高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》全套教案（33页）

高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》全套教案（33页）

高中数学选修 4-4 全套教案 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境 1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安 全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境 2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看 台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题 1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题 2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴 它使直线上任一点 P 都可以由惟一的实数 x 确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条 直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点 P 都可以由惟一的实数对 （x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点， 并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点 P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例 1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为 1 的正六边形的顶点。 *变式训练 如何通过它们到点 O 的距离以及它们相对于点 O 的方位来刻画,即用”距离和方向” 确定点的位置？ 例 2 已知 B 村位于 A 村的正西方 1 公里处,原计划经过 B 村沿着北偏东 60 0 的方向设一 条地下管线 m.但在 A 村的西北方向 400 米出,发现一古代文物遗址 W.根据初步勘探的结 果,文物管理部门将遗址 W 周围 100 米范围划为禁区.试问:埋设地下管线 m 的计划需要 修改吗? *变式训练 1．一炮弹在某处爆炸,在 A 处听到爆炸的时间比在 B 处晚 2s,已知 A、B 两地相距 800 米，并且此时的声速为 340m/s,求曲线的方程 2．在面积为 1 的 PMN 中， 2tan,2 1tan  MNPPMN ，建立适当的坐标系， 求以 M，N 为焦点并过点 P 的椭圆方程 例 3 已知 Q（a,b）,分别按下列条件求出 P 的坐标 （1）P 是点 Q 关于点 M（m,n）的对称点 （2）P 是点 Q 关于直线 l:x-y+4=0 的对称点（Q 不在直线 1 上） *变式训练 用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。 思考 通过平面变换可以把曲线 14 )1( 9 )1( 22  yx 变为中心在原点的单位圆，请求出该复合 变换？ 四、巩固与练习 五、小 结：本节课学习了以下内容：1．如何建立直角坐标系； 2．建标法的基本步骤； 3．什么时候需要建标。 五、课后作业：课本 P14 页 1，2，3，4 六、课后反思： 建标法，学生学习有印象，但没有主动建标的意识，说明学生数学学习缺乏系统性， 需要加强训练。 课题：2、平面直角坐标系中的伸缩变换 教学目标： 知识与技能：平面直角坐标系中的坐标变换 过程与方法：体会坐标变换的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识 教学重点：理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换 教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题 授课类型：新授课 教学措施与方法：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、阅读教材 P4—P8 问题探究 1：怎样由正弦曲线 siny x 得到曲线 sin 2y x ？ 思考：“保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的实质是什么？ 问题探究 2：怎样由正弦曲线 siny x 得到曲线 3siny x ？ 思考：“保持横坐标不变纵坐标缩为原来的 3 倍”的实质是什么？ 问题探究 3：怎样由正弦曲线 siny x 得到曲线 3sin 2y x ？ 二、新课讲解： 定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称 为平面直角坐标系中的伸缩变换 注 （1） （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。 例 1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 ' ' 2 3 x x y y     后的图形。 （1）2x+3y=0; (2) 2 2 1x y  例 2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换      yy xx ,3 后，曲线 C 变为曲线 99 22  yx ， 求曲线 C 的方程并画出图象。 三、知识应用： 1、已知 xxfxxf sin)(,sin)( 21  （ )0 )(2 xf 的图象可以看作把 )(1 xf 的图象在其所 ' ( 0): ' ( 0) x x y y          0, 0   在的坐标系中的横坐标压缩到原来的 3 1 倍（纵坐标不变）而得到的，则 为（ ） A． 2 1 B .2 C.3 D. 3 1 2、在同一直角坐标系中，经过伸缩变换      yy xx 3 5 后，曲线 C 变为曲线 2 22 8 1,x y   则 曲线 C 的方程为（ ） A． 