【数学】河北省重点中学2019-2020学年高一下学期期末考试试题（解析版）

【数学】河北省重点中学2019-2020学年高一下学期期末考试试题（解析版）

河北省重点中学2019-2020学年高一下学期期末考试试题 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．‎ ‎2．请将各题答案填写在答题卡上．‎ ‎3．本试卷主要考试内容：人教A版必修5，必修2前三章．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．下列几何体中是四棱锥的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．已知等差数列的前n项和为，且，公差，则（ ）‎ A．30 B．35 C．40 D．45‎ ‎3．在中，，则（ ）‎ A．5 B．6 C． D．8‎ ‎4．若关于x的不等式的解集为R，则a的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知点，则直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在正项等比数列中，，则（ ）‎ A．5 B．10 C．20 D．50‎ ‎7．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知，，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知直线，直线，则m关于l对称的直线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若，则； ②若，则；‎ ‎③若，则； ④若，则．‎ 其中所有真命题的序号是（ ）‎ A．①② B．①②③ C．①②④ D．②‎ ‎11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的形状为（ ）‎ A．等腰非等边三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 ‎12．在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．‎ ‎13．已知直线l的斜率为2，且经过点，则直线l的一般式方程为_____________．‎ ‎14．已知某圆柱的侧面展开图是边长为6的正方形，则该圆柱的体积为____________．‎ ‎15．有A，B，C三座城市，其中A在B的正东方向，且与B相距，C在A的北偏东30°方向，且与A相距．一架飞机从A城市出发，以的速度向C城市飞行，飞行后，接到命令改变航向，飞往B城市，此时飞机距离B城市__________．‎ ‎16．已知正数a，b满足，则的最小值为__________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）‎ 在等差数列中，已知．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设的前n项和为，若，求n的值．‎ ‎18．（12分）‎ 求出满足下列条件的直线方程．‎ ‎（1）经过点且与直线垂直；‎ ‎（2）经过点且在两条坐标轴上的截距相等．‎ ‎19．（12分）‎ 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）若，求的周长．‎ ‎20．（12分）‎ 在三棱锥中，，平面平面，点M在棱上．‎ ‎（1）若M为的中点，证明：．‎ ‎（2）若三棱锥的体积为，求M到平面的距离．‎ ‎21．（12分）‎ 如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面，O为的中点，且．‎ ‎（1）证明：平面．‎ ‎（2）若异面直线与所成角的正切值为，求三棱柱的体积．‎ ‎22．（12分）‎ 在数列中，．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列．‎ ‎（2）设，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，求m的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．C ‎ 由四棱锥的定义可知选C．‎ ‎2．B ‎ 因为，所以．‎ ‎3．A ‎ 由正弦定理知，解得．‎ ‎4．D ‎ 由题知当时符合条件；当时，解得．综上，a的取值范为．‎ ‎5．A ‎ 由题知直线的斜率，故直线的倾斜角为．‎ ‎6．B ‎ 因为数列为等比数列，所以，‎ 又，所以．‎ ‎7．C ‎ 因为直线与直线平行，‎ 所以，则它们之间的距离为．‎ ‎8．B ‎ 因为，，所以．B正确，其他选项可以用特值法判断出都是错误的．‎ ‎9．D ‎ 由题知直线l与直线m交于点，且点在m上，设点M关于l 对称的点的坐标为，则解得则直线的方程为，即m关于l对称的直线方程为．‎ ‎10．A ‎ 易知①②正确；对于③，m，n可能平行，也可能异面，所以③错；对于④，n可能平行于，也可能n在平面内，所以④错，选A．‎ ‎11．C ‎ 因为，所以．‎ 又．所以．又因为，所以，即，解得，故的形状为等边三角形．‎ ‎12．C ‎ 因为，所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别为a，b，c，则有 整理得，则该棱锥外接球的半径，．‎ ‎13． ‎ 因为直线l的斜率为2，且经过点，所以直线l的方程为，即 ‎．‎ ‎14． ‎ 由题意知该圆柱的底面半径为，高为6，故该圆柱的体积为．‎ ‎15． ‎ 如图，由题意可知，则 故．‎ ‎16．49 ‎ 因为正数a，b满足，所以，当且仅当时，等号成立．‎ ‎17．解：（1）设等差数列的公差为d，‎ 由题意得 2分 解得 4分 故． 5分 ‎（2）因为的前n项和为，所以， 7分 整理得， 9分 故（舍去）或． 10分 ‎18．解：（1）因为所求的直线与直线垂直，‎ 所以所求的直线的斜率为3． 2分 又直线经过点，所以该直线方程为，‎ 即． 5分 ‎（2）当所求的直线与两条坐标轴上的截距均为0时，‎ 因为直线经过点，‎ 所以该直线方程为； 8分 当所求的直线与两条坐标轴上的截距相等且不为0时，‎ 则设该直线方程为， 10分 将点代入方程得，‎ 即所求的直线方程为． 12分 ‎19．解：（1）因为，所以． 1分 又，所以，即． 4分 又，所以． 6分 ‎（2）由余弦定理得． 8分 因为，所以． 10分 故的周长为． 12分 ‎20．（1）证明：取的中点O，连接，．‎ 因为，所以． 1分 因为平面平面，且相交于，所以平面， 2分 所以．‎ 因为，所以， 3分 所以．所以， 4分 所以，且M为的中点，所以． 5分 ‎（2）解：，‎ 所以． 8分 在中，， 10分 设M到平面的距离为h，则，解得．‎ 所以M到平面的距离为． 12分 ‎21．（1）证明：连接，连接交于G，连接． 1分 易证，且， 2分 所以四边形为平行四边形， 3分 所以． 4分 因为平面平面，所以平面． 5分 ‎（2）解：由（1）知，，‎ 所以异面直线与所成角即直线与所成角， 6分 所以． 7分 因为底面为正方形，所以，‎ 又侧棱垂直底面，所以． 8分 因为，所以平面，‎ 所以． 9分 因为，所以， 10分 所以． 11分 故三棱柱的体积． 12分 ‎22．解：（1）证明：因为，所以， 1分 所以，即． 3分 因为，所以，‎ 故数列是以12为首项，3为公比的等比数列． 4分 ‎（2）解：由（1）可得，即， 5分 则． 6分 当n为偶数时，‎ ‎， 7分 因为是递减的，所以． 8分 当n为奇数时，‎ ‎， 9分 因为，所以． 10分 要使对任意的恒成立，只需，即， 11分 故m的取值范围是． 12分