【数学】2018届一轮复习北师大版第八章解析几何第八节曲线与方程教案

【数学】2018届一轮复习北师大版第八章解析几何第八节曲线与方程教案

第八节　曲线与方程 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；‎ ‎2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法；‎ ‎3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程。‎ ‎2016，全国卷Ⅲ，21,12分(求轨迹方程)‎ ‎2015，湖北卷，21(1)，5分(求曲线方程)‎ ‎2015，全国卷Ⅰ，20(1)，5分(求曲线方程)‎ ‎2013，全国卷Ⅰ，10,5分(求曲线方程)‎ ‎　　曲线与方程一般在客观题中主要考查圆的方程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程，以考查待定系数法和定义法为主；在主观题中往往仅作为某一问的形式出现，重点结合圆锥曲线的其他性质进行综合考查。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的对应关系：‎ ‎(1)曲线C上点的坐标都是这个方程的解；‎ ‎(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。‎ ‎2．求动点的轨迹方程的基本步骤 ‎(1)建系：建立适当的平面直角坐标系；‎ ‎(2)设点：轨迹上的任意一点一般设为P(x，y)；‎ ‎(3)列式：列出或找出动点P满足的等式；‎ ‎(4)代换：将得到的等式转化为关于x，y的方程；‎ ‎(5)验证：验证所求方程即为所求的轨迹方程。‎ ‎3．曲线的交点与方程组的关系 ‎(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；‎ ‎(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点。‎ 微点提醒 ‎1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系。检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义。‎ ‎2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等。‎ ‎3．求轨迹问题常用的数学思想 ‎(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系。‎ ‎(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合。‎ ‎(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修2P124B组T1改编)等腰三角形ABC，若一腰的两个端点坐标分别是A(4,2)，B(－2,0)，A是顶点，则另一个点C的轨迹方程为(　　)‎ A．x2＋y2－8x－4y＝0‎ B．x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠10，x≠－2)‎ C．x2＋y2＋8x＋4y－20＝0(x≠10，x≠－2)‎ D．x2＋y2－8x－4y＋20＝0(x≠10，x≠－2)‎ ‎【解析】　设另一个点的坐标为C(x，y)，则(x－4)2＋(y－2)2＝40，x≠10，x≠－2。整理得x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠10，x≠－2)。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎2．(选修2－1P36例3改编)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎【解析】　依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线。故选D。‎ ‎【答案】　D 二、双基查验 ‎1．方程(x2＋y2－4)＝0的曲线形状是(　　)‎ ‎【解析】　由题意可得x＋y＋1＝0或它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎2．已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)‎ A．x2＝4y B．y2＝3x C．x2＝2y D．y2＝4x ‎【解析】　设点P(x，y)，则Q(x，－1)。‎ ‎∵·＝·，‎ ‎∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，‎ 即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，‎ ‎∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎3．和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为________。‎ ‎【解析】　设点的坐标为(x，y)，由题意知 ‎()2＋()2＝c，‎ 即x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，‎ 即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0。‎ ‎【答案】　2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0‎ ‎4．MA和MB分别是动点M(x，y)，与两定点A(－1,0)和B(1,0)的连线，则使∠AMB为直角的动点M的轨迹方程是________。‎ ‎【解析】　点M在以A、B为直径的圆上，但不能是A、B两点。‎ ‎【答案】　x2＋y2＝1(x≠±1)‎ ‎5．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________。‎ ‎【解析】　设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，‎ ‎∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)。‎ ‎【答案】　＋＝1(y≠0)‎ 微考点　大课堂 考点一 ‎ 直接法求轨迹方程 ‎【典例1】　已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8。‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；‎ ‎(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点。‎ ‎【解析】　(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，‎ 由题意，|O‎1A|＝|O‎1M|，‎ 当O1不在y轴上时，‎ 过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，‎ ‎∴|O‎1M|＝，‎ 又∵|O‎1A|＝，‎ ‎∴＝，‎ 化简得y2＝8x(x≠0)。‎ 又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，‎ ‎∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x。‎ ‎(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，‎ P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，‎ 其中Δ＝－32kb＋64＞0。‎ 由韦达定理得，x1＋x2＝，①‎ x1x2＝，②‎ 因为x轴是∠PBQ的角平分线，‎ 所以＝－，‎ 即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，‎ ‎(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，‎ ‎2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③‎ 把①②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，‎ ‎∴k＝－b，此时Δ＞0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)。‎ ‎【答案】　(1)y2＝8x ‎(2)直线l过定点(1,0)，证明见解析 反思归纳　1.利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简。‎ ‎2．运用直接法应注意的问题 ‎(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的。‎ ‎(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略。‎ ‎【变式训练】　已知点O(0,0)，A(1,2)，动点P满足|＋|＝2，则P点的轨迹方程是(　　)‎ A．4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0‎ B．