【数学】2018届一轮复习人教A版8-1空间几何体的结构及其三视图和直观图学案

【数学】2018届一轮复习人教A版8-1空间几何体的结构及其三视图和直观图学案

第01节 空间几何体的结构及其三视图和直观图 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 空间几何体的结构及其三视图和直观图 ‎1．了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征。‎ ‎2．理解简单空间图形 (柱、锥、台、球的简易组合) 的含义，了解中心投影的含义，‎ 掌握平行投影的含义。‎ ‎3．理解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体。会用斜二测法画出它们的直观图。‎ ‎2013•浙江文5,20；理10,12,20;‎ ‎2014•浙江文3,20；理3,20;‎ ‎2015•浙江文2,18；理2,13,17； ‎ ‎2016•浙江文9,18；理11,17;‎ ‎2017•浙江3,9,19.‎ ‎1.以考查三视图、几何体的结构特征以及几何体的面积体积计算为主，三视图基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；几何体的结构特征往往在解答题中考查，与平行关系、垂直关系等相结合.‎ ‎2.与立体几何相关的“数学文化”等相结合，考查数学应用的.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 掌握三视图与直观图的相互转换方法是关键；‎ ‎(2)掌握常见几何体的结构特征.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．空间几何体的结构特征 一、多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分 二、旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 一条直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 三、简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．‎ 对点练习：‎ 有下列四个命题：‎ ‎①底面是矩形的平行六面体是长方体；‎ ‎②棱长相等的直四棱柱是正方体；‎ ‎③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；‎ ‎④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎2空间几何体的直观图 简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：‎ ‎(1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．‎ ‎(2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．‎ 对点练习：‎ ‎【2017年福建省数学基地校高三复习试卷】一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎3.空间几何体的三视图 三视图 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．‎ 对点练习：‎ ‎【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 ‎（A）3 （B）2 （C）2 （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 三视图是高考重点考查的内容，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算，解答题往往以常见几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力，期间需要灵活应用几何体的结构特征．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1：空间几何体的结构特征 ‎【1-1】如图几何体中是棱柱的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎【1-2】下列命题中正确的有__________．‎ ‎①有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；‎ ‎②存在一个四个侧面都是直角三角形的四棱锥；‎ ‎③如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形；‎ ‎④圆台的任意两条母线所在直线必相交；‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】①不正确，因为不能保证等腰梯形的各个腰延长后交与一点． ②如右图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面， 那么它的四个侧面都是直角三角形，故②正确；‎ ‎③如图所示的棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面不是矩形；故③错误 ‎④根据圆台的定义和性质可知，命题④正确．‎ 所以答案为②④‎ ‎【领悟技法】‎ 系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．‎ 三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】一个棱柱是正四棱柱的条件是(　　)．‎ A．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直 D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱 ‎【答案】C ‎【解析】　A，B两选项中侧棱与底面不一定垂直，D选项中底面四边形不一定为正方形，故选C.‎ ‎【变式2】【2018届云南省名校月考一】已知长方体的所有顶点在同一个球面上，若球心到过点的三条棱所在直线的距离分别是，则该球的半径等于__________．‎ ‎【答案】‎ 考点2 空间几何体的直观图 ‎【2-1】利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是________(写出所有正确的序号)．‎ ‎①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误．‎ ‎【2-2】在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为‎2 cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO为________，面积为________ cm2.‎ ‎【答案】矩形　8‎ ‎【领悟技法】‎ 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：‎ S直观图＝S原图形，S原图形＝S直观图．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　)‎ A．　　　　　　　B. C. 　 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长度均为1，得下底长为，所以原图上、下底分别为1, ，高为2的直角梯形．‎ 所以面积S＝(＋1)×2＝.故选A.‎ ‎　　‎ ‎【变式2】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝‎6 cm，O′C′＝‎2 cm，则原图形是(　　) ‎ A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 ‎【答案】C ‎【解析】将直观图还原得▱OABC，如图，‎ ‎∵O′D′＝O′C′＝2 (cm)，‎ OD＝2O′D′＝4 (cm)，‎ C′D′＝O′C′＝2 (cm)，∴CD＝2 (cm)，‎ OC＝＝＝6 (cm)，‎ OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC，‎ 故原图形为菱形．‎ 综合点评：解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.‎ 考点3　空间几何体的三视图 ‎【3-1】【2018届河南省新乡市第一中学高三8月月考】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）‎ ‎【答案】B ‎【3-2】【江西卷】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ ‎【答案】　(1)D　(2)D ‎【解析】 (1)球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥OABC,当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.‎ ‎(2)如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.‎ ‎【3-3】【2018届广东省广州市海珠区高三综合测试一】如图，点分别是正方体的棱的中点，用过点和点的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（ ）‎ A. ①③④ B. ②④③ C. ①②③ D. ②③④‎ ‎【答案】D ‎【领悟技法】‎ 三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. ‎ 简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．‎ 在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(　　)‎ ‎【答案】C ‎【变式2】如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是(　　)．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【答案】D ‎【变式3】【武汉市部分学校2016 届高三调研】）一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为（ ）‎ ‎①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.‎ 中的 A.①② B.②③ ‎ C.③④ D.①④ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立.‎ 综合点评：三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．‎ ‎①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．‎ ‎【错解】①②⑤‎ ‎【错因】忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③.‎ ‎【正解】①三棱锥的主视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其主视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的主视图是三角形；④‎ 对于四棱柱，不论怎样放置，其主视图都不可能是三角形；‎ ‎⑤当圆锥的底面水平放置时，其主视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其主视图也不可能是三角形．‎ 故正确答案为①②③⑤.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. ‎ 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.‎ 在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：‎ ‎【典例】【2017届河北省石家庄市二模】如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形为矩形，若沿将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A