2 225 36 1x y  B. 2 29 100 1x y  C． 2 210 24 1x y  D. 2 22 8 125 9x y  3、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换        yy xx 3 1 2 1 后的图形。 （1） ;025  yx （2） 122  yx 。 四、知识归纳：设点 P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换      ),0(, ),0(,:   yy xx 的作用下，点 P(x,y)对应到点 ),( yxP  ，称 为平面直角坐标系 中的坐标伸缩变换 五、作业布置： 1、抛物线 2 4y x 经过伸缩变换 1 4 1 3 x x y y       后得到 2、把圆 2 2 16x y  变成椭圆 2 2 116 yx    的伸缩变换为 3、在同一坐标系中将直线3 2 1x y  变成直线 ' '2 2x y  的伸缩变换为 4、把曲线 3sin 2y x 的图象经过伸缩变换 1 2 4 x x y y       得到的图象所对应的方程为 5、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 2 1 2 x x y y     后，曲线 C 变为 2 216 4 0x y x     ， 则曲线 C 的方程 六、反思： 二 极坐标系 课题：1、极坐标系的的概念 教学目的： 知识目标：理解极坐标的概念 能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐 标系中刻画点的位置的区别. 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：理解极坐标的意义 教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境 1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引 爆？ 情境 2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。 （1）他向东偏 60°方向走 120M 后到达什么位置？该位 置惟一确定吗？ （2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描 述？ 问题 1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎 样的坐标系呢？ 问题 2：如何刻画这些点的位置？ 这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画 点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础． 二、讲解新课： 从情镜 2 中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用 方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 1、极坐标系的建立： 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个单位长度和计算角度 的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中 O 称为极点，射线 OX 称为极轴。） 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点 M，用  表示线段 OM 的长度， 用  表示从 OX 到 OM 的角度， 叫做点 M 的极径， 叫做点 M 的极角，有序数对（，）就叫做 M 的极坐标。 特别强调：由极径的意义可知≥0;当极角的取值范围 是[0,2 )时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（，）建立 一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角 当＜0 时，点 M （，）位于极角终边的反向延长线上，且 OM=  。 M （，）也可以表示为 ))12(,()2,(   kk 或 )( zk  4、数学应用 例 1 写出下图中各点的极坐标（见教材 14 页） A（4，0）B（2 ）C（ ） D（ ）E（ ）F（ ） G（ ） 1 平面上一点的极坐标是否唯一？ 2 若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ 3 不同的极坐标是否可以写出统一表达式 约定：极点的极坐标是  =0， 可以取任意角。 变式训练 在极坐标系里描出下列各点 A（3，0） B（6，2 ）C（3， 2  ）D（5， 3 4 ）E（3， 6 5 ）F（4， ）G（6， 3 5 点的极坐标的表达式的研究 例 2 在极坐标系中，(1)已知两点 P（5， 4 5 ），Q )4,1(  ，求线段 PQ 的长度； (2)已知 M 的极坐标为（，）且= 3  ， R ，说明满足上述条件的点 M 的位置。 变式训练 1、若 ABC 的的三个顶点为 .),6 7,3(),6 5,8(),2 5,5( 判断三角形的形状 CBA 2、若 A、B 两点的极坐标为 ),(),,( 2211  求 AB 的长以及 AOB 的面积。（O 为极点） 例 3 已知 Q（，），分别按下列条件求出点 P 的极坐标。 （1） P 是点 Q 关于极点 O 的对称点； （2） P 是点 Q 关于直线 2   的对称点； （3） P 是点 Q 关于极轴的对称点。 变式训练 1.在极坐标系中,与点 )6,8(  关于极点对称的点的一个坐标是 ( ) )6,8(),6 5,8(),6 5,8(),6,8(   DCBA 2 在极坐标系中，如果等边 ABC 的两个顶点是 ),4 5,2(),4,2( BA  求第三个顶点 C 的坐标。 三、巩固与练习 四、小 结：本节课学习了以下内容：1．如何建立极坐标系。 2．极坐标系的基本 要素是：极点、极轴、极角和度单位。3．极坐标中的点与坐标的对应关系。 五、课后作业： 六．课后反思：本节学习内容对学生来说是全新的，因而学生学习的兴趣很浓，课堂气 氛很好。