【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第三章阅读与欣赏(二) 导数的综合问题学案
导数的综合问题
一、构造法解决抽象函数问题
在导数及其应用的客观题中，有一个热点考查点，即不给出具体的函数解析式，而是给出函数f(x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造的函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度．下面总结其基本类型及其处理方法．
只含f(x)型
定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(x2)>的解集为( )
A．(1，2) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．(－1，1)
【解析】 构造函数g(x)＝f(x)－x＋c(c为常数)，则g′(x)<0，即函数g(x)在R上单调递减，且g(1)＝f(1)－＋c＝＋c.f(x2)>＝x2＋，
即f(x2)－x2＋c>＋c，即g(x2)>g(1)，
即x2<1，即－1
f′(x)，则有( )
A．e2 015f(－2 015)e2 015f(0)
B．e2 015f(－2 015)e2 015f(0)
D．e2 015f(－2 015)＞f(0)，f(2 015)＜e2 015f(0)
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋2f′(x)>0恒成立，且f(2)＝(e为自然对数的底数)，则不等式exf(x)－e>0的解集为________．
【解析】 (1)仅从f(x)>f′(x)这个条件，无从着手，
此时我们必须要借助于选择题中的选项的提示功能，结合所学知识进行分析．构造函数h(x)＝，则h′(x)＝<0，即h(x)在R上单调递减，故h(－2 015)>h(0)，即>⇔e2 015f(－2 015)>f(0)；同理，h(2 015)0⇒2>0，可构造h(x)＝e·f(x)⇒h′(x)＝e[f(x)＋2f′(x)]>0，所以函数h(x)＝e·f(x)在R上单调递增，且h(2)＝e·f(2)＝1.不等式exf(x)－e>0等价于ef(x)>1，即h(x)>h(2)⇒x>2，所以不等式exf(x)－e>0的解集为(2，＋∞)．
【答案】 (1)D (2)(2，＋∞)
(1)由于ex>0，故[exf(x)]′＝[f(x)＋f′(x)]ex，其符号由f(x)＋f′(x)的符号确定，′＝，其符号由f′(x)－f(x)的符号确定．含有f(x)±f′(x)类的问题可以考虑构造上述两个函数．
(2)λf(x)＋f′(x)>0⇔[eλx×f(x)]′>0.
含xf(x)±nf′(x)型
(1)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，且f(－2)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(0，2) B．(－2，0)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－2，0) D．(0，2)∪(2，＋∞)
(2)已知偶函数f(x)是定义在{x∈R|x≠0}上的可导函数，其导函数为f′(x)．当x<0时，f′(x)>恒成立．设m>1，记a＝，b＝2f(2)，c＝(m＋1)·f，则a，b，c的大小关系为( )
A．ab>c
C．ba>c
(3)设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2.下面的不等式在R上恒成立的是( )
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)>x D．f(x)0时，构造函数g(x)＝，
则g′(x)＝<0，
即g(x)在(0，＋∞)上单调递减，g(2)＝0，
所以g(x)>0在(0，＋∞)上的解集为(0，2)，
故f(x)>0在(0，＋∞)上的解集为(0，2)，g(x)为偶函数，故g(x)<0在(－∞，0)上的解集为(－∞，－2)，
故f(x)>0在(－∞，0)上的解集为(－∞，－2)．综上可知，f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2)．故选A．
(2)当x<0时，f′(x)>⇔xf′(x)－f(x)<0.
构造函数g(x)＝，
则g′(x)＝<0，
即g(x)在(－∞，0)上单调递减．
函数f(x)为偶函数，故g(x)为奇函数，
得g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
b＝4m，c＝4m.
因为m>1，所以m＋1>2，<＝2，
所以m＋1>2>.
所以g(m＋1)0时，
由2f(x)＋xf′(x)>x2，
得g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>x3>0，
即函数g(x)＝x2f(x)在区间(0，＋∞)上递增，
故g(x)＝x2f(x)>g(0)＝0⇒f(x)>0；
②当x<0时，有g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)g(0)＝0⇒f(x)>0；
③当x＝0时，
由2f(x)＋xf′(x)>x2，得f(x)>0.
综上，对任意x∈R，有f(x)>0，应选A．
【答案】 (1)A (2)A (3)A
(1)由于[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，′＝，后者导数的符号与xf′(x)－f(x)一致．在含有xf′(x)±f(x)类问题中，可以考虑构造上述函数．
(2)对于xf′(x)＋nf(x)>0型，构造F(x)＝xnf(x)，则F′(x)＝xn－1[xf′(x)＋nf(x)](注意对xn－1的符号进行讨论)，特别地，当n＝1时，xf′(x)＋f(x)>0，构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0；
(3)对于xf′(x)－nf(x)>0型，且x≠0，构造F(x)＝，则F′(x)＝(亦需注意对xn＋1的符号进行讨论)，特别地，当n＝1时，xf′(x)－f(x)>0，构造F(x)＝，则F′(x)＝>0.
含f(x)±f′(x)tan x型
已知函数f(x)的导函数f′(x)，当x∈时，f′(x)sin 2xg，即f>f.故选B．
【答案】 B
由于在上，[sin x·f(x)]′＝cos x·f(x)＋sin x·f′(x)，其符号与f(x)＋f′(x)tan x相同，′＝，其符号与f′(x)tan x－f(x)符号相同．在含有f(x)±f′(x)tan x
的问题中，可以考虑构造函数f(x)sin x，f(x)cos x，，等．
二、“存在性问题”与“任意性问题”的辨析
“∀x，使得f(x)>g(x)”与“∃x，使得f(x)>g(x)”的辨析
(1)∀x，使得f(x)>g(x)，只需h(x)min＝[f(x)－g(x)]min>0.如图1.
