【数学】四川省自贡市旭川中学2020-2021学年高一上学期开学考试试题（解析版）

【数学】四川省自贡市旭川中学2020-2021学年高一上学期开学考试试题（解析版）

四川省自贡市旭川中学2020-2021学年 高一上学期开学考试试题 ‎(120分钟,150分)‎ 第Ⅰ卷　(选择题　共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.且 ‎ 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加一个条件，下列条件不正确的是（　　）.‎ A. AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD ‎3.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一段记载：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足.问人数、豕价各几何？”大意是若干个人合买一头猪，若每人出100钱，则会剩下100钱；若每人出90钱，则不多也不少.问人数、猪价各多少？设人数、猪价分别为x、y，则可列方程组为 （ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.若关于的不等式的解集是,则的值为（ ）‎ A.-1 B.-2 C.1 D.2‎ ‎5.一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（　　）.‎ A．有两个正根 B．有一正根一负根且正根的绝对值大 C．有两个负根 D．有一正根一负根且负根的绝对值大 ‎6.不等式的解为( ).‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎7.把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是(　 ). A.　　　　 B.　 C.　　　　 D. 8.不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD为中线，过点C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，若AC=1，则CF的值为 （ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知一组整数满足，其中m为正整数，若，则这组数前50项的和为（ ）.‎ A.-50 B.-73 C.-75 D.-77‎ ‎11.设函数，如果对任意的实数x， 恒成立，那么的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎12.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,动点E满足S△BEC=S矩形ABCD,则点E到C、B两点距离之和BE+CE的最小值为(　　).‎ A.4 B.4 C.5 D.5‎ 第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.已知关于x的不等式组的解集为，则的值为_____．‎ ‎14.2020年国内航空公司规定:旅客乘机时,随身携带行李箱的长,宽,高三者之和不超过115 cm,否则行李箱就需托运.某厂家生产符合该规定的行李箱,已知行李箱的长为40 cm ‎,宽与高的比为4∶11,则符合此规定的行李箱的高的最大值为　　　　cm. ‎ ‎15.如图，正方形ABCD的边长为1，点E为AB边上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B落在点M处，连接AM，则AM的最小值为 .‎ ‎16.存在实数x,使不等式成立，则的取值范围是_____.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(10分)某初级中学正在开展“文明城市创建人人参与,志愿服务我当先行”的创文活动.为了了解该校志愿者参与服务的情况,现对该校全体志愿者进行随机抽样调查.根据调查数据绘制了不完整统计图(如图),条形统计图中七年级、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者,扇形统计图中的百分数指的是该年级被抽到的志愿者人数与样本容量的百分比.‎ ‎(1)请补全条形统计图.‎ ‎(2)请你求出扇形统计图中教师所对应的扇形的圆心角的度数.‎ ‎(3)若该校共有志愿者600人,则该校七年级大约有多少名志愿者?‎ ‎18.本小题满分12分.‎ 已知当时，函数的最大值为5，求实数a的值.‎ ‎ ‎ ‎19.本小题满分12分.‎ 已知函数，为实数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解；‎ ‎（2）若不等式的解为无解，求实数的取值范围.‎ ‎20.（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AC上一点，‎ ‎ （1）若BD为∠ABC的角平分线，求CD的长；‎ ‎ （2）若，求sin∠DBC的值. ‎ ‎21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（0，-4）和B（2，0）两点。‎ ‎（1）求c的值及a、b满足的关系式.‎ ‎（2）已知点C（a,b），D（a+2,c）是抛物线上的两个点，求证：.‎ ‎（3）若抛物线与直线y=-2x-3相交于点M（p，m），N（-2-p，n），求a 的值.‎ ‎22.(12分)如图,抛物线y=x2-x-4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m,过点P作PH⊥x轴,垂足为点H,PH交BC于点Q,过点P作PE∥AC交x轴于点E,交BC于点F.‎ ‎(1)求A,B,C三点的坐标.‎ ‎(2)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(3)请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出m为何值时QF有最大值.‎ 参考答案 ‎1.D ‎ ‎【解析】根据题意，得，解得且.故选D.‎ ‎2. D ‎3. A ‎4.B ‎ ‎【解析】原不等式可化为,结合题意画出图象可知.‎ ‎5.B ‎ ‎【解析】由x2+bx﹣2=0，‎ 可知=b2﹣4×1×（﹣2）=b2+8>0，‎ 所以方程有两个不相等的实数根.‎ 设方程x2+bx﹣2=0的两个根为c，d，‎ 则c+d=﹣b，cd =﹣2，‎ 由cd =﹣2得方程的两个根为一正一负，‎ 由c+d=﹣b和b＜0可知方程的两个根中，正数根的绝对值大于负数根的绝对值，‎ 故选B．