2013-2014学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（理科）
2013-2014学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集U={0, 1, 2, 3, 4}，集合A={1, 2, 3}，B={2, 4}，则(∁UA)∪B为( )
A.{1, 2, 4} B.{2, 3, 4} C.{0, 2, 4} D.{0, 2, 3, 4}
2. 设x∈R，则x=1是x2=1的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=( )
A.−2 B.0 C.1 D.2
4. 函数y=xln|x||x|的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−2，则a2等于（ ）
A.−2 B.2 C.1 D.4
6. 为了得到函数y＝sin2x的图象，可将函数y＝sin(2x+π6)的图象（ ）
A.向左平移π12个长度单位 B.向左平移π6个长度单位
C.向右平移π6个长度单位 D.向右平移π12个长度单位
7. 已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝（ ）
A.52 B.7 C.6 D.42
8. 已知角α的终边上一点的坐标为(sin5π6，cos5π6)，则角α的最小正值为（ ）
A.5π6 B.2π3 C.5π3 D.11π6
9. 设a=log36，b=log510，c=log714，则( )
A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c
10. 已知向量a→+b→=(2, −8)，a→−b→=(−8, 16)，则a→与b→夹角的余弦值为（ ）
A.6365 B.−6365 C.±6365 D.513
11. 若S1=12x2dx，S2=121xdx，S3=12exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A.S1
0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)=(3−2a)x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
设递增等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=1，a4是a3和a7的等比中项，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
已知函数f(x)=cos(π3+x)cos(π3−x)−sinxcosx+14
（1）求函数f(x)的最小正周期和最大值；
（2）求函数f(x)在[0, π]上的单调递减区间．
已知定义域为R的函数f(x)=−3x+b3x+1+a是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）证明函数f(x)的单调性．
已知m→=(sinωx+cosωx, 3cosωx)，n→=(cosωx−sinωx, 2sinωx)，其中ω>0，若函数f(x)=m→⋅n→，且函数f(x)的图象与直线y=2两相邻公共点间的距离为π．
(l)求ω的值；
(2)在△ABC中，以a，b，c（分别是角A，B，C的对边，且a=3，f(A)=1，求△ABC周长的取值范围．
设函数f(x)＝ax−lnx，g(x)＝ex−ax，其中a为正实数．
(l)若x＝0是函数g(x)的极值点，讨论函数f(x)的单调性；
若f(x)在(1, +∞)上无最小值，且g(x)在(1, +∞)上是单调增函数，求a的取值范围；并由此判断曲线g(x)与曲线y=12ax2−ax在(1, +∞)交点个数．
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参考答案与试题解析
2013-2014学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
找出全集U中不属于A的元素，求出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，确定出所求的集合．
【解答】
解：∵ 全集U={0, 1, 2, 3, 4}，集合A={1, 2, 3}，
∴ ∁UA={0, 4}，又B={2, 4}，
则(∁UA)∪B={0, 2, 4}．
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
由x=1可推出x2=1，但由x2=1推不出x=1；所以x=1是x2=1的充分不必要条件．
【解答】
解：由x=1可推出x2=1，但由x2=1推不出x=1；所以x=1是x2=1的充分不必要条件．故选A．
3.
【答案】
A
【考点】
函数的求值
【解析】
利用奇函数的性质，f(−1)=−f(1)，即可求得答案．
【解答】
解：∵ 函数f(x)为奇函数，x>0时，f(x)=x2+1x，
∴ f(−1)=−f(1)=−2.
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
【解析】
当x>0时，y=xln|x||x|=xlnxx=lnx，当x<0时，y=xln|x||x|=xln(−x)−x=−ln(−x)，作出函数图象为B．
【解答】
函数y=xln|x||x|的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)关于原点对称．
当x>0时，y=xln|x||x|=xlnxx=lnx，
当x<0时，y=xln|x||x|=xln(−x)−x=−ln(−x)，此时函数图象与当x>0时函数y=xln|x||x|=xlnxx=lnx的图象关于原点对称．
5.
【答案】
D
【考点】
数列递推式
【解析】
利用Sn=2an−2，n分别取1，2，则可求a2的值．
【解答】
解：n=1时，S1=2a1−2，∴ a1=2，
n=2时，S2=2a2−2，∴ a2=a1+2=4．
故选D．
6.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
利用函数y＝sin(2x+π6)的图象变换即可求得答案．
【解答】
令y＝f(x)＝sin(2x+π6)，
则f(x−π12)＝sin[2(x−π12)+π6]＝sin2x，
∴ 为了得到函数y＝sin 2x的图象，可将函数y＝sin(2x+π6)的图象向右平移π12个单位．
7.
【答案】
A
【考点】
等比数列的性质
【解析】
由数列{an}是等比数列，则有a1a2a3＝5⇒a23＝5；a7a8a9＝10⇒a83＝10．
【解答】
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a1a2a3＝5⇒a23＝5；
a7a8a9＝10⇒a83＝10，
a52＝a2a8，
∴ a56=a23a83=50，∴ a4a5a6=a53=52，
8.
