高中数学人教a版必修四课时训练 第一章 三角函数 章末检测(b) word版含答案

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高中数学人教a版必修四课时训练 第一章 三角函数 章末检测(b) word版含答案

第一章 三角函数(B) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 cos α=1 2 ,α∈(370°,520°),则α等于( ) A.390° B.420° C.450° D.480° 2.若 sin x·cos x<0,则角 x 的终边位于( ) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 3.函数 y=tan x 2 是( ) A.周期为 2π的奇函数 B.周期为π 2 的奇函数 C.周期为π的偶函数 D.周期为 2π的偶函数 4.已知 tan(-α-4 3π)=-5,则 tan(π 3 +α)的值为( ) A.-5 B.5 C.±5 D.不确定 5.已知函数 y=2sin (ωx+φ))(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图,那么ω等于( ) A.1 B.2 C.1 2 D.1 3 6.函数 f(x)=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称,则φ等于( ) A.-π 2 B.2kπ-π 2(k∈Z) C.kπ(k∈Z) D.kπ+π 2(k∈Z) 7.若sin θ+cos θ sin θ-cos θ =2,则 sin θcos θ的值是( ) A.- 3 10 B. 3 10 C.± 3 10 D.3 4 8.将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动 π 10 个单位长度,再把所得各点的横坐标 伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ) A.y=sin 2x- π 10 B.y=sin 2x-π 5 C.y=sin 1 2x- π 10 D.y=sin 1 2x- π 20 9.将函数 y=sin(x-θ)的图象 F 向右平移π 3 个单位长度得到图象 F′,若 F′的一条对称轴 是直线 x=π 4 ,则θ的一个可能取值是( ) A.5π 12 B.-5π 12 C.11π 12 D.-11π 12 10.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asin ax 的图象不可能是( ) 11.在同一平面直角坐标系中,函数 y=cos x 2 +3π 2 (x∈[0,2π])的图象和直线 y=1 2 的交点个 数是( ) A.0 B.1 C.2 D.4 12.设 a=sin 5π 7 ,b=cos 2π 7 ,c=tan 2π 7 ,则( ) A.a0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则 ω=________. 16.给出下列命题: (1)函数 y=sin |x|不是周期函数; (2)函数 y=tan x 在定义域内为增函数; (3)函数 y=|cos 2x+1 2|的最小正周期为π 2 ; (4)函数 y=4sin(2x+π 3),x∈R 的一个对称中心为(-π 6 ,0). 其中正确命题的序号是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知α是第三象限角,f(α)= sinα-π 2 cos3π 2 +αtanπ-α tan-α-πsin-π-α . (1)化简 f(α); (2)若 cos(α-3 2π)=1 5 ,求 f(α)的值. 18.(12 分)已知4sin θ-2cos θ 3sin θ+5cos θ = 6 11 ,求下列各式的值. (1) 5cos2θ sin2θ+2sin θcos θ-3cos2θ ; (2)1-4sin θcos θ+2cos2θ. 19.(12 分)已知 sin α+cos α=1 5. 求:(1)sin α-cos α;(2)sin3α+cos3α. 20.(12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π 2)的部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)如何由函数 y=2sin x 的图象通过适当的变换得到函数 f(x)的图象,写出变换过程. 21.(12 分)函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π 2)在 x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个 最小值,且当 x=π时,ymax=3;当 x=6π,ymin=-3. (1)求出此函数的解析式; (2)求该函数的单调递增区间; (3)是否存在实数 m,满足不等式 Asin(ω -m2+2m+3+φ)>Asin(ω -m2+4+φ)?若存在, 求出 m 的范围(或值),若不存在,请说明理由. 22.(12 分)已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作: y=f(t),下表是某日各时的浪高数据: t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(t)的曲线,可近似地看成是函数 y=Acos ωt+b. (1)根据以上数据,求函数 y=Acos ωt+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内 的上午 8∶00 时至晚上 20∶00 时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动? 第一章 三角函数(B) 答案 1.B 2.C 3.A 4.A 5.B [由图象知 2T=2π,T=π,∴2π ω =π,ω=2.] 6.D [若函数 f(x)=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称,则 f(0)=cos φ=0,∴φ=kπ+π 2 , (k∈Z).] 7.B [∵sin θ+cos θ sin θ-cos θ =tan θ+1 tan θ-1 =2, ∴tan θ=3. ∴sin θcos θ= sin θcos θ sin2θ+cos2θ = tan θ tan2θ+1 = 3 10.] 