4x2＋4y2－4x－8y－1＝0‎ C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0‎ D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0‎ ‎【解析】　设P点的坐标(x，y)，则＝(x，y)，＝(x－1，y－2)，＋＝(2x－1,2y－2)。所以(2x－1)2＋(2y－2)2＝4，整理得4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0。故选A。‎ ‎【答案】　A 考点二 ‎ 定义法求轨迹方程 ‎【典例2】　已知圆C与两圆x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切，圆C的圆心轨迹为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n。‎ ‎(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；‎ ‎(2)求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程。‎ ‎【解析】　(1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C1(0，－4)，C2(0,2)，由题意得|CC1|＝|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段C‎1C2的垂直平分线，C‎1C2的中点为(0，－1)，直线C‎1C2‎ 的斜率不存在，故圆心C的轨迹是线段C‎1C2的垂直平分线，其方程为y＝－1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1。‎ ‎(2)因为m＝n，所以M(x，y)到直线y＝－1的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y＝－1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而＝1，即p＝2，所以，轨迹Q的方程是x2＝4y。‎ ‎【答案】　(1)y＝－1　(2)x2＝4y 反思归纳　1.定义法求轨迹方程的适用条件：动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义。‎ ‎2．定义法求轨迹方程的关键是理解平面几何图形的定义。‎ ‎【变式训练】　在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a＞0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是________。‎ ‎【解析】　由正弦定理，得－＝×(R为外接圆半径)，‎ 所以|AB|－|AC|＝|BC|，即点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(不含右顶点)。又知实轴长为a，焦距为a，‎ ‎∴虚半轴长为 ，∴动点A的轨迹方程为－＝1(x>0且y≠0)。‎ ‎【答案】　－＝1(x＞0且y≠0)‎ 考点三 ‎ 代入法(相关点法)求轨迹方程 ‎【典例3】　在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D。当点P在圆上运动时，动点M满足＝2，动点M形成的轨迹为曲线C。‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)已知点E(1,0)，若A，B是曲线C上的两个动点，且满足EA⊥EB，求·的取值范围。‎ ‎【解析】　(1)解法一：由＝2知点M为线段PD的中点，‎ 设点M的坐标是(x，y)，则点P的坐标是(x,2y)。‎ 因为点P在圆x2＋y2＝4上，‎ 所以x2＋(2y)2＝4。‎ 所以曲线C的方程为＋y2＝1。‎ 解法二：设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，‎ 由＝2，得x0＝x，y0＝2y。‎ 因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，‎ 所以x＋y＝4。①‎ 把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4。‎ 所以曲线C的方程为＋y2＝1。‎ ‎(2)因为EA⊥EB，所以·＝0。‎ 所以·＝·(－)＝2。‎ 设点A(x1，y1)，则＋y＝1，即y＝1－。‎ 所以·＝2＝(x1－1)2＋y＝x－2x1＋1＋1－＝x－2x1＋2＝2＋。‎ 因为点A(x1，y1)在曲线C上，所以－2≤x1≤2。‎ 所以≤2＋≤9。‎ 所以·的取值范围为。‎ ‎【答案】　(1)＋y2＝1　(2) 反思归纳　代入法求轨迹方程的关键是寻找所求动点与已知动点间的等量关系。常涉及中点问题、三角形重心问题及向量相等或向量间关系等知识。‎ ‎【变式训练】　已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF‎1F2的重心G的轨迹方程为(　　)‎ A.＋＝1(y≠0)‎ B.＋y2＝1(y≠0)‎ C.＋3y2＝1(y≠0)‎ D．x2＋＝1(y≠0)‎ ‎【解析】　依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，‎ 设P(x0，y0)，G(x，y)，‎ 则由三角形重心坐标关系可得 即 代入＋＝1得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)。故选C。‎ ‎【答案】　C 微考场　新提升 ‎1．平面上动点P到定点F与定直线l的距离相等，且点F与直线l的距离为1。某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2＝2y－1，则他的建系方式是(　　)‎ 解析　因为点P的轨迹方程为x2＝2y－1，‎ 即所求的抛物线方程为y＝x2＋，‎ 抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为。‎ 所以该同学的建系方式是C。‎ 答案　C ‎2．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”。以下曲线不是“好曲线”的是(　　)‎ A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9‎ C.＋＝1 D．x2＝16y 解析　∵M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，∴M的轨迹是以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线，方程为－＝1。‎ A项，直线x＋y＝5过点(5,0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；‎ B项，x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；‎ C项，＋＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆＋＝1与M的轨迹有交点，满足题意；‎ D项，方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，∴Δ>0，满足题意。故选B。‎ 答案　B ‎3．(2016·天津模拟)在平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)‎ A．直线　　　　　　　　 B．椭圆 C．圆 D．双曲线 解析　设C(x，y)，因为＝λ1＋λ2，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即解得又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线。故选A。‎ 答案　A ‎4．(2017·衡水模拟)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2且·＝3，则点P的轨迹方程是(　　)‎ A．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)‎ B.＋y2＝1(x>0，y>0)‎ C.－y2＝1(x>0，y>0)‎ D．x2＋＝1(x>0，y>0)‎ 解析　由P(x，y)，可知Q(－x，y)。设A(a,0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，∴＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)，由＝2可得a＝x，b＝3y，∴x>0，y>0，又＝(－a，b)＝，·＝(－x，y)·＝x2＋3y2＝3，即＋y2＝1，‎ ‎∴点P的轨迹方程为＋y2＝1(x>0，y>0)。故选B。‎ 答案　B ‎5．(2016·临汾模拟)在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为________。‎ 解析　如图，以BC的中点为原点，中垂线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，E，F分别为两个切点。‎ 则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，‎ ‎|AE|＝|AF|。‎ 所以|AB|－|AC|＝2，‎ 所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(不含右顶点)，且a＝，c＝2，所以b＝，‎ 所以轨迹方程为－＝1(x＞)。‎ 答案　－＝1(x＞)(答案不唯一)‎