设函数 在 上存在导函数 ，对于任意实数 ，都有 ，当 时， 若 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C ( ) 2 af x x x = + 0 2a< < ( )f x ( )1,+∞ ( ) 2' 2 0af x x x = − ≥ 32x a≥ ( )1,+∞ 2a ≤ 0 2 2a a< < ⇒ ≤ ( ) ( )2 2 1f x x a x= − + − ( ) 1 1 ag x x −= + [ ]1,2 a∈ ( ) ( )2, 1 1,2− − ∪ ( ) ( ]1,0 0,2− ∪ ( )1,2 ( ]1,2 ( ) 1 1 ag x x −= + a∈ ( )1,2a∈ ( )f x R ( )f x′ x ( ) ( )26f x x f x= − − ( ),0x∈ −∞ ( )2 1 12f x x+′ < ( ) ( ) 22 2 12 9f m f m m+ ≤ − + − m [ )1,− +∞ 1 ,2  − +∞  2 ,3  − +∞  [ )2,− +∞ 【解析】 ，设 ，则 为奇函数，又 在 上是减函数，从而在 上是减函数，又 ，等价于 ，即 ， 解得 ，故选 C． 11．【2018 湖北荆州中 、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三 2 月联考】 对 ， 设 是 关 于 的 方 程 的 实 数 根 ， ， （ 符 号 表 示 不 超 过 的 最 大 整 数 ）． 则 （ ） A．1010 B．1012 C．2018 D．2020 【答案】A 【解析】设 ，则 记 当 是增函数，方程 只有一 个实根 即 故选 A． 12．【2018 吉林省普通中 高三第二次调研】已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，给出下列命题 ① 当 时， ； ② 函数 的单调递减区间是 ； ③ 对 ，都有 ． ( ) ( )2 23 3 0f x x f x x− + − − = ( ) ( ) 23g x f x x= − ( ) ( ) ( )0,g x g x g x+ − = ∴ ( ) ( ) ( )1' ' 6 ,2g x f x x g x= − < − ∴ ( ),0x∈ −∞ R ( ) ( ) 22 2 12 12 9f m f m m m+ ≤ − + + − ( ) ( ) ( ) ( )2 22 3 2 2 3 2f m m f m m+ − + ≤ − − − − ( ) ( )2 2 , 2 2g m g m m m+ ≤ − ∴ + ≥ − 2 3m ≥ − *n N∈ nx x 3 2 0nx x n+ − = ( )1n na n x = +  ( )2,3n =  [ ]x x 2 3 2018 2017 a a a+ + + = 1t n x= +（ ） 3 3 2 21 1 1 t t tx nx x n n nn n n  = ∴ + − = ⋅ + ⋅ − + + + ， ， 3 21 1 t tg t n n n Nn n  = ⋅ + ⋅ − ∈ + + （ ） ， ， 2n ≥ ， g t（ ） 0g t =（ ） nt ． ( ) ( ) 2 3 1 1 2 0 0 1 n n n g n g n n + − + = = +（ ） ＞ ，（ ） ＜ ， 1nn t n∴ +＜ ＜ ， [ ]1 1 1n n nn n x n a n x n+ + ∴ = + =＜（ ） ＜ ， （ ） ， ( )2 3 2018 2 2018 20171 1010.2017 2017 2 a a a + ×+ + +∴ = × = ( )f x R 0x < ( ) xf x xe= 0x > ( ) xf x xe−= − ( )f x ( ) ( ), 1 , 1,−∞ − +∞ 1 2,x x R∀ ∈ ( ) ( )1 2 2f x f x e − ≤ 其中正确的命题是[ A．①② B．②③ C．①③ D．② 【答案】B 【解析】∵函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，∴当 ，即 时， ，即 ，故①不正确；当 时， ，则 ，令 ，则 ，即 的单调 减区间是 ，同理可得当 时， 的单调减区间是 ，故②正确；由 函数 的单调性可得 的值域是 ，∴对 ，都有 ，故③正确，故选 B （二）填空题（4 5=20 分） 13．【2018 广东中山高二上 期期末复习】已知函数 的图象与 轴切于 点 ，则 的极大值为_________，极小值为________． 【答案】 极大值为 极小值为 14．【2018 河南天一大联考高三上 期阶段性测试（二）（10 月）】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 在 上恒成立，所以 最大值． ( )f x R 0x < ( ) xf x xe= 0x > 0x− < ( ) ( )xf x xe f x−− = − = − ( ) xf x xe−= 0x < ( ) xf x xe= ( ) ( )1x x xf x e xe x e′ = + = + ( ) 0f x′ < 1x < − ( )f x ( ), 1−∞ − 0x > ( )f x ( )1,+∞ ( )f x ( )f x ) (1 1,0 0,e e− − − ∪  1 2,x x R∀ ∈ ( ) ( )1 2 2f x f x e − ≤ ( ) 3 2f x x ax bx= − − x ( )1,0 ( )f x 4 27 0 令 ，则 ，当 时 15．【2018 广东中山模拟】设 f(x)是在 R 上的奇函数，在 上 且 ，则 的解集为______________． 【答案】（-1，0） (0，1） 【 解 析 】 设 ， 则 ， 函数 在区间 上是减函数， 是定义在 上的奇函数， 是 上的偶函数， 函数 在区间 上是增函 数 ， ， 即 且 化 为 ， 对于偶函数 ，有 ，故不等式为 ， 函数 在区间 上是增函数， 且 ，解得 且 ，故 的解集为 ，故答案为 ． 16．【2108 河北廊坊八中高三模拟】已知函数 的两个极 值 点 分 别 为 ， 且 ， 若 存 在 点 在 函 数 的图象上，则实数 的取值范围是__________． 【答案】 (或 ) ( ), 0−∞ ( ) ( )2 2 2 0xf x f x+ <′ ( )2 0f − = ( )2 0xf x < ∪ ( ) ( )2g x xf x= ( ) ( ) ( ) ( )' 2 ' ' 2 ' 2g x xf x x f x xf x = = +  ( ) ( )2 ' 2 2 0xf x f x= + < ∴ ( )g x ( ),0−∞ ( )f x R ( ) ( )2g x xf x∴ = R ∴ ( )g x ( )0,+∞ ( ) ( )2 0, 2 0f f− = ∴ = ( )1 0g = ( ) ( )0 0 0 0,g f= = ( )2 0xf x∴ < ( ) 0g x <  ( )g x ( ) ( ) ( )g x g x g x− = = ( ) ( )1g x g<  ( )g x ( )0,+∞ 1x∴ < 0x ≠ 1 1x− < < 0x ≠ ( )2 0xf x < ( ) ( )1,0 0,1− ∪ ( ) ( )1,0 0,1− ∪ ( ) ( )3 22 3 3 1f x x mx m n x= + + + + 1 2,x x ( ) ( )1 20,1 , 1,x x∈ ∈ +∞ ( ),P m n ( )( )log 4 1ay x a= + > a ( )1,3 1 3a< <