【数学】2019届一轮复习北师大版 不等式选讲 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 不等式选讲 学案

‎ 透析高考数 23题对对碰【 精品】 第三篇 主题23 不等式选讲 ‎【主题考法】本主题考题形式为解答题，主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想，难度为基础题，分值为10分.‎ ‎【主题考前回扣】‎ ‎1.绝对值不等式的性质 定理1 如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.‎ 定理2 如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.‎ ‎2.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.‎ ‎(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ ‎3.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎(1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解.‎ ‎(2)利用零点分段法求解.‎ ‎(3)构造函数，利用函数的图象求解.‎ ‎4.基本不等式 定理1 设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立.‎ 定理2 如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立.‎ 定理3 如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.‎ 定理4 (一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立. + + ]‎ ‎【易错点提醒】‎ 1. 解绝对不等式时，分类整合考虑不全面致错.‎ 1. 应用基本不等式求最值时，忽视条件致错,‎ ‎【主题考向】‎ 考向一 　绝对值不等式的解法 ‎ ‎【解决法宝】1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形结合的思想.‎ ‎2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤 求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解.‎ ‎ 例1【辽宁省辽阳市2018 届一模】已知函数， .‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在，使得和互为相反数，求a的取值范围.‎ ‎【分析】（1）通过讨论的范围，得到关于的不等式组，解之即可；‎ ‎（2）因为存在， ，使得成立.所以 .‎ ‎（2）因为存在， ，使得成立.‎ 所以 .‎ 又 ，‎ 由（1）可知，则.‎ 所以，解得.‎ 故的取值范围为.‎ 考向二 不等式的证明 ‎【解决法宝】1.证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点.‎ ‎2.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法 寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法.‎ 例2 【四川省雅安中 下 期第一次月考】已知， ， ，函数的最小值为.‎ ‎(1)求的值 ；‎ ‎(2)证明 .‎ ‎【分析】（1）根据绝对值不等式的性质，结合函数，即可求得的值；（2）运用柯西不等式，结合（1），即可证明.‎ ‎【解析】（1） ， ‎ ‎ 的最小值为 ‎(2) ‎ 考向三 绝对值不等式有关的最值问题 ‎【解决法宝】1.不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决 ‎2.本题分离参数m，对含绝对值符号的函数g(x)分段讨论，求出g(x)的最大值，进而求出m的取值范围，优化解题过程.‎ 例3【河南省中原名校 六质考】已知函数.‎ ‎（1）当时，若的最小值为3，求实数的值；‎ ‎（2）当时，若不等式的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【分析】（1）直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到a的值. (2)先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数a的取值范围.‎ ‎【解析】（1）当时， ， ‎ 因为的最小值为3，所以，解得或4.‎ ‎【主题集训】‎ ‎1.【安徽省合肥市 二质检】已知函数.‎ ‎（1）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）若，函数的图象与轴围成的三角形的面积大于60，求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）由题意得 解得.‎ 可化为，解得.‎ 不等式的解集为，‎ ‎，解得，满足.‎ ‎．‎ ‎（2）依题意得， .‎ 又，‎ ‎∴的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为， ， ，‎ ‎，解得.‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎2.【四川省德阳市 二诊】已知函数.‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1）由题意 或，‎ 所以或，‎ 即或，或或，‎ 故原不等式的解集为.‎ ‎（2） ，‎ 由于 ，‎ 所以当时， 的最小值为-1.‎ 所以实数的取值范围为 . ‎ ‎3.【河南省郑州市 二质测】已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)当时，函数的最小值为,求实数的值.‎ ‎【解析】(Ⅰ) 可化为． ‎ 解得 或． 实数的取值范围为 ‎（Ⅱ）函数的零点为和，当时知 如图可知在单调递减，在单调递增，‎ 解得 ‎ ‎4.【云南民族大 附属中 下 期第一次月】已知函数．‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若关于的不等式的解集是，求的取值范围．‎ ‎【解析】(1)由题设知 ，‎ 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集 ‎ ‎，或，或，‎ 解得函数的定义域为；‎ ‎(2)不等式即，‎ 时，恒有，‎ 不等式解集是R，‎ ‎，m的取值范围是．‎ ‎5.