‎ ‎6.D ‎ ‎【解析】当≤－2时，原不等式可化为≥5，‎ 解得≤－3，故原不等式的解是.‎ 当时，原不等式可化为≥5，‎ 即3≥5，矛盾，故原不等式无解，‎ 当≥1时，原不等式可化为≥5，解得≥2，‎ 故原不等式的解是.‎ 综上所述，原不等式的解是.‎ ‎7. C ‎ ‎【解析】抛物线向左平移2个单位得到抛物线 ‎，再向上平移3个单位得到抛物线.故选C. 8.A ‎ ‎【解析】不等式对一切R恒成立,‎ 即 对一切R恒成立，若=0,显然不成立. ‎ 若0，则 ，即， 解得.‎ ‎9.D ‎ ‎【解析】因为，AC=BC,所以△ABC为等腰直角三角形.‎ 又因为AC=1，AD为中线，所以BC=1，CD=BD=，‎ 所以.‎ 因为，所以，所以，‎ 即，所以.‎ 过点F作交CB于点H（图略），所以.‎ 因为，设FH=HB=x，则CH=1-x，‎ 所以，解得，所以.‎ ‎10.C ‎ ‎【解析】‎ 由此可知，该组整数从第3项开始，以-2，-1，-2，-1，…的规律循环，‎ 故这组数的前50项和为2+（-5）+（-2-1）×24=-75.‎ ‎11. A ‎ ‎ 【解析】对任意的，只需的最小值大于或等于.‎ 若， 当时， ；当时，；‎ 当时， . 只需，解得.‎ 若，当时， ；当时， ；‎ 当时， . 只需，解得.‎ 综上，a的取值范围是.‎ ‎12.B ‎ ‎ 【解析】由题意知，.过点E作EF⊥BC交BC于点F（图略）.∵，得EF=2.过点E作直线,作点B关于l的对称点，连接交直线l于点G.显然当点E与点G重合时，BE+CE的值最小，此时.‎ ‎13、﹣2 ‎ ‎【解析】由题意得，则解得所以.‎ ‎14.55　‎ ‎【解析】依题意,设宽为4x,则高为11x,由题意可得4x+11x+40≤115,即15x≤75,解得x≤5,‎ 故行李箱的高的最大值为11x=55.‎ ‎15. ‎ ‎【解析】因为正方形ABCD的边长为1，所以AB=BC=1.由折叠的性质得MC=BC=1.连接AC（图略），在△AMC中，由三角形的性质知AM>AC-MC.‎ 因为MC=1为定值，所以当A,M,C三点共线时，AM的值最小，此时.‎ 所以AM的最小值为.‎ ‎16.‎ ‎【解析】由题意得.‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎17.【解】(1)由题意知样本容量为20÷40%=50,‎ 所以八年级志愿者被抽到的人数为50×30%=15,‎ 九年级志愿者被抽到的人数为50×20%=10.‎ 补全条形统计图如下. 。。。。。。。。。。。。。。。。4分 ‎(2)因为教师志愿者被抽到的人数所占百分比为5÷50=10%,‎ 所以对应的扇形的圆心角的度数为360°×10%=36°. 。。。。。。。。。。。。7分 ‎(3)600×40%=240(名).‎ 答:该校七年级大约有240名志愿者. 。。。。。。。。。。。。。。10分 ‎18.【解】，其图象的对称轴方程为 ‎，顶点坐标为，图象开口方向由a决定。 。。。。。。。。。。。2分 若，函数图象开口向下，如图1所示，当时，函数取得最大值，‎ 即，解得.‎ 故 . 。。。。。。。。。。。7分 图1‎ 若，函数图象开口向上，如图2所示，‎ ‎∵-4≤x≤1，∴当时，函数取得最大值，即，‎ 解得，故 图2‎ 综上，. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 ‎19、【解】（1）当a=3时，.‎ 当时，，‎ 由得，，解得；‎ 当时，，由得，；‎ 当时，，‎ 由得，，解得.‎ 综上，不等式的解为. 。。。。。。。。。5分 ‎（2）依题意知，f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立，‎ ‎∴2≤f（x）min. 。。。。。。。。。7分 而f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|（x﹣a）+（1﹣x）|=|1﹣a|，‎ 即f（x）min=|1﹣a|， 。。。。。。。。。10分 ‎∴|1﹣a|≥2，即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2，解得a≥3或a≤﹣1．‎ ‎∴实数a的取值范围是a≥3或a≤﹣1． 。。。。。。。。。12分 ‎20.解：（1）过点D作DH⊥AB于点H，‎ ‎∵∠C=90°，AC=BC，∴∠A=45°.‎ ‎∵DH⊥AB，∴AH=DH. --------------------------------2分 设AH=x，则DH=x，∴.‎ ‎∵BD为∠ABC的角平分线，∴CD=DH=x,‎ ‎∴AD+CD=+x=4，解得.‎ ‎∴. ------------------------------------------5分 ‎（2）同（1）过点D作DH⊥AB于点H，‎ 由（1）可知AH=DH，设AH=a，则DH=a，‎ ‎∵，∴BH=5a，‎ ‎∴AB=AH+BH=6a， -------------------------7分 由勾股定理可知,AB=，‎ ‎∴a=，即 AH=DH=， ----------------------------------9分 ‎∴AD==.∴CD=AC-AD=.‎ ‎∵，∴BD=，‎ ‎∴sin∠DBC=. -------------------------------------------12分 ‎21.【解】（1）∵抛物线经过点A（0，-4）和B（2，0），‎ ‎∴‎ ‎∴2a+b=2. --------------------------------------------3分 ‎（2）由（1）可得抛物线表达式为， -------------------------4分 ‎ 将点C（a,b），D（a+2,c）的坐标代入抛物线的表达式，‎ ‎ 得 b=，c=，‎ ‎ ∴ . ----------------------------------------7分 ‎（3）∵点M、N是直线y=-2x-3与抛物线的交点，‎ ‎∴p和-2-p是方程的两个根， ---------------9分 整理得，∴p+（-2-p）=，‎ ‎∴a=1. ------------------------------------------------------12分 ‎22.【解】(1)当y=0时,由x2-x-4=0,解得x1=-3,x2=4,∴A(-3,0),B(4,0);‎ 当x=0时,y=-4,∴C(0,-4). 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 ‎(2)点Q的坐标为或(1,-3).易知AC==5,‎ 易得直线BC的解析式为y=x-4. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 设点Q的坐标为(m,m-4)(0

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