部分学生还未能转换思维，感到有点吃力。后续教学还要加强基础训练。 课题：2、极坐标与直角坐标的互化 教学目的： 知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 教学难点：互化关系式的掌握 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境 1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境 2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便 问题 1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？ 问题 2：平面内的一个点的直角坐标是 )3,1( ，这个点如何用极坐标表示？ 学生回顾 理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义 正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解 二、讲解新课： 直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度 单位。平面内任意一点 P 的指教坐标与极坐标分别为 ),( yx 和 ),(  ，则由三角函数的定 义可以得到如下两组公式： {   sin cos   y x { x y yx     tan 222 说明 1 上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 2 通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取  ≥ 0，0 ≤ ≤ 2 。 3 互化公式的三个前提条件 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同. 三．举例应用： 例 1．（1）把点 M 的极坐标 )3 2,8(  化成直角坐标 （2）把点 P 的直角坐标 )2,6(  化成极坐标 变式训练 在极坐标系中,已知 ),6,2(),6,2(  BA 求 A,B 两点的距离 例 2.若以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立直角坐标系. (1)已知 A 的极坐标 ),3 5,4(  求它的直角坐标, (2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为 )15,0()2,2(  和 求它们的极坐标. ( ＞0,0≤ ＜2 ) 变式训练 把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定  ＞0,0≤ ＜ 2 ) )4,3(),4,3(),2,0(),1,1(  DCBA 例 3.在极坐标系中,已知两点 )3 2,6(),6,6(  BA . 求 A,B 中点的极坐标. 变式训练 在极坐标系中,已知三点 )6,32(),0,2(),3,2(  PNM  .判断 PNM ,, 三点是否在一条直线 上. 四、巩固与练习：课后练习 五、小 结：本节课学习了以下内容： 1．极坐标与直角坐标互换的前提条件； 2．互换的公式； 3．互换的基本方法。 五、课后作业： 六、课后反思：在教师的引导下，学生能积极应对互化的原因、方法，也能较好地模仿 操作，但让学生独立自主完成新的问题的解答，明显有困难，需要教师的点拨引导。这 点可采取的措施是：小组讨论，共同寻找解决问题的方法，很有效。但教学时间不足。 三 简单曲线的极坐标方程 课 题: 1、圆的极坐标方程 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学方法：启发诱导，讲练结合。 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为 a 的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(,)满足的条件？ 解：设 M (,)是圆上 O、A 以外的任意一点，连接 AM， 则有：OM=OAcosθ，即：ρ＝2acosθ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点 O(0,π/2)、A(2a,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 0),( f 的点 在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个 极坐标方程的曲线。 例 1、已知圆 O 的半径为 r，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系； ②设点；M（ρ，θ） ③列式；OM＝r， 即：ρ＝r ④证明或说明. 变式练习：求下列圆的极坐标方程 (１)中心在Ｃ(a,0)，半径为 a； (２)中心在(a,/2)，半径为 a； (３)中心在Ｃ(a,０)，半径为 a 答案：(1)＝2acos  (2) ＝2asin  (3) 0cos( )a  ＝２ 例 2．（1）化在直角坐标方程 0822  yyx 为极坐标方程， （2）化极坐标方程 )3cos(6   为直角坐标方程。 三、课堂练习： 1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1 为半径的圆的方程是 (C)     . 2cos . 2sin4 4 . 2cos 1 . 2sin 1 A B C D                           2.极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少？ 2 2 sin (4)         3．说明下列极坐标方程表示什么曲线 (1) ＝２cos( - ) (2) ＝cos( - )4 3 (3) ＝3 　　 ＝６ 2 2 2 2 4 2 3 0 2 0 x y x y x y x y x         ．