【数学】2018届一轮复习北师大版第八章解析几何第五节椭圆教案

【数学】2018届一轮复习北师大版第八章解析几何第五节椭圆教案

第五节　椭圆 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)；‎ ‎2.了解椭圆的简单应用；‎ ‎3.理解数形结合的思想。‎ ‎2016，全国卷Ⅲ，11,5分(椭圆的几何性质)‎ ‎2016，天津卷，19,14分(椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系)‎ ‎2016，浙江卷，9,5分(椭圆的几何性质)‎ ‎2016，江苏卷，10,5分(椭圆的几何性质)‎ ‎2015，全国卷Ⅰ，14,5分(椭圆的几何性质)‎ ‎　　椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中。椭圆的考查频率非常高，而且运算量、思维量都比较大，这是椭圆命题的一个显著特征。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．椭圆的概念 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F‎1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。‎ 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝‎2a，|F‎1F2|＝‎2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。‎ ‎(1)若a＞c，则集合P为椭圆；‎ ‎(2)若a＝c，则集合P为线段；‎ ‎(3)若a＜c，则集合P为空集。‎ ‎2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0)‎ ＋＝1(a＞b＞0)‎ 图形 性质 范围 ‎－a≤x≤a ‎－b≤y≤b ‎－b≤x≤b ‎－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ B1(0，－b)，B2(0，b)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ B1(－b,0)，B2(b,0)‎ 轴 长轴A‎1A2的长为‎2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 ‎|F‎1F2|＝‎‎2c 离心率 e＝∈(0,1)‎ a，b，c 的关系 c2＝a2－b2‎ ‎3．椭圆中常用的4个结论 ‎(1)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。‎ ‎(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。‎ ‎(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为‎4a。‎ ‎(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。‎ 微点提醒 ‎1．在求椭圆的离心率时，椭圆中a，b，c之间的关系容易忽略。‎ ‎2．椭圆的离心率的大小决定椭圆的扁平程度：离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆。‎ ‎3．方程Ax2＋By2＝1(AB≠0)表示椭圆的充要条件是A>0，B>0且A≠B。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(选修2－1P40例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P 点的轨迹方程是(　　)‎ A.＋＝1　　　　　 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1‎ ‎【解析】　设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F‎1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎2．(选修2－1P‎49A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(　　)‎ A. B. C．2－ D.－1‎ ‎【解析】　解法一：设椭圆方程为＋＝1，依题意，显然有|PF2|＝|F‎1F2|，则＝‎2c，即＝‎2c，即e2＋2e－1＝0，解得e＝－1。故选D。‎ 解法二：因为△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F‎1F2|＝‎2c，|PF1|＝‎2c。因为|PF1|＋|PF2|＝‎2a，所以‎2c＋‎2c＝‎2a，所以e＝＝＝－1。故选D。‎ ‎【答案】　D 二、双基查验 ‎1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)‎ A．4　　　　　　　　　　　 B．8‎ C．6 D．18‎ ‎【解析】　依定义知|PF1|＋|PF2|＝‎2a＝6。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎2．方程＋＝1表示椭圆，则m的范围是(　　)‎ A．(－3,5) B．(－5,3)‎ C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)‎ ‎【解析】　由方程表示椭圆知 解得－3＜m＜5且m≠1。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎3．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)‎ A．－21 B．21‎ C．－或21 D.或21‎ ‎【解析】　若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，‎ 由＝，即＝，得k＝－；‎ 若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，‎ 由＝，即＝，解得k＝21。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎4．已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为________。‎ ‎【解析】　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，‎ 所以解得 故椭圆的标准方程为＋＝1。‎ ‎【答案】　＋＝1‎ ‎5．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF‎1F2＝30°，则椭圆的离心率为__________。‎ ‎【解析】　在三角形PF‎1F2中，由正弦定理得 sin∠PF‎2F1＝1，即∠PF‎2F1＝，‎ 设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F‎2F1|＝，‎ 所以离心率e＝＝。‎ ‎【答案】　 第一课时　椭圆的概念及其性质 微考点　大课堂 考点一 ‎ 椭圆的定义及应用 ‎【典例1】　(1)(2016·北京东城期末)过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　　 B．4‎ C．8 D．2 ‎(2)F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF‎1F2＝45°，则△AF‎1F2的面积为(　　)‎ A．7 B. C. D. ‎【解析】　(1)因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1。根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝‎4a＝4。故选B。‎ ‎(2)由题意得a＝3，b＝，c＝，∴|F‎1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6。‎ ‎∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F‎1F2|2－2|AF1|·|F‎1F2|cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8。∴|AF1|＝。‎ ‎∴S＝××2×＝。故选C。‎ ‎【答案】　(1)B　(2)C 反思归纳　1.椭圆定义的应用范围 ‎(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆。‎ ‎(2)解决与焦点有关的距离问题。