2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6

2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6

6 . 2 . 3 　 向量的数乘运算 课标阐释 思维脉络 1 . 理解向量数乘的定义及几何意义 . ( 数学抽象、直观想象 ) 2 . 掌握向量数乘的运算律 , 能够用已知向量表示未知向量 . ( 逻辑推理、数学运算 ) 3 . 掌握共线向量定理 , 会判断或证明两个向量共线 . ( 逻辑推理 ) 激趣诱思 知识点拨 夏季的雷雨天 , 我们往往先看到闪电 , 后听到雷声 , 雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差 ? 这说明声速与光速的大小不同 , 光速是声速的 88 万倍 . 若设光速为 v 1 , 声速为 v 2 , 将向量类比于数 , 则有 v 1 = 880 000 v 2 . 对于 880 000 v 2 , 我们规定是一个向量 , 其方向与 v 2 相同 , 其长度为 v 2 长度的 880 000 倍 . 这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘 . 那么向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢 ? 激趣诱思 知识点拨 知识点一、向量的数乘 运算 定义 一般地 , 我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个 向量 , 这种运算叫做向量的数乘 , 记作 λ a 长度 | λ a|= | λ ||a| 方向 λ >0 λ a 的方向与 a 的方向 相同 λ <0 λ a 的方向与 a 的方向 相反 规定 当 λ =0 或 a=0 时 , λ a=0 名师点析 (1) λ a 的几何意义就是把向量 a 沿着与 a 相同 ( λ > 0) 或相反 ( λ < 0) 的方向伸长 ( | λ |> 1) 或缩短 ( | λ |< 1) 到原来的 | λ | 倍或 | λ |. (2) 要注意实数与向量可以求积 , 但是不能进行加减运算 , 如 :2 + a ,1 - 0 无意义 . 激趣诱思 知识点拨 微 练习 激趣诱思 知识点拨 知识点二、数乘向量的运算律 1 . 数乘向量的运算律 (1) λ ( μ a ) = ( λμ ) a ; (2)( λ + μ ) a = λ a + μ a ; (3) λ ( a + b ) = λ a + λ b . 特别地 , 有 ( - λ ) a = - ( λ a ) = λ ( - a ) ; λ ( a - b ) = λ a - λ b . 2 . 向量的 加 、 减 、 数乘 运算统称为向量的线性运算 . 向量线性运算的结果仍是向量 . 对于任意向量 a , b , 以及任意实数 λ , μ 1 , μ 2 , 恒有 λ ( μ 1 a ± μ 2 b ) = λμ 1 a ± λμ 2 b . 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知向量 a , 请通过作图判断以下结论是否成立 . (1)3(2 a ) = 6 a ; 　　　　　　 (2)(2 + 3) a = 2 a + 3 a ; (3)2( a + b ) = 2 a + 2 b . 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 知识点三、共线向量定理 1 . 向量 a ( a ≠ 0 ) 与 b 共线的充要条件是 : 存在唯一一个实数 λ , 使 b = λ a . 2 . 要证明向量 a ( a ≠ 0 ), b 共线 , 只需证明存在实数 λ , 使得 b = λ a 即可 . 名师 点析 该定理中 a ≠ 0 的原因 (1) 若 a=b = 0 , 则实数 λ 存在 , 但 λ 并不唯一 , 此时定理不成立 . (2) 若 b ≠ 0 , a = 0 , 则不存在实数 λ , 使 b = λ a , 此时定理也不成立 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 若向量 e 1 , e 2 不共线 , 则下列各组中 , 向量 a , b 共线的有 　　　　　　　　 . ( 填序号 )  ① a= 2 e 1 , b=- 2 e 1 ; ② a=e 1 -e 2 , b=- 2 e 1 + 2 e 2 ; ④ a=e 1 +e 2 , b= 2 e 1 - 2 e 2 . 解析 : ① 中 , a =- b , 所以 a , b 共线 ; ② 中 , b =- 2 a , 所以 a , b 共线 ; ③ 中 , a = 4 b , 所以 a , b 共线 ; ④ 中 , 不存在 λ ∈ R , 使 a = λ b , 所以 a , b 不共线 . 答案 : ①②③ 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 向量的线性运算 例 1 (1) 化简下列各向量表达式 : (2) 已知 2 x + 3 y = a , x - 4 y = 2 b , 试用 a , b 表示 x , y . 分析 (1) 根据向量的线性运算法则求解 . (2) 运用实数的二元一次方程组的解法求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 向量数乘运算的方法 向量的数乘运算类似于多项式的代数运算 , 如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用 , 但是这里的 “ 同类项 ”“ 公因式 ” 指向量 , 实数看作是向量的系数 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 A.2 a - b B.2 b - a C. b - a D. a - b (2) 已知 2 a - b = m , a + 3 b = n , 那么 a , b 用 m , n 可以表示为 a = 　　　　　　　　 , b = 　　　　　　　　 .  探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 用已知向量表示未知 向量 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分析 先用向量加减法的几何意义设计好总体思路 , 然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 用已知向量表示其他向量的一般 步骤 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例 (1) 中 , 设 AC 与 BD 相交于点 O , F 是线段 OD 的中点 , AF 的延长线交 DC 于点 G , 试用 a , b 表示 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 向量共线 问题 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 证明或判断三点共线的 方法 2 . 利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数 λ , 使得 b = λ a ( a ≠ 0 ) . 而已知向量共线求 λ , 常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解 , 利用待定系数法建立方程 , 从而解方程求得 λ 的值 . 若两向量不共线 , 必有向量的系数为零 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1) 求证 : A , B , M 三点共线 ; (2) 若点 B 在线段 AM 上 , 求实数 λ 的取值范围 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解决三角形的四心 问题 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 设 a 是非零向量 , λ 是非零实数 , 则下列结论正确的是 ( 　　 ) A. a 与 λ a 的方向相同 B. a 与 - λ a 的方向相反 C. a 与 λ 2 a 的方向相同 D. | λ a |= λ | a | 解析 : 因为 λ ≠0, 所以 λ 2 > 0, 于是向量 a 与 λ 2 a 的方向相同 . 答案 : C 2 . 4( a - b ) - 3( a + b ) - b 等于 ( 　　 ) A. a - 2 b B. a C. a - 6 b D. a - 8 b 解析 : 原式 = 4 a - 4 b - 3 a - 3 b - b = a - 8 b . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 已知两个非零向量 a , b 不共线 , 且 k a + 3 b 与 2 a +k b 共线 , 求实数 k 的值 . 解 : 因为 k a + 3 b 与 2 a +k b 共线 , 所以存在实数 λ , 使 k a + 3 b = λ (2 a +k b ), 即 k a + 3 b = 2 λ a + λ k b , 即 ( k- 2 λ ) a = ( λ k- 3) b . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测