高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第1节-基础达标

高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第1节-基础达标

第二章 第一节 一、选择题 1．下列函数中，不满足．．．f(2x)＝2f(x)的是( ) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x [答案] C [解析] 本题考查了代入法求函数解析式． f(x)＝kx 与 f(x)＝k|x|均满足：f(2x)＝2f(x)得：A，B，D 满足条件，故选 C．代入法求函 数解析式是最基本的求解析式的方法． 2．(文)(教材改编题)下列各组函数中是同一函数的是( ) A．y＝|x| x 与 y＝1 B．y＝x x 与 y＝x0 C．y＝|x－1|与 y＝ x－1x>1 1－xx<1 D．y＝|x|＋|x－1|与 y＝2x－1 [答案] B [解析] 当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足 这两个条件的只有 B，A 中第一个函数 x≠0，第二个函数 x∈R，C 中第二函数 x≠1，第一 个函数 x∈R，D 当 x<0 时，第一个函数为 y＝－2x＋1，显然与第二函数不是同一函数． (理)下列四组函数，表示同一函数的是( ) A．f(x)＝logaax，g(x)＝alogax(a>0，a≠1) B．f(x)＝( x)2，g(x)＝3 x3 C．f(x)＝2x－1(x∈R)，g(x)＝2x－1(x∈Z) D．f(x)＝x2－4 x－2 ，g(t)＝t2－4 t－2 [答案] D [解析] 选项 A、B、C 中函数的定义域不同． 3．设函数 f(x)＝ －x，x≤0 x2，x>0 ，若 f(α)＝4，则实数α＝( ) A． －4 或－2 B．－4 或 2 C．－2 或 4 D．－2 或 2 [答案] B [解析] 本题主要考查分段函数求函数值等基础知识． 当α≤0 时，f(α)＝－α＝4，∴α＝－4； 当α>0 时，f(α)＝α2＝4，∴α＝2. 综上可得：α＝－4 或 2，选 B． 4．已知函数 f(x)的定义域为(－1,0)，则函数 f(2x＋1)的定义域为( ) A．(－1,1) B．(－1，－1 2) C．(－1,0) D．(1 2 ，1) [答案] B [解析] 本题考查复合函数定义域的求法． f(x)的定义域为(－1,0) ∴－1<2x＋1<0，∴－19 [答案] C [解析] ∵f(－1)＝f(－2)＝f(－3) －1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c， －1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c， 解得 a＝6， b＝11. ∴f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c， 又∵00， ∴x2＋x－6<0.∴－3g[f(x)]的 x 的值是________． [答案] 2 2 [解析] f [g(1)]＝f(3)＝2. x 1 2 3 f[g(x)] 2 3 1 g[f(x)] 3 1 2 故 f[g(x)]>g[f(x)]的解为 x＝2. 三、解答题 10．已知函数 f(x)＝2x－1，g(x)＝ x2，x≥0 －1，x<0 ，求 f(g(x))和 g(f(x))的解析式． [解析] 当 x≥0 时，g(x)＝x2，f(g(x))＝2x2－1； 当 x<0 时，g(x)＝－1，f(g(x))＝－2－1＝－3； ∴f(g(x))＝ 2x2－1，x≥0， －3，x<0. 又∵当 2x－1≥0，即 x≥1 2 时，g(f(x))＝(2x－1)2； 当 2x－1<0，即 x<1 2 时，g(f(x))＝－1； ∴g(f(x))＝ 2x－12，x≥1 2 ， －1，x<1 2. 一、选择题 1．函数 f(x)＝ x mx＋n (m，n 为常数，且 m≠0)满足 f(1)＝1 2 ，f(x)＝x 有唯一解，则 f(x)＝( ) A． x x＋1 B． x 3x－1 C． 2x 3x＋1 D． 2x 3x－1 [答案] A [解析] 由 f(1)＝1 2 可得 1 m＋n ＝1 2 ，即 m＋n＝2，由 f(x)＝x 有唯一解可得 x(mx＋n－1 mx＋n )＝ 0 有唯一解，得 x＝1－n m ＝0，得 n＝1，综上得 m＝1，n＝1，故 f(x)＝ x x＋1 . 2．(改编题)设 f(x)＝1＋x 1－x ，又记 f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，则 f2015(x)＝ ( ) A．1＋x 1－x B．x－1 x＋1 C．x D．－1 x [答案] B [解析] 由已知条件得到 f2(x)＝f[f1(x)]＝1＋f1 x 1－f1 x ＝ 1＋1＋x 1－x 1－1＋x 1－x ＝－1 x ， f3(x)＝f[f2(x)]＝1＋f2 x 1－f2 x ＝ 1－1 x 1＋1 x ＝x－1 x＋1 ， f4(x)＝f[f3(x)]＝1＋f3 x 1－f3 x ＝ 1＋x－1 x＋1 1－x－1 x＋1 ＝x， f5(x)＝f[f4(x)]＝1＋x 1－x ， 易知 fn(x)是以 4 为周期的函数，而 2 015＝503×4＋3， 所以 f2015(x)＝f3(x)＝x－1 x＋1 . 