‎ ‎2．焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等。‎ ‎【变式训练】　(1)已知A，B是圆2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________。‎ ‎(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点。求|PA|＋|PF|的最大值和最小值。‎ ‎【解析】　(1)如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2。所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a ‎＝1，c＝，b2＝。所以动点P的轨迹方程为x2＋y2＝1。‎ ‎(2)如图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6。‎ ‎∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6。‎ 利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，‎ ‎∴|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－。‎ 故|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－。‎ ‎【答案】　(1)x2＋y2＝1‎ ‎(2)最大值6＋，最小值6－ 考点二 ‎ 椭圆的标准方程及其应用 ‎【典例2】　(1)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　)‎ A.＋y2＝1‎ B.＋＝1‎ C.＋y2＝1或＋＝1‎ D．以上答案都不对 ‎(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(00，B>0，A≠B)。‎ ‎【变式训练】　(1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋y2＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为_________________________________________________________。‎ ‎【解析】　(1)因为△AF1B的周长为4，所以‎4a＝4，所以a＝，因为离心率为，所以c＝1，所以b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1。故选A。‎ ‎(2)椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4。由椭圆的定义知，‎2a＝＋，解得a＝2。‎ 由c2＝a2－b2可得b2＝4。所以所求椭圆的标准方程为＋＝1。‎ ‎【答案】　(1)A　(2)＋＝1‎ 考点三 ‎ 椭圆的简单几何性质……多维探究 角度一：与椭圆有关的最值或范围问题 ‎【典例3】　已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．2 ‎【解析】　设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，‎ ＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，‎ ‎∴|＋|＝ ‎＝2 ‎＝2。‎ ‎∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，‎ ‎∴当y＝1时，|＋|取最小值2。故选C。‎ ‎【答案】　C 角度二：求离心率的值或范围 ‎【典例4】　(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点。P为C上一点，且PF⊥x轴。过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2015·福建高考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点。若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　(1)设E(0，m)，则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知M，和B(a,0)三点共线，则＝，化简得a＝‎3c，则C的离心率e＝＝。故选A。‎ ‎(2)不妨设左焦点为F2，连接AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分，所以四边形AFBF2为平行四边形，所以|AF|＋|BF|＝|BF2|＋|BF|＝‎2a＝4，所以a＝2，设M(0，b)，所以d＝b≥⇒b≥1，所以e＝＝ ≤ ＝，又e∈‎ ‎(0,1)，所以e∈。故选A。‎ ‎【答案】　(1)A　(2)A 反思归纳　1.求椭圆离心率的方法 ‎(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解。‎ ‎(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解。‎ ‎2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系。‎ 微考场　新提升 ‎1．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的(　　)‎ A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 解析　c2＝25－k－(9－k)＝16，所以c＝4，所以两个曲线的焦距相等。故选D。‎ 答案　D ‎2．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的面积为(　　)‎ A. B. C. D．21‎ 解析　依题意得|AB|＝＝，|F‎1F2|＝2＝6，因此△ABF2的面积等于|AB|×|F‎1F2|＝××6＝。故选A。‎ 答案　A ‎3．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　通性通法：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c ‎>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，解得b2＝‎3c2，又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，所以e＝(e＝－舍去)。故选B。‎ 光速解法：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c，0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，所以＝×2b，所以e＝＝。故选B。‎ 答案　B ‎4．(2016·安徽皖西七校联考)已知圆M：(x＋)2＋y2＝36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足＝2，·＝0，则点G的轨迹方程是__________。‎ 解析　由＝2，·＝0知，GQ是线段NP的垂直平分线，|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝6。点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，由‎2a＝6，得a＝3。又c＝，∴b2＝4。点G的轨迹方程为＋＝1。‎ 答案　＋＝1‎ ‎5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率为________。‎ 解析　由题意知∠F1MF2＝，|MF2|＝c，|F‎1M|＝‎2a－c，则c2＋(‎2a－c)2＝‎4c2，e2＋2e－2＝0，解得e＝－1。‎ 答案　－1‎ 第二课时　椭圆的综合问题 微考点　大课堂 考点一 ‎ 直线与椭圆的相交弦长问题 ‎【典例1】　椭圆两顶点A(－1,0)，B(1,0)，过焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点。当|CD|＝时，求l的方程。‎ ‎【解析】　由题意b＝1，c＝1。‎ ‎∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2。‎ ‎∴椭圆方程为＋x2＝1。‎ 若直线l斜率不存在时，|CD|＝2，不合题意。‎ 若直线l斜率存在时，设l方程y＝kx＋1，‎ 联立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0。