(2)∃x，使得f(x)>g(x)，只需h(x)max＝[f(x)－g(x)]max>0.如图2.
(1)设函数f(x)＝(x>0且x≠1)，f(x)在(0，)上单调递增，若2>xa对于任意x∈(0，1)成立，则a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝3ln x－x2＋x，g(x)＝3x＋a，若存在x0>0，使得f(x0)>g(x0)成立，则参数a的取值范围是________．
【解析】 (1)在2>xa两边取对数，得ln 2>aln x.
由于x∈(0，1)，所以>.①
由f(x)在(0，)上单调递增知，当x∈(0，1)时，f(x)≤f＝－e.
为使①式对∀x∈(0，1)成立，当且仅当>－e，
即a>－eln 2.
(2)设h(x)＝3ln x－x2－2x.∃x0>0，
使f(x0)>g(x0)成立，等价于∃x>0，
使h(x)＝3ln x－x2－2x>a成立，
等价于a0)．
因为h′(x)＝－x－2＝＝－，
令得01.
所以函数h(x)＝3ln x－x2－2x在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数h(x)max＝h(1)＝－，即a<－，
因此参数a的取值范围为(－∞，－)．
【答案】 (1)(－eln 2，＋∞) (2)(－∞，－)
“若∃x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)”与“∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)”的辨析
(1)∃x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)等价于函数f(x)在D1上的值域A与g(x)在D2上的值域B的交集不空，即A∩B≠∅(如图3)．其等价转化的目标是两个函数有相等的函数值．
(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)等价于函数f(x)在D1上的值域A是g(x)在D2上的值域B的子集，即A⊆B，如图4，其等价转化的目标是函数y＝f(x)的函数值都在函数y＝g(x)的值域之中．
[说明] 图3，图4中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在y轴上的投影．
已知函数f(x)＝x2－ax3，a>0，x∈R.g(x)＝.
(1)若∃x1∈(－∞，－1]，∃x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围；
(2)当a＝时，证明：对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)．
【解】 (1)因为f(x)＝x2－ax3，
所以f′(x)＝2x－2ax2＝2x(1－ax)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.因为a>0，所以>0，所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，－1]上单调递减，f(x)在(－∞，－1]上的值域为.
因为g(x)＝，则g′(x)＝′＝＝.
当x<－时，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)g(x2)”与“∃x1，x2∈D，使得f(x1)>g(x2)”的辨析
(1)f(x)，g(x)是在闭区间D上的连续函数且∀x1，x2∈D，使得f(x1)>g(x2)等价于f(x)min>g(x)max.其等价转化的目标是函数y＝f(x)的任意一个函数值均大于函数y＝g(x)的任意一个函数值，如图5.
(2)存在x1，x2∈D，使得f(x1)>g(x2)，等价于f(x)max>g(x)min.其等价转化的目标是函数y＝f(x)的某一个函数值大于函数y＝g(x)的某些函数值．如图6.
已知f(x)＝x＋(a>0)，g(x)＝x＋ln x.
(1)若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，求实数a的取值范围；
(2)若存在x1，x2∈[1，e]，使得f(x1)0，所以g(x)在[1，e]上单调递增，所以g(x)max＝g(e)＝e＋1.
只需证f(x)≥e＋1，
即x＋≥e＋1⇔a2≥(e＋1)x－x2在[1，e]上恒成立即可．
令h(x)＝(e＋1)x－x2.
当x∈[1，e]时，h(x)＝(e＋1)x－x2的最大值为
h＝.所以a2≥，即a≥.
故实数a的取值范围是.
(2)存在x1，x2∈[1，e]，使得f(x1)0，所以g(x)在[1，e]上单调递增，所以g(x)max＝g(e)＝e＋1.
f(x)＝x＋(a>0)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．当0e时，f(x)在[1，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝e＋，此时，e＋<1＋e，即a<，与a>e矛盾，不符合题意．
综上可知，实数a的取值范围为.
(1)从数的角度看，问题的本质就是f(x)min≥g(x)max，从形的角度看，问题的本质就是函数f(x)图象的最低点也不低于g(x)图象的最高点．
(2)从形的角度看，问题的本质就是函数f(x)图象的最低点低于g(x)图象的最高点．
“∀x1∈D1，∃x2∈D2，使f(x1)>g(x2)”与“∀x1∈D1，∃x2∈D2，使f(x1)g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的最小值大于g(x)在D2上的最小值，即f(x)min>g(x)min(这里假设f(x)min，g(x)min存在)．其等价转化的目标是函数y＝f(x)的任意一个函数值大于函数y＝g(x)的某一个函数值．如图7.
(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使f(x1)0，
所以当x∈(0，2)时，f(x)min＝f(1)＝－.
又g(x)＝x2－2bx＋4，
①当b<1时，可求得g(x)min＝g(1)＝5－2b，
则5－2b≤－，解得b≥，这与b<1矛盾；
②当1≤b≤2时，可求得g(x)min＝g(b)＝4－b2，
则4－b2≤－，
得b2≥，这与1≤b≤2矛盾；
③当b>2时，可求得g(x)min＝g(2)＝8－4b，由8－4b≤－，得b≥.
综合①②③得实数b的取值范围是.