【答案】
C
【考点】
终边相同的角
【解析】
先确定此点的坐标，判断此点的终边所在的象限，并求出此角的正切值，从而得到此角的最小值．
【解答】
解：角α的终边上一点的坐标为(sin5π6，cos5π6)，即(12, −32)，
此点到原点的距离为1，此点在第四象限，tanα=−3，
故角α的最小值为 5π3，
故选：C．
9.
【答案】
D
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用loga(xy)=logax+logay(x、y>0)，化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可．
【解答】
解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，
因为y=log2x是增函数，
所以log27>log25>log23.
因为log27=1log72，log25=1log52，log23=1log32，
所以log32>log52>log72，
所以a>b>c.
故选D．
10.
【答案】
B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
利用向量坐标关系，求出a→=(−3, 4)，b→=(5, −12)，再利用cosθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|求解即可．
【解答】
由向量a→+b→=(2,−8)，a→−b→=(−8,16)，
得a→=(−3, 4)，b→=(5, −12)，
所以|a→|＝5，|b→|＝13，a→⋅b→=−63，
即a→与b→夹角的余弦值cosθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=−6365．
11.
【答案】
B
【考点】
微积分基本定理
【解析】
先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．
【解答】
解：由于S1=12x2dx=13x3|12=73，
S2=121xdx=lnx|12=ln2，
S3=12exdx=ex|12=e2−e．
且ln2<730，函数在[0, 1]上是增函数
又由当x∈[0, 1]时，0≤f(x)≤1，
则f(0)=0，f(1)=1．
而y=lg|x|是偶函数，当x>0时，其图象为y=lgx的图象，即函数为增函数，
由于x=10时，y=lg10=1，
∴ 其图象与f(x)的图象在[0, 2]上有一个交点，在每个周期上各有两个交点，
∴ 在y轴右侧共有9个交点．
∵ y=lg|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，
∴ 在y轴左侧也有9个交点
∴ 两函数图象共有18个交点．
故选：C．
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
【答案】
(−2, −4)
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
BC→=BA→−CA→，再利用坐标运算求解．
【解答】
解：BC→=BA→−CA→=(2, 3)−(4, 7)=(−2, −4)
故答案为：(−2, −4)
【答案】
4n−1
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
根据等比数列的通项公式，把q代入前3项的和，进而求得a1则数列的通项公式可得．
【解答】
由题意知a1+4a1+16a1＝21，
解得a1＝1，
所以通项an＝4n−1．
【答案】
2
【考点】
子集与交集、并集运算的转换
【解析】
由题意得 5在全集中，故a2+2a−3=5，|2a−1|在全集中，且不是2和5，故|2a−1|=3．
【解答】
解：由题意得|2a−1|=3，且a2+2a−3=5，
解得a=2，
故答案为2．
【答案】
[−1, 0]
【考点】
对数函数的图象与性质
【解析】
画出函数f(x)的图象，通过讨论①a=0，②a>0，③a<0时的情况，从而求出a的范围．
【解答】
解：∵ f(x)=−ln(x+1),(−10)，
令g(x)=ax，
画出函数f(x)和g(x)的图象，
如图示：
，
①a=0，可以确定；
②a>0是不可能的，f(x)=ln(x+1)迟早会被g(x)=ax追上；
③a<0时，f′(x)=−1x+1，∴ f′0)=−1，
∴ a≥−1，
综上：−1≤a≤0，
故答案为：[−1, 0]．
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【答案】
解：∵ p∨q为真，p∧q为假，∴ p为真，q为假，或p为假，q为真．
①当p为真，q为假时，
△=4a2−16<00<3−2a<1，解得11，解得a≤−2
综上，实数a的取值范围是{a|a≤−2或11，解得a≤−2
综上，实数a的取值范围是{a|a≤−2或10，
∵ a42=a3×a7a3=1，
∴ (a1+3d)2=1×(a1+6d)a1+2d=1，
解得a1=−3d=2…．
∴ an=−3+(n−1)×2=2n−5．
（2）由（1）知，在等差数列中，a1=−3d=2，
∴ Sn=n(−3+2n−5)2=n2−4n
故Sn=n2−4n…
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
（1）在递增等差数列{an}中，由a42=a3×a7a3=1，解得a1=−3d=2，由此能求出an．
（2）在等差数列中，由a1=−3d=2，能求出数列{an}的前n项和Sn．
【解答】
解：（1）在递增等差数列{an}中，设公差为d>0，
∵ a42=a3×a7a3=1，
∴ (a1+3d)2=1×(a1+6d)a1+2d=1，
解得a1=−3d=2…．
∴ an=−3+(n−1)×2=2n−5．
（2）由（1）知，在等差数列中，a1=−3d=2，
∴ Sn=n(−3+2n−5)2=n2−4n
故Sn=n2−4n…
【答案】
解：（1）∵ f(x)=cos(π3+x)cos(π3−x)−12sin2x+14
