浙江省2021届高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第5节根式指数对数含解析

浙江省2021届高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第5节根式指数对数含解析

第5节　根式、指数、对数 考试要求　1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算；2.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.‎ 知 识 梳 理 ‎1.根式与指数幂的运算 ‎(1)根式 ‎①概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.‎ ‎②性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ ‎(2)分数指数幂 ‎①规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.‎ ‎②有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.‎ ‎2.对数与对数的运算 ‎(1)对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质 ‎①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；④logaab＝b(a>0，且a≠1).‎ ‎(3)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ‎①loga(MN)＝logaM＋logaN；‎ ‎②loga＝logaM－logaN；‎ ‎③logaMn＝nlogaM(n∈R).‎ ‎(4)换底公式 logbN＝(a，b均大于零且不等于1).‎ ‎[常用结论与易错提醒]‎ 已知a，b，c，d，M，N都满足条件，则：‎ ‎(1)logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0)；‎ ‎(2)logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.‎ 诊 断 自 测 ‎1.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)‎ A.－9 B.7 ‎ C.－10 D.9‎ 解析　原式＝(26)－1＝8－1＝7.‎ 答案　B ‎2.若loga2b>1 D.b>a>1‎ 解析　loga20，b>0)；‎ ‎(2)＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.‎ 解　(1)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1.‎ ‎(2)原式＝＋－＋1‎ ‎＝＋500－10(＋2)＋1‎ ‎＝＋10－10－20＋1＝－.‎ 规律方法　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.‎ ‎(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.‎ ‎(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.‎ ‎【训练1】 化简求值：‎ ‎(1)＋2－2×－(0.01)0.5；‎ ‎(2).‎ 解　(1)原式＝1＋×－ ‎＝1＋×－＝1＋－＝.‎ ‎(2)原式＝＝a－－－×b＋－＝.‎ 考点二　对数的运算 ‎【例2】 (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)‎ A. B.10 C.20 D.100‎ ‎(2)计算：÷100－＝________.‎ 解析　(1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m，‎ 则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.‎ 解得m＝.‎ ‎(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.‎ 答案　(1)A　(2)－20‎ 规律方法　(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.‎ ‎(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.‎ ‎(3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)‎ A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z ‎(2)若实数a＞b＞1，且logab＋logba＝，则logab＝__________，＝__________.‎ 解析　(1)取对数：xln 2＝yln 3＝zln 5，＝>(由ln 32>ln 23可得)，又x，y为正数，∴2x>3y.xln 2＝zln 5，则＝<(由ln 52＜ln 25可得)，又x，z为正数，∴2x<5z，∴3y<2x<5z，故选D.‎ ‎(2)由a＞b＞1，得00，b>0，则下列等式不正确的是(　　)‎ A.alg b·blg a＝1 B.alg b＋blg a＝2alg b C.alg b·blg a＝(alg b)2 D.alg b·blg a＝blg a2‎ 解析　由于a>0，b>0，故当a＝b时，有alg bblg a＝(alg b)2，alg b＋blg a＝alg b＋alg b＝2alg b，alg b·blg a＝(blg a)2＝b2lg a＝blg a2，故选A.‎ 答案　A ‎8.(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)‎ A.1010.1 B.10.1‎ C.lg 10.1 D.10－10.1‎ 解析　设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2.‎ 由题意知m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg，所以lg＝10.1，所以＝1010.1.故选A.‎ 答案　A ‎9.已知m>0且m≠1，则logmn>0是(1－m)(1－n)>0的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　∵m>0且m≠1，由logmn>0得或∴(1－m)(1－n)>0，‎ 反过来，当(1－m)(1－n)>0时，不妨取m＝，n＝－1，此时logmn无意义，故选A.‎ 答案　A 二、填空题 ‎10.若log2x＝log43，则x＝________.‎ 解析　由等式可得log2x＝log23，解得x＝.‎ 答案　 ‎11.(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.‎ 解析　(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25‎ ‎＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25‎ ‎＝2(lg 2＋lg 5)＝2.‎ 答案　2‎ ‎12.若x＝log43，则(2x－2－x)2＝________.‎ 解析　∵x＝log43，∴4x＝3，4－x＝，‎ ‎∴(2x－2－x)2＝4x－2＋4－x＝3－2＋＝.‎ 答案　 ‎13.已知a＋a－＝3，则a＋a－1＝________，a2＋a－2＝________.‎ 解析　∵a＋a－＝3，‎ ‎∴两边平方得a＋a－1＋2＝9，‎ ‎∴a＋a－1＝7，‎ 对上式两边平方得a2＋2＋a－2＝49，‎ ‎∴a2＋a－2＝47.‎ 答案　7　47‎ ‎14.(2019·嘉兴测试)计算：2lg 2＋lg 25＝________，方程log2(x＋1)＝3的解为x＝________.‎ 解析　2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，∵方程log2(x＋1)＝3，∴x＋1＝23＝8，解得x＝7.‎ 答案　2　7‎ 能力提升题组 ‎15.(2018·全国Ⅲ卷)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)‎ A.a＋b0，b<0，所以ab<0，所以ab0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则xy的最大值是________.‎ 解析　由题意得lg 2x＋lg 8y＝lg(2x×23y)＝lg 2x＋3y＝lg 2(x>0，y>0)，所以x＋3y＝1，则xy＝x×3y≤＝，当且仅当x＝3y＝时，等号成立，所以xy的最大值为.‎ 答案　 ‎20.(2019·浙江名校新高考研究联盟三联)已知方程loga(5x－3x)＝x(其中a＞0，a≠1)，若x＝2是方程的解，则a＝________；当a＝2时，方程的解x＝________.‎ 解析　若x＝2是方程的解，则loga(52－32)＝loga42＝2，所以a＝4；当a＝2时，log2(5x－3x)＝x，即5x－3x＝2x，通过对比可知该方程的解为x＝1.‎ 答案　4　1‎