【数学】2019届一轮复习北师大版4-3 三角函数的图象与性质学案
§4.3 三角函数的图象与性质
最新考纲
考情考向分析
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.
以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
x≠kπ＋}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
知识拓展
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限上是增函数．( × )
(2)由sin＝sin知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．( × )
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( × )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × )
(5)y＝sin|x|是偶函数．( √ )
题组二 教材改编
2．[P35例2]函数f(x)＝cos的最小正周期是________．
答案 π
3．[P46A组T2]y＝3sin在区间上的值域是________．
答案
解析 当x∈时，2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即y＝3sin的值域为.
4．[P45T3]y＝tan 2x的定义域是________．
答案
解析 由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
∴y＝tan 2x的定义域是.
题组三 易错自纠
5．函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
答案 C
解析 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x－＝kπ＋，k∈Z，
∴x＝kπ＋，k∈Z.
取k＝－1，则x＝－.
6．函数y＝－tan的单调递减区间为__________．
答案 (k∈Z)
解析 因为y＝tan x的单调递增区间为(k∈Z)，
所以由－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z，
得＋
cos 23°>cos 97°
解析 sin 68°＝cos 22°，
又y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，
∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.
题型一 三角函数的定义域和值域
1．函数f(x)＝－2tan的定义域是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，故选D.
2．函数y＝的定义域为________．
答案 (k∈Z)
解析 方法一 要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．所以定义域为
.
3．函数y＝－2sin x－1，x∈的值域是________．
答案 (－2,1]
解析 当x∈时，－1≤sin x<，
所以函数y＝－2sin x－1，x∈的值域是(－2,1]．
4．(2018届山东邹平双语学校月考)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
答案 1
解析 f(x)＝sin2x＋cos x－
＝1－cos2x＋cos x－，
令cos x＝t且t∈[0,1]，
则y＝－t2＋t＋＝－2＋1，
当t＝时，ymax＝1，
即f(x)的最大值是1.
思维升华 (1)三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的形式求值域；
③通过换元，转换成二次函数求值域．
题型二 三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调性
典例 (1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 B
解析 由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，
得－＜x＜＋(k∈Z)，
所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为
(k∈Z)，故选B.
(2)(2017·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是____________．
答案
解析 ∵y＝sin x＋cos x＝sin，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，
又x∈，∴单调递增区间为.
命题点2 根据单调性求参数
典例 已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
答案
解析 由＜x＜π，ω＞0，得
＋＜ωx＋＜ωπ＋，
又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.
引申探究
本例中，若已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是______．
答案
解析 函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
则k∈Z，
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，
又由4k－－≤0，k∈Z且2k－＞0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈.
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
跟踪训练 (2017·济南模拟)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于( )
A. B.
C．2 D．3
答案 B
解析 由已知得＝，
∴T＝，∴ω＝＝.
题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
命题点1 三角函数的周期性
典例 (1)(2017·湘西自治州模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx－ωπ)(ω>0)的最小正周期为π，则f等于( )
A. B．－
C. D．－
答案 A
解析 ∵T＝π，∴ω＝＝＝2，
∴f(x)＝sin＝sin 2x，
∴f＝sin ＝.
(2)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足10，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
解析 记f(x)的最小正周期为T.
由题意知≥－＝，
又f＝f＝－f，
且－＝，
可作出示意图如图所示(一种情况)：
∴x1＝×＝，x2＝×＝，
∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π.
答案 π
1．(2017·广州五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数为( )
A．y＝sin xcos x B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
答案 A
解析 y＝sin xcos x＝sin 2x，
周期为π，且是奇函数．
2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B．－ C. D．0
答案 B
解析 由已知x∈，得2x－∈，
所以sin∈，
故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.故选B.
3．函数y＝sin x2的图象是( )
答案 D
解析 函数y＝sin x2为偶函数，排除A，C；又当x＝时函数取得最大值，排除B，故选D.
4．(2017·成都诊断)函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A．3，－1 B．3，－2 C．2，－1 D．2，－2
答案 D
解析 y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，
则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以ymax＝2，ymin＝－2.
5．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(0)＝2sin φ＝，
∴sin φ＝，又|φ|<，∴φ＝，
则f(x)＝2sin，令2x＋＝kπ(k∈Z)，
则x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，
∴是函数f(x)的图象的一个对称中心．
6．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由f＝－2，得
f＝－2sin＝－2sin＝－2，
所以sin＝1.
因为|φ|<π，所以φ＝.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
当k＝0时，－≤x≤，故选C.
7．函数y＝cos的单调递减区间为__________．
答案 (k∈Z)
解析 因为y＝cos＝cos，
所以令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．
8．(2018·福州质检)函数y＝cos2x＋sin x的最小值为____________．
答案
解析 令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈.
∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
∴当t＝－时，ymin＝.
9．已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为________．
答案
解析 由函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，
∴ω＝k＋，又ω∈(1,2)，∴ω＝，
从而得函数f(x)的最小正周期为＝.
10．(2018·珠海模拟)设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
答案 2
解析 |x1－x2|的最小值为函数f(x)的半个周期，
又T＝4，∴|x1－x2|的最小值为2.
11．已知f(x)＝sin.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
解 (1)f(x)＝sin，
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，
得x＝＋，k∈Z.
所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝＋，k∈Z.
(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(3)当x∈时，≤2x＋≤，
所以－1≤sin≤，
所以－≤f(x)≤1，
所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
12. (2017·武汉调研)已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
解 f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b
＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
∴－≤sin≤1.依题意知a≠0，
①当a>0时，∴a＝3－3，b＝5；
②当a<0时，∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
13．(2018·广州质检)已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )
A. B. C．2 D．3
答案 B
解析 ∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.
由已知条件知－≤－或≥，
∴ω≥.∴ω的最小值为.
14．已知关于x的方程2sin＋1－a＝0在区间上存在两个根，则实数a的取值范围是________．
答案 [2,3)
解析 sin＝在上存在两个根，设x＋＝t，则t∈，
∴y＝sin t，t∈的图象与直线y＝有两个交点，∴≤<1，∴2≤a<3.
15．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意实数x有f＝f(－x)恒成立，且f＝1，则实数b的值为( )
A．－1 B．3 C．－1或3 D．－3
答案 C
解析 由f＝f(－x)可知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b关于直线x＝对称，又函数f(x)在对称轴处取得最值，故±2＋b＝1，∴b＝－1或b＝3.
16．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的最小正周期为2，且当x＝时，f(x)的最大值为2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在闭区间上是否存在m，使x＝m是函数f(x)的对称轴？如果存在，求出m；如果不存在，请说明理由．
解 (1)由已知得＝2，∴ω＝π，
∵f(x)的最大值为2，∴A＝2.
又A＝2，且f＝2sin＝2，
∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin.
(2)由πx＋＝kπ＋，得x＝k＋(k∈Z),
即函数f(x)的对称轴为x＝k＋(k∈Z)．
由≤k＋≤，
得≤k≤，又k∈Z，
∴k＝5，此时的对称轴为x＝，
故在闭区间上存在实数m＝，使x＝m是函数f(x)的对称轴．
