【数学】2020届一轮复习北师大版专题五 立体几何学案

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【数学】2020届一轮复习北师大版专题五 立体几何学案

专题五 立体几何 年份 卷别 小题考查 大题考查 ‎2018‎ 全国卷Ⅰ T5·求圆柱的表面积 T18·折叠问题,面面垂直的证明及三棱锥体积的计算 T9·有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题 T10·长方体的体积的求解问题 全国卷Ⅱ T9·异面直线所成的角 T19·线面垂直的证明,点面距的计算 T16·线面角、圆锥体积的计算 全国卷Ⅲ T3·三视图的有关问题 T19·面面垂直的证明,线面平行的判断,存在性问题 T12·三棱锥外接球体积的计算 ‎2017‎ 全国卷Ⅰ T6·空间直线与平面位置关系的判断 T18·面面垂直的证明,四棱锥体积、侧面积的计算 T16·三棱锥外接球体积的计算,球表面积的计算 全国卷Ⅱ T6·空间几何体的三视图及体积的计算 T18·线面平行的证明,四棱锥体积的计算 T15·长方体外接球表面积的计算 全国卷Ⅲ T9·球的内接圆柱、圆柱体积的计算 T19·线线垂直的证明,四面体体积的计算 T10·空间中线线垂直的判断 ‎2016‎ 全国卷Ⅰ T7·空间几何体的三视图及球的表面积、体积的计算 T18·空间位置关系,四面体体积的计算 T11·空间两直线所成角的正弦值的计算 全国卷Ⅱ T4·正方体外接球表面积的计算 T19·线线垂直的证明,几何体体积的计算 T7·空间几何体的三视图及表面积的计算 全国卷Ⅲ T10·空间几何体的三视图及表面积的计算 T19·线线平行的证明,四面体体积的计算 T11·直三棱柱及球的体积的最值计算 立体几何问题重在“转”——转化、转换 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是转化、转换.转化——空间平行关系间的转化、垂直关系间的转化、平行与垂直关系间的转化以及平面几何与立体几何的转化等;转换——对几何体的体积、锥体体积考查顶点转换,多面体体积多分割转换为几个规则几何体的体积和或体积差来求解,求体积时距离与体积计算的转换等.‎ ‎【典例】 如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.‎ ‎(1)证明MN∥平面PAB;‎ ‎(2)求四面体NBCM的体积.‎ ‎[解题示范] (1)证明:由已知得AM=AD=2.‎ 取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,TN=BC=2.‎ 又AD∥BC,故TN綊AM,‎ 所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.‎ 因为MN⊄平面PAB,AT⊂平面PAB,所以MN∥平面PAB❶.‎ ‎(2)解:因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.‎ 取BC中点E,连接AE.‎ 由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.‎ 由AM∥BC得M到BC的距离为,‎ 故S△BCM=×4×=2.‎ 所以四面体NBCM的体积 VNBCM=×S△BCM×=.❷‎ ‎❶转化:平行关系间的转化.线∥线⇒线∥面.TN∥BC,AD∥BC⇒TN綊AM⇒MN∥AT⇒MN∥平面PAB.‎ ‎❷转换:距离与体积的计算转换.‎ 点面距、点线距⇒体积的计算.‎ AE=⇒点M到BC的距离为;点N到平面ABCD的距离为PA⇒四面体NBCM的体积.‎ 立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定,因此,复习备考时往往有“纲”可循,有“题”可依.在平时的学习中,要重视识图训练,能正确确定关键点或线的位置,将局部空间问题转化为平面模型.其中,平行、垂直关系的判定与性质是立体几何的核心内容;空间距离、面积与体积的计算是重点内容.‎
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