二、填空题 3．(2014·新课标Ⅰ)设函数 f(x)＝ ex－1，x<1， x 1 3 ，x≥1， 则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是 ________． [答案] x≤8 [解析] 当 x<1 时，ex－1<1，则 ex－1≤2，∴x<1 成立． 当 x≥1 时，x 1 3 ≤2，则 x≤8.∴1≤x≤8. 综上，x≤8. 4．(文)函数 f(x)的定义域为 A，若 x1，x2∈A，且 f(x1)＝f(x2)时总有 x1＝x2，则称 f(x)为 单函数．例如函数 f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题： ①函数 f(x)＝x2(x∈R)是单函数； ②指数函数 f(x)＝2x(x∈R)是单函数； ③若 f(x)为单函数，x1，x2∈A 且 x1≠x2，则 f(x1)≠f(x2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________(写出所有真命题的编号) [答案] ②③④ [解析] 该题为信息考查题，考查学生迁移知识的能力，考查“单函数”的意义． 由 x21＝x22，未必有 x1＝x2，故①不正确；对于 f(x)＝2x，当 f(x1)＝f(x2)时一定有 x1＝x2， 故②正确；当 f(x)为单函数时，有 f(x1)＝f(x2)⇒x1＝x2，则其逆否命题 f(x)为单函数时，x1≠x2 ⇒f(x1)≠f(x2)为真命题，故③正确；当函数在其定义域上单调时，一定有 f(x1)＝f(x2)⇒x1＝x2， 故④正确． (理)函数 f(x)的定义域为 A，若 x1，x2∈A，且 f(x1)＝f(x2)时总有 x1＝x2，则称 f(x)为单函 数．例如，函数 f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题： ①函数 f(x)＝x2(x∈R)是单函数； ②若 f(x)为单函数，x1，x2∈A 且 x1≠x2，则 f(x1)≠f(x2)； ③若 f：A→B 为单函数，则对于任意 b∈B，它至多有一个原像； ④函数 f(x)在某区间上具有单调性，则 f(x)一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案] ②③ [解析] 当 f(x)＝x2 时，不妨设 f(x1)＝f(x2)＝4，有 x1＝2，x2＝－2，此时 x1≠x2，故① 不正确；由 f(x1)＝f(x2)时总有 x1＝x2 可知，当 x1≠x2 时，f(x1)≠f(x2)，故②正确；若 b∈B，b 有两个原像时，不妨设为 a1，a2，可知 a1≠a2，但 f(a1)＝f(a2)，与题中条件矛盾，故③正确； 函数 f(x)在某区间上具有单调性时在整个定义域上不一定单调，因而 f(x)不一定是单函数， 故④不正确．故答案为②③. 三、解答题 5．求下列函数的定义域： (1)y＝ 25－x2＋lgcosx； (2)y＝ log1 2 x2－1； (3)y＝lg 1－1 x . [解析] (1)由 25－x2≥0， cosx>0， 得 －5≤x≤5， 2kπ－π 20，得 x>1 或 x<0， ∴函数的定义域为{x|x>1 或 x<0}． 6．已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和－2，且 f(x)最小值是－1，函数 g(x)与 f(x)的图像 关于原点对称． (1)求 f(x)和 g(x)的解析式； (2)若 h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． [解析] (1)依题意，设 f(x)＝ax(x＋2)＝ax2＋2ax(a>0)． f(x)图像的对称轴是 x＝－1，∴f(－1)＝－1， 即 a－2a＝－1，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋2x. ∵函数 g(x)的图像与 f(x)的图像关于原点对称， ∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x. (2)由(1)得 h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x)＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x. ①当λ＝－1 时，h(x)＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数； ②当λ<－1 时，h(x)图像对称轴是 x＝λ－1 λ＋1 ， 则λ－1 λ＋1 ≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1 时，同理需λ－1 λ＋1 ≤－1， 又λ>－1，解得－1<λ≤0. 综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．