新教材数学人教B版必修第二册课件：6-3-5　平面向量数量积的坐标表示

新教材数学人教B版必修第二册课件：6-3-5　平面向量数量积的坐标表示

精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 第六章　平面向量及其应用 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 第 一 篇 教 材 过 关 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 “我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞飞过绝望,不去想他们拥有美丽的太 阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞给我 希望……”,如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节 讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示. 情景导学 精读教材·必备知识 问题:数量积有什么作用呢? 答案　求线段的长度,判断垂直关系,求夹角. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ. 教材研读 坐标表示 数量积 a·b=① 垂直 a⊥b⇔② 模 |a|2= + 或|a|=  设A(x1,y1),B(x2,y2),则|  |=③  2 1x 2 1y 2 2 1 1x y AB  夹角 cos θ=  = | || | a b a b  1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 x x y y x y x y    x1x2+y1y2 x1x2+y1y2=0 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 思考1:若O为坐标原点,点A的坐标为(x,y),则  的模表示什么?OA  思考2:若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b与a⊥b的坐标表示的区别是什么? 提示　易知  =(x,y),则|  |=  ,即点A到原点的距离.OA  OA  2 2x y 提示 a∥b⇔x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0,异名积的差相等,即纵横交错积相等;a⊥b ⇔ x1x2+y1y2=0,同名积的和为0,即横横纵纵积相反. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究一　数量积的坐标运算 互动探究·关键能力 例1　已知a=(2,-1),b=(3,-2),则(3a-b)·(a-2b)=　　　　　　 . 解析　解法一:∵a·b=2×3+(-1)×(-2)=8,a2=22+(-1)2=5,b2=32+(-2)2=13, ∴(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15. 解法二:∵a=(2,-1),b=(3,-2), ∴3a-b=(6,-3)-(3,-2)=(3,-1), a-2b=(2,-1)-(6,-4)=(-4,3), ∴(3a-b)·(a-2b)=3×(-4)+(-1)×3=-15. -15 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 变式训练 (变条件,变问法)若存在向量c,满足a·c=2,b·c=5,则向量c=　　　 .(-1,-4) 解析　设c=(x,y),因为a·c=2,b·c=5, 所以  解得  所以c=(-1,-4). 2 - 2, 3 -2 5, x y x y    -1, -4, x y    精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 思维突破 向量数量积坐标运算的途径 进行数量积的运算,要牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途 径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运 算律将原式展开,再依据已知条件计算. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 1-1　向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=  (　　) A.-1　 B.0　 C.1　 D.2 解析　∵a=(1,-1),b=(-1,2), ∴2a+b=(1,0),∴(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1. C 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 1-2　已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10. (1)求向量a的坐标; (2)若c=(2,-1),求(b·c)·a. 解析　(1)因为a与b同向,又b(1,2),所以设a=λb,则a=(λ,2λ).又因为a·b=10,所以1 ×λ+2×2λ=10,解得λ=2>0,又λ=2符合a与b同向,∴a=(2,4). (2)∵b·c=1×2+2×(-1)=0,∴(b·c)·a=0·(2,4)=0. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究二　平面向量的模与垂直问题 例2　(1)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上 的动点,则|  +3  |的最小值为　　　 . (2)已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,求|  |与点D的坐 标. PA  PB  AD  5 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　(1)以直线DA,DC分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示.   则A(2,0),D(0,0),设CD=a,则B(1,a),C(0,a), 设P(0,b)(0≤b≤a),则  =(2,-b),  =(1,a-b), 所以  +3  =(5,3a-4b), PA  PB  PA  PB  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 所以|  +3  |=  ≥5, 所以|  +3  |的最小值为5. (2)设点D的坐标为(x,y). ∵A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1), ∴  =(x-2,y+1),  =(-6,-3),  =(x-3,y-2). ∵D在直线BC上,∴  与  共线, ∴存在实数λ,使  =λ  , 即(x-3,y-2)=λ(-6,-3), PA  PB  225 (3 -4 )a b PA  PB  AD  BC  BD  BD  BC  BD  BC  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∴  ∴x-3=2(y-2),即x-2y+1=0.