2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

第 2 课时　诱导公式 ( 二 ) 必备知识 · 自主学习 诱导公式五、六 (1) 诱导公式五、六 (2) 本质：单位圆中，终边关于 y=x 对称，互相垂直的角的三角函数之间的关系 . (3) 应用：与诱导公式一～四结合用于三角函数式求值、化简、证明 . 【 思考 】 从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六，有什么变化规律？ 提示： 函数名称改变，符号随象限变化而变化，即：函数名改变，符号看象限 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 诱导公式五、六中的角 α 只能是锐角 . ( 　　 ) (2) 在△ ABC 中， . ( 　　 ) (3) . ( 　　 ) 提示： (1)×. 诱导公式五、六中的角 α 是任意角 . (2)√. 因为 ，由公式五可知 (3)×. 当 k=2 时， sin =sin(π-α)=sin α. 2. 下列与 sin θ 的值相等的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.sin(π+θ) B.sin C.cos D.cos 【 解析 】 选 C.sin(π+θ)=-sin θ ， sin =cos θ ； cos =sin θ ， cos =-sin θ. 3.( 教材二次开发：例题改编 ) 已知 sin(π+A)=- ，则 cos 的值是 _______.  【 解析 】 sin( π +A)=-sin A=- ， cos = 答案： - 关键能力 · 合作学习 类型一　利用诱导公式求值 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1. 已知 sin θ= ，则 cos(450°+θ) 的值是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.- C.- D. 2.(2020· 扬州高一检测 ) 若 sin =- ，则 cos = ( 　　 ) A.- B.- C. D. 3. 若 α∈ ， sin = ，则 cos = ( 　　 ) A.- B. C.- D. 【 解析 】 1. 选 B.cos(450°+θ)=cos(90°+θ)=-sin θ=- . 2. 选 B. 因为 sin =- ，所以 cos = 3. 选 D. 因为 sin =cos α= ， α∈ ，所以 sin α= ， 所以 cos =sin α= . 【 解题策略 】 解决化简求值问题的策略 (1) 能直接用诱导公式化简的直接化简后再设法求值 . (2) 不能直接用诱导公式化简的要观察角的关系，观察时要将角看成整体，观察它们的和、差关系，是否具有互补、互余等特殊关系，再利用诱导公式转化求值 . 【 补偿训练 】 已知 cos 31°=m ，则 sin 239°tan 149° 的值是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.- D.- 【 解析 】 选 B.sin 239°tan 149°=sin(270°-31°) · tan(180°-31°) =-cos 31° · (-tan 31°)=sin 31° = 类型二　利用诱导公式证明恒等式 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 求证： 【 思路导引 】 等式右边比较复杂，含有 k· ±α ， k∈Z 的形式的角，可以 利用诱导公式直接对等式右边进行化简，从而推得等式左边 . 【 证明 】 右边 = 左边，所以原等式成立 . 【 解题策略 】 三角恒等式的证明的策略 (1) 遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，应遵循化繁为简的原则 . (2) 常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“ 1” 的代换法 . 【 跟踪训练 】 求证： =-tan θ. 【 证明 】 左边 = = 右边，所以原等式成立 . 类型三　诱导公式的综合应用 ( 数学运算、逻辑推理 ) 　角度 1 　诱导公式在三角形中的应用  【 典例 】 在△ ABC 中， sin =sin ，试判断△ ABC 的形状 . 【 思路导引 】 根据三角形的内角和 A+B+C=π ，利用诱导公式，推导△ ABC 的角 的关系，进而判断出三角形的形状 . 【 解析 】 因为 A+B+C=π ， 所以 A+B-C=π-2C ， A-B+C=π-2B. 又因为 sin =sin ， 所以 sin =sin ， 所以 sin =sin ，所以 cos C=cos B. 