‎ Δ＝8(k2＋1)>0恒成立。‎ 设C(x1，y1)，D(x2，y2)。‎ ‎∴x1＋x2＝－，x1x2＝－。‎ ‎∴|CD|＝|x1－x2|‎ ‎＝ ‎＝。‎ 即＝，‎ 解得k2＝2。∴k＝±。‎ ‎∴直线l方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0。‎ ‎【答案】　x－y＋1＝0或x＋y－1＝0‎ 反思归纳　1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程(组)，解决相关问题，涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单。‎ ‎2．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则|AB|＝ ‎＝(k为直线斜率)。‎ ‎【变式训练】　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点。‎ ‎(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长；‎ ‎(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式。‎ ‎【解析】　(1)由已知得b＝4，且＝，即＝。‎ ‎∴＝，解得a2＝20。‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1。‎ 则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立。‎ 消去y，得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝。‎ ‎∴所求弦长|MN|＝|x2－x1|＝。‎ ‎(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知＝2。又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)。故得x0＝3，y0＝－2，即得Q的坐标为(3，－2)。‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且＋＝1，＋＝1。‎ 以上两式相减，得 ＋＝0。‎ ‎∴kMN＝＝－·＝－×＝。‎ 故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，‎ 即6x－5y－28＝0。‎ ‎【答案】　(1)　(2)6x－5y－28＝0‎ 考点二 ‎ 中点弦问题 ‎【典例2】　已知椭圆＋y2＝1。‎ ‎(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；‎ ‎(2)过N(1,2)的直线l与椭圆相交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程；‎ ‎(3)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程。‎ ‎【解析】　设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M(x0，y0)，则有＋y＝1，＋y＝1。‎ 两式作差，得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0。‎ ‎∵x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝kAB，‎ 代入后求得kAB＝－。①‎ ‎(1)设弦中点为M(x，y)，由①式，2＝－，∴x＋4y＝0。又点M(x，y)在椭圆内部。‎ 故所求的轨迹方程为x＋4y＝0。‎ ‎(2)不妨设l交椭圆于A，B，弦中点为M(x，y)，‎ 由①式kl＝kAB＝－。‎ 又∵kl＝kMN＝，∴－＝。‎ 整理，得x2＋2y2－x－4y＝00)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA。‎ ‎(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；‎ ‎(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围。‎ ‎【解析】　(1)当t＝4时，椭圆E的方程为＋＝1，A点坐标为(－2,0)，设直线AM的方程为y＝k(x＋2)。由|AM|＝|AN|可得M，N关于x轴对称，由MA⊥NA，可得直线AM的斜率为1，直线AM方程为y＝x＋2，代入椭圆＋＝1得7x2＋16x＋4＝0，解得x＝－2或－，M，N。于是△AMN的面积为××＝。‎ ‎(2)由题意知A(－，0)。设直线AM的方程为y＝k(x＋)，‎ 由得(3＋tk2)x2＋2tk2x＋t2k2－3t＝0，解得x＝－或x＝－，‎ 所以|AM|＝＝·。‎ 同理可得|AN|＝·。因为2|AM|＝|AN|，所以2··＝·‎ ，整理得t＝。‎ 因为椭圆E的焦点在x轴上，所以t>3，即>3，整理得<0，‎ 解得3。‎ ‎【变式训练】　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F‎1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点。‎ ‎(1)若△AF‎1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)①若k＝，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；‎ ‎②在①的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，若直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围。‎ ‎【解析】　(1)|F‎1F2|＝6，即‎2c＝6，c＝3，又|AF1|＋|AF2|＝‎2a，而|AF1|＋|AF2|＋|F‎1F2|＝16，所以‎2a＝10，a＝5，b＝4，故椭圆的标准方程为＋＝1。‎ ‎(2)①若A，B，F1，F2四点共圆，则AB，F‎1F2互相平分，必定有AF2⊥BF2。‎ 将y＝x与＋＝1联立整理，可得(a2＋8b2)x2－‎8a2b2＝0，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则x＝，＝(x1－c，y1)，＝(－x1－c，－y1)，·＝c2－x－y＝c2－x＝c2－＝0，即a‎2c2＋8b‎2c2＝‎9a2b2，而b2＝a2－c2,8e4－18e2＋9＝0，解得e2＝(舍去)，或e2＝，因此e＝。‎ ‎②由e＝和c＝3，可得a＝2，b＝，椭圆的方程为＋＝1。‎ 由A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝，‎ 所以k1k2＝。‎ 又y＝3，y＝3，‎ 所以＝－，‎ 即k1k2＝－，k2＝－。‎ 由－2b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)在(　　)‎ A．圆x2＋y2＝2内 B．圆x2＋y2＝2上 C．圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情形都有可能 解析　由已知得e＝＝，c＝，x1＋x2＝－，x1x2＝－，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝＝<＝2，因此点P(x1，x2)必在圆x2＋y2＝2内。故选A。‎ 答案　A ‎3．直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________。‎ 解析　由点差法可求出k1＝－·，‎ 所以k1·＝－，即k1k2＝－。‎ 答案　－ ‎4．(2016·天津七校联考)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为。‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标。‎ 解析　(1)将点(0,4)代入C的方程得＝1，‎ 所以b＝4。‎ 又e＝＝，得＝，即1－＝，‎ 所以a＝5。‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1。‎ ‎(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，‎ 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由消去y，得＋＝1，‎ 即x2－3x－8＝0。‎ 所以AB的中点坐标x0＝＝，y0＝(x0－3)＝－，‎ 即所截线段的中点坐标为。‎ 答案　(1)＋＝1　(2)