=(12cosx−32sinx)(12cosx+32sinx)−12sin2x+14=14cos2x−34sin2x−12sin2x+14
=1+cos2x8−3−3cos2x8−12sin2x+14=12(cos2x−sin2x)=22cos(2x+π4)；
∴ 函数f(x)的最小正周期为 T=π，函数f(x)的最大值为22；
（2）设2kπ≤2x+π4≤2kπ+π(k∈z)，解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8(k∈z)．
∴ 函数f(x)的单调递减区间是[kπ−π8，kπ+3π8](k∈z)；
又∵ x∈[0, π]，
∴ 分别取k=0和1，取交集可得f(x)在[0, π]上的单调递减区间为[0,3π8]和[7π8，π]．
【考点】
三角函数的最值
三角函数的和差化积公式
余弦函数的单调性
三角函数的周期性及其求法
函数的单调性及单调区间
【解析】
（1）利用两角和与差的余弦公式、二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简，得f(x)=22cos(2x+π4)，由此可得函数f(x)的最小正周期和最大值；
（2）根据三角函数的单调区间公式解不等式，得出f(x)的单调递减区间是[kπ−π8，kπ+3π8](k∈z)，再将此区间与[0, π]取交集，即可得到f(x)在[0, π]上的单调递减区间．
【解答】
解：（1）∵ f(x)=cos(π3+x)cos(π3−x)−12sin2x+14
=(12cosx−32sinx)(12cosx+32sinx)−12sin2x+14=14cos2x−34sin2x−12sin2x+14
=1+cos2x8−3−3cos2x8−12sin2x+14=12(cos2x−sin2x)=22cos(2x+π4)；
∴ 函数f(x)的最小正周期为 T=π，函数f(x)的最大值为22；
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（2）设2kπ≤2x+π4≤2kπ+π(k∈z)，解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8(k∈z)．
∴ 函数f(x)的单调递减区间是[kπ−π8，kπ+3π8](k∈z)；
又∵ x∈[0, π]，
∴ 分别取k=0和1，取交集可得f(x)在[0, π]上的单调递减区间为[0,3π8]和[7π8，π]．
【答案】
解：（1）因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即−1+b3+a=0，解得b=1．---
从而有 f(x)=−3x+13x+1+a又由f(1)=−f(−1)知−3+19+a=−−13+11+a，解得a=3．----------
∴ a=3，b=1．
（2）由（1）知f(x)=−3x+13x+1+3=−13+23(3x+1)−−−−−−−−−−−−−−−−
对于任意的x1∈R，x2∈R且x1<x2，---------------
∴ △x=x2−x1>0，
∴ △y=f(x2)−f(x1)
=(−13+23(3x2+1))−(−13+23(3x1+1))
=2(3x1−3x2)3(3x1+1)(3x2+1)<0
所以函数f(x)在全体实数上为单调减函数．----------------
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的判断与证明
【解析】
（1）根据奇函数的性质f(0)=0和奇函数的性质求解；
（2）利用函数单调性的定义进行证明．
【解答】
解：（1）因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即−1+b3+a=0，解得b=1．---
从而有 f(x)=−3x+13x+1+a又由f(1)=−f(−1)知−3+19+a=−−13+11+a，解得a=3．----------
∴ a=3，b=1．
（2）由（1）知f(x)=−3x+13x+1+3=−13+23(3x+1)−−−−−−−−−−−−−−−−
对于任意的x1∈R，x2∈R且x1<x2，---------------
∴ △x=x2−x1>0，
∴ △y=f(x2)−f(x1)
=(−13+23(3x2+1))−(−13+23(3x1+1))
=2(3x1−3x2)3(3x1+1)(3x2+1)<0
所以函数f(x)在全体实数上为单调减函数．----------------
【答案】
解：(1)∵ 函数f(x)=m→⋅n→=cos2ωx−sin2ωx+23sinωxcosωx
=cos2ωx+3sin2ωx
=2sin(2ωx+π6)．
函数f(x)的图象与直线y=2两相邻公共点间的距离为π，ω>0．
∴ T=2π2ω=π，解得ω=1．
(2)由(1)可知：f(x)=2sin(2x+π6)，
∵ f(A)=1，∴ 2sin(2A+π6)=1．∴ sin(2A+π6)=12，
∵ 00．
∴ T=2π2ω=π，解得ω=1．
(2)由(1)可知：f(x)=2sin(2x+π6)，
∵ f(A)=1，∴ 2sin(2A+π6)=1．∴ sin(2A+π6)=12，
∵ 0e．故两曲线没有公共点．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
（1）求出g(x)的导数，令它为0，求出a＝1，再求f(x)的导数，令它大于0或小于0，即可得到单调区间；
（2）求出f(x)的导数，讨论a的范围，由条件得到a≥1，再由g(x)的导数不小于0在(1, +∞)上恒成立，求出a≤e，令g(x)=12ax2−ax即a=2exx2，令h(x)=2exx2，求出导数，求出单调区间，判断极值与e的大小即可．
【解答】
（1）由g′(x)＝ex−a，
g′(0)＝1−a＝0得a＝1，f(x)＝x−lnx
∵ f(x)的定义域为：(0, +∞)，f′(x)=1−1x，
∴ 函数f(x)的增区间为(1, +∞)，减区间为(0, 1)．
（2）由f′(x)=a−1x=ax−1x
若0e．故两曲线没有公共点．
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