【数学】2020届一轮复习苏教版第四章第6讲正弦定理余弦定理学案
第6讲 正弦定理、余弦定理
考试要求 1.正弦定理、余弦定理(B级要求)；2.运用定理解决解三角形问题(B级要求).
知 识 梳 理
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
变形
(1)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝
cos B＝；
cos C＝
2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A
b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin__B＝bcsin__A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形.( )
(5)在△ABC中，＝.( )
(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( )
解析 (2)△ABC中，sin A>sin B，结合＝＝2R得a>b，故A>B.
(5)△ABC中，＝＝＝2R，
故＝＝2R＝.
(6)已知两边和一角，就能由余弦定理或正弦定理解出这个三角形的其它角与边，故据面积公式S△ABC＝absin C即可求三角形的面积.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√
2.在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积S△ABC＝________.
解析 ∵b＝＝＝＋，
∵S△ABC＝absin C＝(＋)×＝＋1.
答案 ＋1
3.(2018·全国Ⅱ卷改编)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝________.
解析 因为cos ＝，所以cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12
－2×5×1×＝32，所以AB＝4.
答案 4
4.(2018·金陵中学等三校模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C的值为________.
解析 在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)，则sin Acos C＋sin Ccos A＋sin Asin C－
sin Acos C＝0，即sin Ccos A＋sin Asin C＝0，又sin C≠0，则cos A＋sin A＝0，即tan A＝－1，又A∈(0，π)，则A＝，由正弦定理得＝，则＝，sin C＝，又C∈，则C＝.
答案
5.(2018·淮安质检)已知在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积为________.
解析 由正弦定理得sin B＝2sin A·cos B，故tan B＝2sin A＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，又A＝，所以△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.
答案
考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
角度1 化边为角或化角为边解三角形
【例1－1】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝
2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小.
(1)证明 由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋
B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是sin B＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)解 由S＝得absin C＝，
故有sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B，
因sin B≠0，得sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
角度2 利用平面几何图形解三角形
【例1－2】 (2019·连云港、徐州、宿迁调研)如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cos A＝，cos∠ACB＝，BC＝13.
(1)求cos B的值；
(2)求CD的长.
解 (1)在△ABC中，cos A＝，A∈(0，π)，
所以sin A＝＝＝.
同理可得sin∠ACB＝.
所以cos B＝cos[π－(A＋∠ACB)]＝－cos(A＋∠ACB)
＝sin Asin ∠ACB－cos Acos∠ACB
＝×－×＝.
(2)在△ABC中，由正弦定理得AB＝sin∠ACB＝×＝20，
又AD＝3DB，所以BD＝AB＝5.
在△BCD中，由余弦定理得，
CD＝
＝＝9.
规律方法 应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解.
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解.
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
【训练1】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A＝，求△ABC的面积.
解 (1)由题意得－＝sin 2A－sin 2B，
即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B，
sin＝sin.
由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，
得2A－＋2B－＝π，
即A＋B＝，
所以C＝.
(2)由c＝，sin A＝，＝，得a＝.
由a0，
∴sin A＝1，即A＝.
(2)法一 利用边的关系来判断：
由正弦定理得＝，
由2cos Asin B＝sin C，
有cos A＝＝.
又由余弦定理得cos A＝，
∴＝，
即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.
又∵a2＋b2－c2＝ab.
∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，
∴b＝c，∴a＝b＝c.
∴△ABC为等边三角形.
法二 利用角的关系来判断：
∵A＋B＋C＝180°，
∴sin C＝sin(A＋B)，
又∵2cos Asin B＝sin C，
∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin(A－B)＝0，
又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.
又由a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理得cos C＝＝＝，
又0°0，
所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)由3sin A＝5sin B及正弦定理得3a＝5b，
故a＝b，c＝b.
所以cos C＝＝－，
即C＝π.
从而△ABC为钝角三角形.
答案 (1)钝角 (2)钝角
一、必做题
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bsin Asin B＋acos2B＝2c，则的值为________.
解析 由正弦定理可将条件变形为sin Asin2B＋sin Acos2B＝2sin C，即sin A＝
2sin C，则＝＝2.
答案 2
2.(2018·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋
csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________.
解析 由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝.因为b2＋c2－a2＝8，所以cos A＝＝＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bcsin A＝××＝.
