【数学】2018届一轮复习人教A版集合的概念与运算教案

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【数学】2018届一轮复习人教A版集合的概念与运算教案

‎2018年高考数学(理)一轮复习讲义:集合的概念与运算 一、考纲要求 了解集合及其表示,理解两个集合之间的关系(包含、包含于、真包含、真包含于,子集、真子集、全集),理解两个集合之间的运算(交集、并集、补集)。‎ 二、考题规律 集合的概念及其表示;子集、交集、并集、补集等是基础知识,常以填空题的形式考查,一般与函数的定义域、值域、不等式的解集、方程(组)的解集等一起考查,属简单题。也有与解析几何、线性规划、向量等知识相综合,以难题形式出现的。‎ 三、考向预测 预计今年仍会以具体的集合考查集合间的关系以及集合的运算,或以集合为载体考查集合的概念及其表示、不等式的解集、函数的定义域、值域等,多为简单题。‎ ‎【知识网络】‎ 集合的概念 具有共同特征的对象的全体构成一个集合,集合与元素的关系:‎ 元素特点:‎ 确定性、互异性、无序性 集合间的关系 子集 ‎()‎ ‎;‎ ‎;‎ n个元素的集合的子集个数为 真子集 相等 集合的运算 交集 ‎,且 并集 ‎,或 补集 ‎,且 ‎【随堂练习】已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩∁UB=________。‎ 思路分析:∵U={1,2,3,4},∁U(A∪B)={4},∴A∪B={1,2,3}。‎ 又∵B={1,2},∴{3}⊆A⊆{1,2,3},∁UB={3,4},∴A∩∁UB={3}。‎ 答案:{3}‎ 点评:涉及集合的交、并、补运算,一般比较简单,但需要针对已知集合中元素的特点逐一运算。如果元素是整数,可采用列举法表示,进而确定目标集合的元素,这类问题用韦恩图表示较为简洁;如果集合中的元素是用不等式描述的,借助数轴探求集合间的关系更方便。‎ 例题1 已知全集,A={1,},是否存在实数,使得且?若存在,求出,并写出,若不存在,请说明理由。 ‎ 思路分析:假设存在,根据且可以列出方程求解。‎ 答案:法一:∵,∴=0,解得,‎ 当时,,不符合集合中元素的互异性;‎ 当时,,此时={0};‎ 当时,,此时={0};‎ ‎∴存在这样的实数x,是或,={0}。‎ 法二:由于集合S中共有三个元素,而A中有两个元素,根据题意,也可用如下方法求解:∵,∴,∴=0且,∴或,‎ ‎∴={0}。‎ 例题2 已知集合,则实数的取值集合为________。‎ 思路分析:因为,所以,所以或。‎ 若,则,满足。‎ 若,解得或。若,则,满足。若,则不符合集合中元素的互异性,显然不成立。‎ 综上,或,所以实数的取值集合为{0,2}。 ‎ 答案:{0,2}‎ ‎【重要提示】‎ ‎1. 求集合的交、并、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件。‎ ‎2. 集合中的创新问题多数是在新定义下进行命题,可能是关于新定义的集合运算,也可能是关于新定义的集合确定。解决这类题的关键是正确理解题意,实现等价转化。‎ ‎【重要结论】‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)。‎ ‎(答题时间:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1. 下列关系中正确的个数为(  )‎ ‎①0∈{0},②{0},③,④= ‎ A. 1个    B. 2个     C. 3个    D. 4个 ‎2. 已知 则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 设全集,则下图中阴影部分表示的集合为 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎*4. 满足条件M∪{1}={1,2,3}的集合M的个数是( )‎ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 ‎*5. 已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+10,b>0},当A∩B只有一个元素时,a,b的关系式是_________。‎ ‎**9. 定义集合运算:。设集合B={2,3},则集合AB的所有元素之和为        。‎ 三、解答题 ‎10. 已知集合A={x|mx2-2x+3=0,m∈R}。‎ ‎(1)若A是空集,求m的取值范围; ‎(2)若A中只有一个元素,求m的值; ‎(3)若A中至多只有一个元素,求m的取值范围。‎ ‎*11. 已知集合。‎ ‎(1)若,求a的取值范围;‎ ‎(2)若,求a的取值范围。‎ ‎**12. 设A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=,证明此结论。‎ ‎1. B 解析:①②正确;③中集合是数0和1的集合,而集合则是点的集合;④中当时,与代表不同的点。‎ ‎2. A 解析:∵,,∴。‎ ‎3. C 解析:图中阴影部分表示的集合是,而,故。‎ ‎*4. C 解析:因为M{1,2,3},因此M必为集合{1,2,3}的子集,同时含元素2与3,所以M={2,3}或M={1,2,3}。‎ ‎*5. D 解析:∵A∪B=A,∴BA,又B≠,∴,解得2<m≤4。‎ ‎*6. {1,2,5} 解析:∵A∩B={2},∴log2(a+3)=2。‎ ‎∴a=1.∴b=2。‎ ‎∴A={5,2},B={1,2}.∴A∪B={1,2,5}。‎ ‎**7. 6 解析:符合题意的集合是:,共6个。‎ ‎**8. ab= 解析:由A∩B只有1个交点知,圆x2+y2=1与直线=1相切,则1=,即ab=。 ‎ ‎**9. 18 解析:由及知:‎ 当时,;当时,;当时,。‎ ‎,各元素之和为18。‎ ‎10. 解析:集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集。‎ 解:(1)∵A是空集,∴方程mx2-2x+3=0无解。‎ ‎∴Δ=4-‎12m<0,即m>。‎ ‎(2)∵A中只有一个元素, ‎∴方程mx2-2x+3=0只有一个解。‎ 若m=0,方程为-2x+3=0,只有一解x=; 若m≠0,则Δ=0,即4-‎12m=0,m=。‎ ‎∴m=0或m=。‎ ‎(3)“A中至多只有一个元素”包含“A中只有一个元素”和“A是空集”‎ 两种含义,根据(1)、(2)的结果,得m=0或m≥。‎ ‎*11. 解:(1)因为,所以。‎ ‎①当时,,解得;‎ ‎②当或时,,解得,此时;‎ ‎③当时,是方程的两个根,‎ 则有,解得。‎ 综上所述,实数的取值范围是1或。‎ ‎(2)因为,所以。因为,且集合中至多有两个元素,所以。‎ 由(1)知。‎ ‎**12. 解析:由集合A与集合B中的方程联立构成方程组,用判别式对根的情况进行限制,可得到b、k的范围,又因b、k∈N,进而可得值。‎ 证明:∵(A∪B)∩C=,∴A∩C=且B∩C=。‎ ‎∵, ∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0‎ ‎∵A∩C=,∴Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0,∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解,‎ 其充要条件是16b2-16>0, 即b2>1 ①‎ ‎∵,∴4x2+(2-2k)x+(5-2b)=0。‎ ‎∵B∩C=,∴=(1-k)2-4(5-2b)<0‎ ‎∴k2-2k+8b-19<0, 从而8b<20,即b<2.5 ②‎ 由①②及b∈N,得b=2,代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组,得 ‎∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=。‎
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