又 B ， C 为△ ABC 的内角，所以 C=B ， 所以△ ABC 为等腰三角形 . 【 变式探究 】 在涉及三角形问题时，一定要注意根据三角形的内角和 A+B+C=π 以及题目的 具体条件进行适当变形，再化简求解 . 典例中题目改为：在△ ABC 中，下列各 表达式为常数的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.sin(A+B)+sin C B.cos(B+C)-cos A C.sin 2 +sin 2 D.sin sin 【 解析 】 选 C.A.sin(A+B)+sin C=sin( π -C)+sin C=2sin C 不是常数 . B.cos(B+C)-cos A=cos( π -A)-cos A=-2cos A 不是常数 . C.sin 2 +sin 2 =sin 2 +sin 2 =cos 2 +sin 2 =1 是常数 . D.sin sin =sin sin =sin cos 不是常数 . 角度 2 　利用诱导公式化简、求值  【 典例 】 (2020· 靖远高一检测 ) 已知 f( θ )= (1) 化简 f(θ) ； (2) 若 sin θ= ，且 θ∈ ，求 f(θ) 的值 . 【 思路导引 】 (1) 利用三角函数的诱导公式化简即可； (2) 由已知条件可求出 cos θ ，则 f(θ) 的值可求 . 【 解析 】 (1)f(θ)= (2) 由 sin θ= ，且 θ∈ ， 得 cos θ= ，所以 f(θ)=-cos θ= . 【 解题策略 】 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系 . 二看函数名称：一般是弦切互化 . 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形 . 1. 计算： sin 2 11°+sin 2 79°=_______.  2. 若 f(cos x)=cos 2x ，则 f(sin 15°) 的值为 _______.  3. 已知角 α 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P(-1 ， 2) ，则 A. B.1 C. D.- 【 题组训练 】 【 解析 】 1. 因为 11°+79°=90° ， 所以 sin 79°=cos 11° ， 所以原式 =sin 2 11°+cos 2 11°=1. 答案： 1 2. 因为 sin 15°=cos 75° ，所以 f(sin 15°)=f(cos 75°)=cos 150°= - . 答案： - 3. 选 A. 因为角 α 的终边经过点 P(-1 ， 2) ， 所以 r=|OP|= = ， 所以 sin α = ， cos α =- ， 原式 = 【 补偿训练 】 已知 =2 ，则 tan α= ( 　　 ) 　　　　　　　　 A. B.- C. D.-5 【 解析 】 选 D. 由 =2 ， 得 解得： tan α=-5. 课堂检测 · 素养达标 1. 下列与 sin 的值相等的式子为 ( 　　 ) A.sin B.cos C.cos D.sin 【 解析 】 选 D. 因为 sin =-sin =-cos θ ， 对于 A ， sin =cos θ ； 对于 B ， cos =-sin θ ； 对于 C ， cos =cos =-cos =-sin θ ； 对于 D ， sin =sin =-sin =-cos θ. 2. 已知 sin 40°=a ，则 cos 130°= ( 　　 ) A.a B.-a C. D.- 【 解析 】 选 B.cos 130°=cos(90°+40°)=-sin 40°=-a. 3. 若 sin <0 ，且 cos >0 ，则 θ 是 ( 　　 ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三角限角 D. 第四象限角 【 解析 】 选 B. 由于 sin =cos θ<0 ， cos =sin θ>0 ，所以角 θ 的终边落在第二象限 . 4.( 教材二次开发：练习改编 ) 已知 tan θ=2 ，则 =( 　　 ) A.2 B.0 C.-2 D. 【 解析 】 选 C. 5. 化简 A.-sin θ B.sin θ C.cos θ D.-cos θ 【 解析 】 选 A. 原式 = = =-sin θ. 诱导公式（二） 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 求值 化简 证明 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 化简原则：负化正，大化小，异角化同角，异名化同名，切化弦 诱导公式应用时特别要注意符号和函数名的改变 数学运算：通过诱导公式的求值，培养数学运算的核心素养 逻辑推理：通过诱导公式的化简与证明，培养逻辑推理的核心素养