① 又∵AD⊥BC,∴  ·  =0, ∴(x-2,y+1)·(-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0, ∴2x+y-3=0.② 由①②可得  -3 -6 , -2 -3 , x λ y λ    AD  BC  1, 1, x y    ∴点D的坐标为(1,1),∴  =(-1,2), ∴|  |=  =  . AD  AD  2 2(-1) 2 5 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 思维突破 1.求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示:用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的运算. (2)坐标表示:若a=(x,y),则|a|2=a2=x2+y2,于是有|a|=  .2 2x y 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2.利用向量解决垂直问题的步骤 (1)建立平面直角坐标系,将相关的向量用坐标表示出来. (2)找到解决问题所要用到的垂直关系的向量. (3)利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式,解出参数值. (4)还原要解决的几何问题. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 2-1　已知向量a=(1,x),b=(1,x-1),若(a-2b)⊥a,则|a-2b|=　　　 . 解析　∵a-2b=(-1,2-x),且(a-2b)⊥a, ∴(a-2b)·a=-1+x(2-x)=-x2+2x-1=0,∴x=1, ∴a-2b=(-1,1), ∴|a-2b|=  . 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2-2　已知三点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　(1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), ∴  =(1,1),  =(-3,3), 则  ·  =1×(-3)+1×3=0, ∴  ⊥  ,即AB⊥AD. (2)∵  ⊥  ,四边形ABCD为矩形, ∴  =  . 设点C的坐标为(x, y),则  =(x+1,y-4),从而有  解得  AB  AD  AB  AD  AB  AD  AB  AD  AB  DC  DC  1 1, -4 1, x y     0, 5, x y    精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∴点C的坐标为(0,5),∴  =(-2,4), ∴|  |=  =2  , ∴矩形ABCD的对角线的长度为2  . AC  AC  2 2(-2) 4 5 5 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究三　向量的夹角问题 例3 (易错题)已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值 范围是  (　　) A.(-2,+∞)　 B.  ∪  C.(-∞,-2)　 D.(-2,2) 1-2, 2       1 , 2      B 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　当a与b共线时,2k-1=0, ∴k= , 此时a与b方向相同,夹角为0°, 所以要使a与b的夹角为锐角, 则有a·b>0且a,b不同向. 由a·b=2+k>0,得k>-2,且k≠ , 即实数k的取值范围是 1 2 1 2   ∪  .1-2, 2       1 , 2      精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 变式训练 1.(变条件)将本例中的条件“a=(2,1)”改为“a=(-2,1)”,“锐角”改为“钝 角”,求实数k的取值范围. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　当a与b共线时,-2k-1=0, ∴k=- , 此时a与b方向相反,夹角为180°,所以要使a与b的夹角为钝角,则有a·b<0, 且a与b不反向.由a·b=-2+k<0,得k<2. 由a与b不反向得k≠- , 所以k的取值范围是   ∪  . 1 2 1 2 1- ,- 2       1- ,2 2       精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2.(变条件)将本例中的条件“a与b的夹角为锐角”改为“ (a+b)⊥(a-b)”,求实 数k的值. 解析　∵a=(2,1),b=(1,k), ∴(a+b)=(3,1+k),a-b=(1,1-k). ∵(a+b)⊥(a-b), ∴(a+b)·(a-b)=(3,1+k)·(1,1-k)=0, ∴3+(1-k2)=0, ∴k=2或k=-2. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 易错点拨 常因数量积的正负与向量夹角关系不清,而造成过程性失分. 利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤 (1)求向量的数量积:利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模:若a=(x,y),则用|a|=  计算两向量的模. (3)求夹角的余弦值:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则利用公式cos θ=   可求夹角的余弦值. (4)求角:利用向量夹角的范围及cos θ,求θ的值. 2 2x y 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 x x y y x y x y    精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 3-1　在平面直角坐标系中,O为坐标原点,  =  ,若  绕点O逆时针旋转 60°得到向量  ,则  =  (　　) A.(0,1)　 B.(1,0) C.  　 