【数学】2020届一轮复习北师大版解三角形学案

【数学】2020届一轮复习北师大版解三角形学案

第3讲　大题考法——解三角形 考向一　正、余弦定理的基本应用 ‎【典例】 (2018·南充联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c－b＝2bcos A．‎ ‎(1)若a＝2，b＝3，求边c；‎ ‎(2)若C＝，求角B．‎ 解　(1)由c－b＝2bcos A及余弦定理cos A＝，‎ 得＝，‎ 所以a2＝b2＋bc，所以(2)2＝32＋‎3c，解得c＝5．‎ ‎(2)因为c－b＝2bcos A，‎ 所以由正弦定理得sin C－sin B＝2sin Bcos A．‎ 因为C＝，所以1－sin B＝2sin Bcos A，‎ 所以1－sin B＝2sin Bcos，‎ 即1－sin B＝2sin2B，所以(2sin B－1)(sin B＋1)＝0，‎ 所以sin B＝或sin B＝－1(舍去)，‎ 因为0＜B＜，所以B＝．‎ ‎[技法总结]　用正、余弦定理求解三角形基本量的方法 ‎[变式提升]‎ ‎1．(2018·揭阳三诊)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acos C＋(c－3b)cos A＝0．‎ ‎(1)求tan A的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积为，且b－c＝2，求a的值．‎ 解　(1)∵acos C＋(c－3b)cos A＝0，‎ ‎∴sin Acos C＋(sin C－3sin B)cos A＝0，‎ 即sin Acos C＋sin Ccos A＝3sin Bcos A⇒cos A＝，‎ ‎∴tan A＝2．‎ ‎(2)S＝bcsin A＝bc·＝⇒bc＝3，‎ a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc－bc＝4＋×3＝8⇒a＝2．‎ ‎2．(2018·宣城二调)△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2＝4absin‎2C．‎ ‎(1)求sin A·sin B；‎ ‎(2)若A＝，a＝3，求c的大小．‎ 解　(1)∵c2＝4absin‎2C，‎ ‎∴由正弦定理，得sin‎2C＝4sin A·sin B·sin‎2C，‎ 又△ABC中，sin C≠0，∴sin A·sin B＝．‎ ‎(2)A＝时，sin A＝，又sin A·sin B＝，∴sin B＝，又A＋B＜π，B∈(0，π)，∴B＝，‎ ‎∴a＝b＝3，C＝π－A－B＝，‎ ‎∴c2＝a2＋b2－2abcos C＝27，∴c＝3．‎ 考向二　与三角形面积有关的问题 ‎【典例】 (2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎(1)；‎ ‎(2)若a＋c＝6，，求b．‎ ‎[审题指导]‎ ‎①看到三角恒等式，想到三角恒等变换公式，遇平方要降次 ‎②看到求cos B，想到条件中A＋C化为B后，恒等变换可求 ‎③看到三角形面积，想到恰当的选择相应的三角形面积公式 ‎[规范解答]　(1)由题设及A＋B＋C＝π得 sin B＝8sin2 ， 2分 即sin B＝4(1－cos B)❶， 3分 故17cos2B－32cos B＋15＝0， 4分 解得cos B＝，cos B＝1(舍去)❷. 6分 ‎(2)由cos B＝，得sin B＝， 7分 故S△ABC＝acsin B＝ac❸. 8分 又S△ABC＝2，则ac＝. 9分 由余弦定理及a＋c＝6得 b2＝a2＋c2－2accos B ‎＝(a＋c)2－‎2ac❹(1＋cos B) 10分 ‎＝36－2×× ‎＝4. 11分 所以b＝2. 12分 ‎❶处利用倍角公式时，易把sin2＝记为sin2＝，导致化简结果错误．‎ ‎❷处根据三角形中内角的范围舍去cos B＝1易忽视．‎ ‎❸处关键是利用(1)的结论，结合平方关系求出sin B，由此明确面积公式的选择．‎ ‎❹处若出现a＋c及ac，则注意余弦定理中配方法的使用，以及整体思想的运用．‎ ‎[技法总结]　与三角形面积有关的问题的解题模型 ‎[变式提升]‎ ‎3．(2018·永州三模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＋sin 2(B＋C)＝0．‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)若|b－c|＝，△ABC的面积为，求a的值．‎ 解　(1)∵cos A＋sin 2(B＋C)＝0，‎ ‎∴cos A＋sin 2(π－A)＝cos A－sin ‎2A＝0．‎ ‎∴cos A－2sin Acos A＝0．‎ 又△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴cos A≠0，sin A＝.∴A＝60°．‎ ‎(2)由S△ABC＝bcsin A＝bc·＝，得bc＝4，‎ ‎∵|b－c|2＝b2＋c2－2bc＝5，‎ ‎∴b2＋c2＝13．‎ ‎∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝13－2×4×＝9.即a＝3．‎ ‎4．(2018·榆林三诊)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝acos B．‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若b＝，c＝2，a＞b求△ABC的面积．‎ 解　(1)因为＝acos B，‎ 所以sin A＝sin Acos B，‎ 而sin A≠0，故cos B＝，‎ 所以B＝．‎ ‎(2)由b2＝a2＋c2－2accos B，得7＝12＋a2－2×‎2‎a×，化简得a2－‎6a＋5＝0，解得a＝5，或a＝1(舍去)，‎ 所以S△ABC＝acsin B＝．‎