【四川省成都市龙泉驿区一中 二诊】已知函数（其中， ）．‎ ‎（Ⅰ）若， ，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若，求证 ．‎ ‎（Ⅱ）证明 ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 当且仅当且，即时等号成立。‎ ‎∴．‎ ‎6.【宁夏吴忠市 下期模拟】已知函数，不等式的解集为 ‎.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1）由已知得，得，即.‎ ‎（2）得恒成立.‎ ‎∵ （当且仅当时取到等号），‎ ‎∴解得或.‎ 故的取值范围为或.‎ ‎7.【四川省成都市龙泉驿区二中 二诊】设函数．‎ ‎(Ⅰ)若，求函数的值域；‎ ‎(Ⅱ)若，求不等式的解集．‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时， ‎ ‎∵，‎ ‎，函数的值域为； ‎ ‎8.【江西省临川一中等九校 联考】已知函数 ‎（1）若对于任意的实数，都有成立，求的取值范围；‎ ‎（2）若方程有两个不同的实数解，求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）由于，‎ 所以的最小值为.又因为对任意的实数，都有 成立，只需，即 ‎，解得，故的取值范围为.‎ ‎（2）方程有两个不同的实数解，即函数与的图像有两个不同的交点，作出这两个函数图像，由图像可知， 得取值范围是 ‎9.【湖南省郴州市 二质检】已知为正数，函数 ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若的最小值为，且，求证 ‎ ‎【解析】（Ⅰ） ‎ 等价于或或，‎ 解得或或 所以不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，即.‎ ‎∵， ， ‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴.当且仅当时等号成立 ‎10.【云南省昆明市 质量检查二】已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若、， ， ，证明 .‎ ‎【解析】（1）由得 ，‎ 当时， ，解得；‎ 当时， ，解得；‎ 当时， ，解得；‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）证明 ，‎ 因为， ，即， ，‎ 所以 ，‎ 所以，即，所以原不等式成立. ‎ ‎11.【湖南省三湘名校教育联盟 三联考】已知函数.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）令.‎ 当时， 等价于或或，‎ 解得或或，‎ ‎∴不等式的解集为.‎ ‎（2）由题意知， 在上恒成立，‎ 又，‎ ‎∴，即的取值范围是.‎ ‎12.【江西省上饶市 二模】已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的定义域；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）由题意，‎ 令，‎ 解得，‎ ‎∴函数的定义域为或.‎ ‎（2），∴，‎ 即解集是 ；‎ 则，故. ‎ ‎13.【江西省上饶市 二模】已知函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若对于任意非零实数以及任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）当时， 所以的解集为.‎ ‎（2）由，知，即，‎ 而， ‎ 所以，即，故实数的取值范围为. ‎ ‎14.【陕西省榆林市 二模】已知函数.‎ ‎（1）证明 ；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1）证明 因为 ，‎ 而 ，‎ 所以.‎ ‎15.【江西省 六校联考】已知，使不等式成立．‎ ‎（1）求满足条件的实数的集合；‎ ‎（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．‎ ‎【解析】(1)令,则,‎ 由于使不等式成立,有.‎ ‎(2)由(1)知, ,根据基本不等式,‎ 从而,当且仅当时取等号,‎ 再根据基本不等式,当且仅当时取等号.‎ 所以的最小值为6.‎ ‎16.【河南安阳 二模】已知函数.‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）对任意满足的正实数， ，若总存在实数，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1）‎ 当时，由得，则；‎ 当时， 恒成立；‎ 当时，由得，则.‎ 综上，不等式的解集为 ‎（2）由题意，‎ 由绝对值不等式得，当且仅当时取等号，故的最小值为.‎ 由题意得，解得.‎ ‎17.【广西桂林、贺州、崇左三市 二联考】已知函数.‎ ‎（1）若，使不等式成立，求满足条件的实数的集合；‎ ‎（2）已知为集合中的最大正整数，若， ， ，且，求证 ‎ ‎【解析】（1）由已知得 则，‎ 由于，使不等式成立，所以，‎ 即 ‎（2）由（1）知，则 因为， ， ，所以， ， ，‎ 则，（当且仅当时等号成立），‎ ‎，（当且仅当时等号成立），‎ ‎（当且仅当时等号成立），‎ 则（当且仅当时等号成立），‎ 即.‎ ‎18.【河北省衡水中 十模】已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设的最小值为，若的解集包含，求的取值范围.‎ ‎（2）∵，∴，∵的解集包含，∴， ，∴，故的取值范围为 ．‎ ‎19.【云南省保山市 第二次统考】已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的解集；‎ ‎（Ⅱ）当时， 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，由，可得，‎ ‎①或②或③‎ 解①求得，解②求得，解③求得，‎ 综上可得不等式的解集为． ‎ ‎（Ⅱ）∵当时， 恒成立，即，‎ 当时， ；‎ 当时，‎ 若，即时， ， ，所以;‎ 若，即时， ， ，所以;‎ 若，即时， 时，不等式不成立 综上， ． ‎ ‎20.【河北省衡水中 七调】已知函数， .‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若， ，使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1），即，此不等式等价于或或，解得或，所以 的解集为或.‎ ‎（2）因为， ，使得成立，‎ 所以.又，所以.‎ 当，即时， ，解得，所以；‎ 当，即时， ，解得，所以；‎ 当，即时， ，解得或，‎ 所以或.综上，实数的取值范围为.‎