D.  OA  3 1, 2 2       OA  OB  OB  3 1,- 2 2       1 3,- 2 2       A 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　∵在平面直角坐标系中,O为坐标原点,  =  , ∴sin∠AOx= ,cos∠AOx= ,∴∠AOx=30°,即  和x轴的夹角为30°. 若  绕点O逆时针旋转60°得到向量  , 则∠BOx=30°+60°=90°. 设  =(0,b),∴  ·  =1×1×cos 60°=0+ b, ∴b=1,∴  = (0,1). OA  3 1, 2 2       1 2 3 2 OA  OA  OB  OB  OA  OB  1 2 OB  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 1.已知向量a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b,则由x的值构成的集合是  (　　) A.{2,3}　 B.{-1,6}　 C.{2}　 D.{6} 课堂检测 评价检测·素养提升 解析　∵a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b, ∴a·b=2(x-5)+3x=0, 解得x=2, 故由x的值构成的集合是{2}. C 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2.(2019课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos=　　 　 . 解析　由题意知cos=  =  =- .| | | | a b a b   2 2 2 2 2 (-8) 2 6 2 2 (-8) 6       2 10 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 3.(2020课标全国Ⅰ理,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=　 　 . 解析　由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即a2+b2+2a·b=1,而|a|=|b|=1,故a·b=- ,|a-b|=  =   =  =  . 1 2 2| - |a b 2 2a b -2a b 1 1 1  3 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 4.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=　　 　 . 解析　由题知,a+c=(3,3m),∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)·b=0,即3(m+1)+3m=0, 解得m=- ,∴a=(1,-1),∴|a|=  . 1 2 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 5.若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求: (1)向量a的模; (2)与a平行的单位向量的坐标; (3)与a垂直的单位向量的坐标. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　(1)∵a=  =(2,1)-(-2,4)=(4,-3), ∴|a|=  =5. (2)与a平行的单位向量是± =± (4,-3), 即  或  . (3)设与a垂直的单位向量为e=(m,n), 由(1)知,a·e=4m-3n=0, ∴ = ,① AB  2 24 (-3) | | a a 1 5 4 3,- 5 5       4 3- , 5 5       m n 3 4 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 又∵|e|=1,∴m2+n2=1,② 由①②解得  或  ∴e=  或e=  . 3 , 5 4 5 m n       3- , 5 4- , 5 m n       3 4, 5 5       3 4- ,- 5 5       精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 数学运算——利用数形结合思想解决几何问题 如图所示,在矩形ABCD中,AB=  ,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若  ·   =  ,则  ·  的值是　　　 .   2 AB  AF  2 AE  BF  素养演练 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立如图所示的 平面直角坐标系.   则B(  ,0),D(0,2),C(  ,2),E(  ,1). 可设F(x,2),因为  ·  =(  ,0)·(x,2)=  x=  , 2 2 2 AB  AF  2 2 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 所以x=1,所以F(1,2),所以  ·  =(  ,1)·(1-  ,2)=  . 素养探究:对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,根据图形的特征建立 坐标系,并写出相应点的坐标即可求解,过程中体现了数学运算的核心素养. AE  BF  2 2 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 针对训练 　已知  ⊥  ,|  |= (t>0),|  |=t,若点P是△ABC所在平面内的一点,且  =   +  ,则  ·  的最大值等于  (　　) A.13　 B.15　 C.19　 D.21 AB  AC  AB  1 t AC  AP  | | AB AB   4 | | AC AC   PB  PC  A 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,   则B  (t>0),C(0,t),∴  =  ,  =(0,t), ∴  =  +  =t  + (0,t)=(1,4),∴P(1,4), 1,0 t       AB  1,0 t       AC  AP  | | AB AB   4 | | AC AC   1,0 t       4 t 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 则  ·  =  ·(-1,t-4)=17-  ≤17-2  =13, 当且仅当t= 时,取“=”.故  ·  的最大值为13.故选A. PB  PC  1-1,-4 t       1 4t t      1 4t t  1 2 PB  PC 