填空： 　 (1)直角坐标方程 的　极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (2)直角坐标方程 － ＋１ 的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (3)直角坐标方程 ９的极坐标方程为＿＿＿＿＿ (4)直角坐标方程 ３的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ 四、课堂小结： 1．曲线的极坐标方程的概念． 2．求曲线的极坐标方程的一般步骤． 五、课外作业：教材 28P 1，2 1．在极坐标系中，已知圆C的圆心 )6,3( C ，半径 3r ， （1）求圆C的极坐标方程。 （2）若Q 点在圆C上运动， P 在OQ 的延长线上，且 2:3: OPOQ ，求动点 P 的 轨迹方程。 课题：2、直线的极坐标方程 教学目标： 知识与技能：掌握直线的极坐标方程 过程与方法：会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：理解直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化 教学难点：直线的极坐标方程的掌握 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、探究新知： 阅读教材 P13-P14 探究 1、直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角是 4  ，如何用极坐标方程表示直线l 思考：用极坐标表示直线时方程是否唯一？ 探究 2、如何表示过点 ( ,0)( 0)A a a  ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程，化为直角坐 标方程是什么？过点 ( ,0)( 0)A a a  ，平行于极轴的直线l 的极坐标方程呢？ 二、知识应用： 例 1、已知点 P 的极坐标为(2, ) ，直线l 过点 P 且与极轴所成的角为 3  ，求直线l 的极 坐标方程。 例 2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程 （1） 5 ( )4 R   （2） (2cos 5sin ) 4 0     （3） sin( ) 43     例 3、判断直线 2sin( )4 2     与圆 2cos 4sin    的位置关系。 4  O l x 三、巩固与提升： P15 第 1，2，3，4 题 四、知识归纳： 1、直线的极坐标方程 2、直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 3、直线与圆的简单综合问题 五、作业布置： 1、在直角坐标系中，过点(1,0) ，与极轴垂直的直线的极坐标方程是（ ） A sin 1   B sin  C cos 1   D cos  2、与方程 ( 0)4    表示同一曲线的是 （ ） A ( )4 R   B 5 ( 0)4    C 5 ( )4 R   D ( 0)4    3、在极坐标系中，过点 (2, )2A  且与极轴平行的直线l 的极坐标方程是 4、在极坐标系中，过圆 4cos  的圆心，且垂直于极轴的直线方程是 5、在极坐标系中，过点 3(2, )4A  且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是 6、已知直线的极坐标方程为 2sin( )4 2     ，求点 7(2, )4A  到这条直线的距离。 7、在极坐标系中，由三条直线 0, , cos sin 13          围成图形的面积。 六、反思： 四 柱坐标系与球坐标系简介 课题：球坐标系与柱坐标系 教学目的： 知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。 问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系 设 P 是空间任意一点，在 oxy 平面的射影为 Q，连接 OP，记| OP |= r ，OP 与 OZ 轴正向所夹的角为 ，P 在 oxy 平面的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转 过的最小正角为 ，点 P 的位置可以用有序数组 ),,( r 表示，我们把建立上述对应关 系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组 ),,( r 叫做点 P 的球坐标，其中 r ≥0，0≤ ≤ ，0≤ ＜2 。 空间点 P 的直角坐标 ),,( zyx 与球坐标 ),,( r 之间的变换关系为：              cos sinsin cossin 2222 rz ry rx rzyx 2、柱坐标系 设 P 是空间任意一点，在 oxy 平面的射影为 Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示 点在 平面 oxy 上的极坐标，点 P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的 坐标系叫做柱坐标系 有序数组(ρ,θ,Z)叫点 P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R 空间点 P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： 3、数学应用 例 1 建立适当的球坐标系,表示棱长为 1 的正方体的顶点. 变式训练 建立适当的柱坐标系, 表示棱长为 1 的正方体的顶点. 例 2.将点 M 的球坐标 )6 5,3,8(  化为直角坐标. 变式训练 1.将点 M 的直角坐标 )2,1,1(  化为球坐标. 2.将点 M 的柱坐标 )8,3,4(  化为直角坐标. 3.在直角坐标系中点 ),,( aaa a( ＞0)的球坐标是什么? 例 3.球坐标满足方程 r=3 的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程. 变式训练 标满足方程  =2 的点所构成的图形是什么? 例 4.已知点 M 的柱坐标为 ),3,4,2(  点 N 的球坐标为 ),2,4,2(  求线段 MN 的长度. 思考: 在球坐标系中,集合        20,20,62),,( rrM 表示的图形的体 积为多少? 