答案
3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，且sin2B＝sin2C，则△ABC的形状为________三角形.
解析 由bcos C＋ccos B＝asin A，
得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin A＝sin2A，在三角形中sin A≠0，
∴sin A＝1，∴A＝90°，
由sin2B＝sin2C，知b＝c，
综上可知，△ABC为等腰直角三角形.
答案 等腰直角
4.(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，
b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
解析 因为a＝，b＝2，A＝60°，所以由正弦定理得sin B＝＝＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得c2－2c－3＝0，所以c＝3.
答案 3
5.(2019·连云港模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________.
解析 ∵b＝2，B＝，C＝.
由正弦定理＝，
得c＝＝＝2，
A＝π－＝π，
∴sin A＝sin＝sin cos ＋cos sin
＝.
则S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.
答案 ＋1
6.(2019·南通、扬州、泰州、淮安三调)在锐角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4.若△ABC的面积为3，则BC的长是________.
解析 因为b＝4，c＝3，由S△ABC＝bcsin A＝6sin A＝3，解得sin A＝.
因为是在锐角三角形ABC中，所以cos A＝＝.在锐角三角形ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2
－2bccos A＝16＋9－2×4×3×＝13，所以a＝，即BC＝.
答案
7.(2018·苏、锡、常、镇调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若满足2bcos A＝2c－a，则角B的大小是________.
解析 由余弦定理，2bcos A＝2c－a，
即2b·＝2c－a，
∴b2＋c2－a2＝2c2－ac，
即a2＋c2－b2＝ac，
∴cos B＝＝＝，
又B∈(0，π)，∴B＝.
答案
8.(2018·北京卷)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________；的取值范围是________.
解析 △ABC的面积S＝acsin B＝(a2＋c2－b2)＝×2accos B，
所以tan B＝，因为0°2，
故的取值范围为(2，＋∞).
答案 60° (2，＋∞)
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acos C＋b＝0，则tan B的最大值是________.
解析 在△ABC中，因为3acos C＋b＝0，所以C为钝角，利用正弦定理可得
3sin Acos C＋sin(A＋C)＝0，即3sin Acos C＋sin AcosC＋cos Asin C＝0，所以
4sin Acos C＝－cos Asin C，即tan C＝－4tan A.
因为tan A>0，
则tan B＝－tan(A＋C)＝－
＝＝
＝≤＝，
当且仅当tan A＝时取等号，故tan B的最大值是.
答案
10.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
解 (1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，
所以sin∠ADB＝.
由题设知∠ADB<90°，
所以cos∠ADB＝＝.
(2)由题设及(1)知cos∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×2×＝25.
所以BC＝5.
11.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acos B＝3，bcos A＝1，且A－B＝.
(1)求边c的长；
(2)求角B的大小.
解 (1)法一 在△ABC中，由余弦定理，
acos B＝3，则a＝3，得a2＋c2－b2＝6c；①
bcos A＝1，则b＝1，得b2＋c2－a2＝2c，②
①＋②得2c2＝8c，c＝4.
法二 因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
则sin AcosB＋sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
由＝＝得sin A＝，sin B＝，代入上式得
c＝acos B＋bcos A＝3＋1＝4.
(2)由正弦定理得＝＝＝3，
又tan(A－B)＝＝＝，
解得tan B＝，B∈(0，π)，B＝.
二、选做题
12.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长.
解 (1)∵△ABC面积S＝，且S＝bcsin A，
∴＝bcsin A，
∴a2＝bcsin2A.
∵由正弦定理得sin2A＝sin Bsin Csin2A，
由sin A≠0得sin Bsin C＝.
(2)由(1)得sin Bsin C＝，cos Bcos C＝，
∵A＋B＋C＝π，
∴cos A＝cos(π－B－C)＝－cos(B＋C)
＝sin Bsin C－cos Bcos C＝，
又∵A∈(0，π)，∴A＝，sin A＝，cos A＝，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝9，①
由正弦定理得b＝·sin B，c＝·sin C，
∴bc＝·sin Bsin C＝8，②
由①②得b＋c＝，
∴a＋b＋c＝3＋，即△ABC周长为3＋.
13.(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.
解 (1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，即sin B＝cos，可得tan B＝.又因为B∈(0，π)，可得B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.
因为a
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