【数学】2020届一轮复习北师大版排序不等式学案
三 排序不等式
1．顺序和、乱序和、反序和
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．
2．排序不等式(排序原理)
定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.
排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．
[点睛] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．
[例1] 已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：
＋＋≥＋＋.
[思路点拨] 分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．
[证明] ∵a≥b>0，于是≤，
又c>0，从而≥，
同理≥，从而≥≥.
又由于顺序和不小于乱序和，故可得
＋＋≥＋＋
＝＋＋
≥＋＋＝＋＋＝＋＋.
∴原不等式成立．
利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．
1．已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
证明：∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在为增函数，y＝cos x在为减函数，
∴0
cos β>cos γ>0.
∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α
>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ
＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
2．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤…≤xn.
由排序原理得12＋x2＋x4＋…＋x2n
≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1
即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①
又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排列，
由排序原理得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1
≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，
即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.②
将①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)
[例2] 设a，b，c为正数，求证：
＋＋≥a10＋b10＋c10.
[思路点拨] 本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出a，b，
c三个数的大小顺序，且a，b，c在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a≥b≥c，再利用排序不等式加以证明．
[证明] 由对称性，不妨设 a≥b≥c，于是a12≥b12≥c12，≥≥，
故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得
＋＋≥＋＋＝＋＋.①
又因为a11≥b11≥c11，≤≤.
再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得
＋＋≤＋＋.②
所以由①②得＋＋≥a10＋b10＋c10.
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．
3．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明：由题意不妨设a≥b≥c＞0，
由不等式的单调性，知ab≥ac≥bc，≥≥.
由排序不等式，知ab×＋ac×＋bc×
≥ab×＋ac×＋bc×＝a＋c＋b，
即＋＋≥a＋b＋c.
4．设a1，a2，a3为正数，求证：＋＋≥a1＋a2＋a3.
证明：不妨设 a1≥a2≥a3>0，于是
≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2，
由排序不等式：顺序和≥乱序和得
＋＋≥·a2a3＋·a3a1＋·a1a2
＝a3＋a1＋a2.
即＋＋≥a1＋a2＋a3.
1．有两组数：1,2,3与10,15,20，它们的顺序和、反序和分别是( )
A．100,85 B．100,80
C．95,80 D．95,85
解析：选B 由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80.
2．若00，
则lg a≥lg b≥lg c，据排序不等式有：
alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c，
alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c，
以上两式相加，再两边同加alg a＋blg b＋clg c，整理得
3(alg a＋blg b＋clg c)≥(a＋b＋c)(lg a＋lg b＋lg c)，
即lg(aabbcc)≥·lg(abc)，
故aabbcc≥(abc).
9．某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m分钟，第二人投n分钟，第三人投p分钟，某班级三名运动员A，B，C每分钟能投进的次数分别为a，b，c，已知m＞n＞p，a＞b＞c，如何派三人上场能取得最佳成绩？
解：∵m＞n＞p，a＞b＞c，
且由排序不等式知顺序和为最大值，
∴最大值为ma＋nb＋pc，此时分数最高，
∴三人上场顺序是A第一，B第二，C第三．
10．已知00，
又0
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