三、巩固与练习 四、小 结：本节课学习了以下内容： 1．球坐标系的作用与规则； 2．柱坐标系的作用与规则。 五、课后作业：教材 P15 页 12，13，14，15，16       zz y x   sin cos 六、课后反思：本节内容与平面直角坐标和极坐标结合起来，学生容易理解。但以后少 用，可能会遗忘很快。需要定期调回学生的记忆。 第二章 参数方程 【课标要求】 1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。 2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方 程及其简单应用。 3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。 第一课时 参数方程的概念 一、教学目标： 1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方 程，体会参数的意义。 2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。 二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。 教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。 三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程 （一）．参数方程的概念 1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为 0 ，与地面成  角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 2．分析探究理解： （1）、斜抛运动： 为参数）t gttvy tvx ( 2 1sin cos 2 0 0        （2）、抽象概括：参数方程的概念。说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。 （2）参数是联系变量 x，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。 （3）平抛运动： x y O v=v0  x y 500 O A v=100m/s 为参数）t gty tx ( 2 1500 100 2      （4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹 的参数方程消去参数 t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。 （二）、应用举例： 例 1、已知曲线 C 的参数方程是      12 3 2ty tx (t 为参数)（1）判断点 1M (0,1), 2M (5,4)与曲线 C 的位置关系；（2）已知点 3M (6,a)在曲线 C 上，求 a 的值。 分析：只要把参数方程中的 t 消去化成关于 x,y 的方程问题易于解决。学生练习。 反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于 x,y 的方程问题求解。 例 2、设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆做匀速（角速度）运动，角速度为 60  rad/s,试以时间 t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。 解析：如图，运动开始时质点位于 A 点处，此时 t=0，设动点 M（x,y）对应时刻 t,由图 可知 2cos 602sin{x y t      又 ，得参数方程为 60 60 2cos 2sin ( 0){x t y t t      。 3000 2500 2000 1500 1000 500 -500 -1000 -1500 -2000 -2500 -3000 Y -4000 -3000 -2000 -1000 1000 2000 3000 4000 5000 X c 1 A M 反思归纳：求曲线的参数方程的一般步骤。 （三）、课堂练习： （四）、小结：1．本节学习的数学知识；2、本节学习的数学方法。学生自我反思、教 师引导，抓住重点知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解。 （五）、作业： 补充：设飞机以匀速 v=150m/s 作水平飞行，若在飞行高度 h=588m 处投弹（设投弹 的初速度等于飞机的速度，且不计空气阻力）。（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；（2） 试 问 飞 机 在 离 目 标 多 远 （ 水 平 距 离 ） 处 投 弹 才 能 命 中 目 标 。 简 解 ：（ 1 ） )(9.4588 150 2 为参数tty tx      。（2）1643m。 五、教学反思： 第二课时 圆的参数方程及应用 一、教学目标： 知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几 何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、圆的参数方程探求 1、根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。 )(sin cos 为参数       ry rx 这就是圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程。 说明：（1）参数θ的几何意义是 OM 与 x 轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同， 参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注 明参数及参数的取值范围。 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 c 1 A P C 3、若如图取

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