8.C [函数 y=sin x y=sin x- π 10 ――→横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 y= sin 1 2x- π 10 .] 9.A [将 y=sin(x-θ)向右平移π 3 个单位长度得到的解析式为 y=sin x-π 3 -θ =sin(x-π 3 - θ).其对称轴是 x=π 4 ,则π 4 -π 3 -θ=kπ+π 2(k∈Z). ∴θ=-kπ-7π 12(k∈Z).当 k=-1 时,θ=5π 12.] 10.D [图 A 中函数的最大值小于 2,故 00. ∴π 4<2π 7 <π 2. 又α∈ π 4 ,π 2 时,sin α>cos α. ∴a=sin 2π 7 >cos 2π 7 =b. 又α∈ 0,π 2 时,sin αsin 2π 7 =a. ∴c>a.∴c>a>b.] 13.2 6 5 解析 ∵α是第四象限的角且 cos α=1 5. ∴sinα= - 1-cos2α=-2 6 5 , ∴cos(α+π 2)=-sin α=2 6 5 . 14.2 3 解析 由 y=6cos x, y=5tan x 消去 y 得 6cos x=5tan x. 整理得 6cos2 x=5sin x,6sin2x+5sin x-6=0,(3sin x-2)(2sin x+3)=0, 所以 sin x=2 3 或 sin x=-3 2(舍去). 点 P2 的纵坐标 y2=2 3 ,所以|P1P2|=2 3. 15.3 解析 由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象可知: T 2 =(-π 3)-(-2 3π)=π 3 ,∴T=2 3π. ∵T=2π ω =2 3π,∴ω=3. 16.(1)(4) 解析 本题考查三角函数的图象与性质.(1)由于函数 y=sin |x|是偶函数,作出 y 轴右侧的 图象,再关于 y 轴对称即得左侧图象,观察图象可知没有周期性出现,即不是周期函数;(2) 错,正切函数在定义域内不单调,整个图象具有周期性,因此不单调;(3)由周期函数的定 义 f(x+π 2)=|-cos 2x+1 2|≠f(x),∴π 2 不是函数的周期;(4)由于 f(-π 6)=0,故根据对称中心的 意义可知(-π 6 ,0)是函数的一个对称中心,故只有(1)(4)是正确的. 17.解 (1)f(α)= sinα-π 2 cos3π 2 +αtanπ-α tan-α-πsin-π-α = -sinπ 2 -αsin α-tan α -tan αsin α =cos αsin αtan α -tan αsin α =-cos α. (2)∵cos(α-3π 2 )=cos(3π 2 -α)=-sin α=1 5. ∴sin α=-1 5. ∵α是第三象限角,∴cos α=-2 6 5 . ∴f(α)=-cos α=2 6 5 . 18.解 由已知4sin θ-2cos θ 3sin θ+5cos θ = 6 11 , ∴4tan θ-2 3tan θ+5 = 6 11. 解得:tan θ=2. (1)原式= 5 tan2θ+2tan θ-3 =5 5 =1. (2)原式=sin2θ-4sin θcos θ+3cos2θ=sin2θ-4sin θcos θ+3cos2θ sin2θ+cos2θ =tan2θ-4tan θ+3 1+tan2θ =-1 5. 19.解 (1)由 sin α+cos α=1 5 ,得 2sin αcos α=-24 25 , ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+24 25 =49 25 , ∴sin α-cos α=±7 5. (2)sin3α+cos3α=(sin α+cos α)(sin2α-sin αcos α+cos2α)=(sin α+cos α)(1-sin αcos α), 由(1)知 sin αcos α=-12 25 且 sin α+cos α=1 5 , ∴sin3α+cos3α=1 5 × 1+12 25 = 37 125. 20.解 (1)由图象知 A=2. f(x)的最小正周期 T=4×(5π 12 -π 6)=π,故ω=2π T =2.将点(π 6 ,2)代入 f(x)的解析式得 sin(π 3 +φ) =1,又|φ|<π 2 ,∴φ=π 6 ,故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+π 6). (2)变换过程如下: y=2sin x 6   图像向左平移 个单位 y=2sin(x+π 6) 1 2 所有点的横坐标缩短为原来的 纵坐标不变 y=2sin(2x+π 6). 21.解 (1)由题意得 A=3,1 2T=5π⇒T=10π, ∴ω=2π T =1 5.∴y=3sin(1 5x+φ),由于点(π,3)在此函数图象上,则有 3sin(π 5 +φ)=3, ∵0≤φ≤π 2 ,∴φ=π 2 -π 5 =3π 10. ∴y=3sin(1 5x+3π 10). (2)当 2kπ-π 2 ≤1 5x+3π 10 ≤2kπ+π 2 时,即 10kπ-4π≤x≤10kπ+π时,原函数单调递增. ∴原函数的单调递增区间为[10kπ-4π,10kπ+π](k∈Z). (3)m 满足 -m2+2m+3≥0, -m2+4≥0, 解得-1≤m≤2. ∵-m2+2m+3=-(m-1)2+4≤4, ∴0≤ -m2+2m+3≤2, 同理 0≤ -m2+4≤2.由(2)知函数在[-4π,π]上递增,若有: Asin(ω -m2+2m+3+φ)>Asin(ω -m2+4+φ),只需要: -m2+2m+3> -m2+4,即 m>1 2 成立即可,所以存在 m∈(1 2 ,2],使 Asin(ω -m2+2m+3 +φ)>Asin(ω -m2+4+φ)成立. 22.解 (1)由表中数据知周期 T=12, ∴ω=2π T =2π 12 =π 6 , 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5. 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0. ∴A=0.5,b=1, ∴y=1 2cos π 6t+1. (2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放,∴1 2cos π 6t+1>1, ∴cos π 6t>0,∴2kπ-π 2<π 6t<2kπ+π 2 ,即 12k-3
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