【数学】2018届一轮复习北师大版导数运算及基本应用学案

【数学】2018届一轮复习北师大版导数运算及基本应用学案

第六节 导数运算及基本应用 一 考查热点：主要考查导数的基本运算、利用导数几何意义求解切线相关问题以及简 单的函数单调、极值、最值问题。 二 要点小结： 1. 求函数在点 0 0( , )P x y 的切线方程方法：（1）求导数 ( )f x ；（2）求切线斜率 0( )k f x ；（3）写出切线方程 0 0 0( )( )y y f x x x   . 2. 求函数过点 0 0( , )P x y 的切线方程方法：（1）设出切点坐标 1 1( , ( ))P x f x ；（2）求导 数 ( )f x ，并求切线斜率 1( )k f x ；（3）写出切线方程 1 1 1( ) ( )( )y f x f x x x   ；（4） 将点 0 0( , )P x y 代入切线方程，求出 1x ；（5）将 1x 带回切线方程即得. 3. 求可导函数单调区间、极值、最值的一般步骤： (1) 确定函数 ( )f x 的定义域； (2) 求导函数 ( )f x ； (3) 在函数定义域内求不等式 ( ) 0, ( ) 0f x f x   的解集； (4) 由 ( ) 0, ( ) 0f x f x   的解集确定函数 ( )f x 的单调增(减)区间． （5）由 ( )f x 的单调性确定函数的极值； （6）由函数的极值以及区间端点的值确定函数的最值。 三 典例分析 例 1. （2015 新课标 2）已知曲线 xxy ln 在点 )1,1( 处的切线与曲线 1)2(2  xaaxy 相切，则 a . 例 2（2014 湖南）若 1 20 1x x   ，则（ ） A. 2 1 2 1ln lnx xe e x x   B. 2 1 2 1ln lnx xe e x x   C. 1 2 2 1 x xx e x e D. 1 2 2 1 x xx e x e 例 3 （2015 天津）已知函数    ln , 0,f x ax x x   ，其中 a 为实数，  f x 为  f x 的导函数，若  1 3f   ，则 a 的值为 ． 四 真题演练 1.（2014 新课标 2）若函数   lnf x kx x  在区间 1, 单调递增，则 k 的取值范围是 （A） , 2  （B） , 1  （C） 2, （D） 1, 2.（2016 四川）已知 a 函数   3 12f x x x  的极小值点，则 a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 3.(2015 安徽)函数   3 2f x ax bx cx d    的图像如图所示，则下列结论成立的是 （A）a>0，b<0，c>0，d>0 （B）a>0，b<0，c<0，d>0 （C）a<0，b<0，c>0，d>0 （D）a>0，b>0，c>0，d<0 4.(2016 山东)若函数 ( )y f x 的图象上存在两点，使得函数 的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 ( )y f x 具有 T 性质 下列函数中具有 T 性质的是 （A） siny x （B） lny x （C） exy  （D） 3y x 5.（2016 四川）设直线 l1，l2 分别是函数 f(x)= ln ,0 1, ln , 1, x x x x      图象上点 P1，P2 处的切线， l1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 6. (2014 广东) 曲线 5 3xy e   在点 (0, 2) 处的切线方程为 . 7. (2014 安徽)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： )(i 直线 l 在点  00 , yxP 处与曲线 C 相切； )(ii 曲线C 在 P 附近位于直线 l 的两侧，则称 直线l 在点 P 处“切过”曲线 C . 下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线 0: yl 在点  0,0P 处“切过”曲线C ： 2xy  ②直线 1: xl 在点  0,1P 处“切过”曲线C ： 2)1(  xy ③直线 xyl : 在点  0,0P 处“切过”曲线C ： xy sin ④直线 xyl : 在点  0,0P 处“切过”曲线C ： xy tan ⑤直线 1:  xyl 在点  0,1P 处“切过”曲线C ： xy ln 8.（2014 江西）若曲线 Pxxy 上点ln 处的切线平行于直线 Pyx 则点,012  的坐标 是_______. 9、（2015 陕西）函数 y＝xex 在其极值点处的切线方程为____________. 10. （2015 新课标 1）已知函数   3 1f x ax x   的图像在点   1, 1f 的处的切线过点  2,7 ，则 a  . 11.（2016 新课标 3）已知 f(x)为偶函数，当 0x  时， 1( ) xf x e x   ，则曲线 y= f(x)在点 (1,2)处的切线方程是____________ 12. （ 2016 天 津 ） 已 知 函 数 ( ) (2 +1) , ( )xf x x e f x 为 ( )f x 的 导 函 数 ， 则 (0)f  的 值 为 __________. 13、（2015 四川）已知函数 f(x)＝2x,g(x)＝x2＋ax(其中 a∈R).对于不相等的实数 x1,x2，设 m＝ 1 2 1 2 ( ) ( )f x f x x x   ，n＝ 1 2 1 2 ( ) ( )g x g x x x   ，现有如下命题：[ :Z,xx,k.Com] (1)对于任意不相等的实数 x1,x2，都有 m＞0； (2)对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x2，都有 n＞0； (3)对于任意的 a，存在不相等的实数 x1,x2，使得 m＝n； (4)对于任意的 a，存在不相等的实数 x1,x2，使得 m＝－n。 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号)。 14. （2014 北京）已知函数 3( ) 2 3f x x x  . （1）求 ( )f x 在区间[ 2,1] 上的最大值； （2）若过点 (1, )P t 存在 3 条直线与曲线 ( )y f x 相切，求 t 的取值范围； （3）问过点 ( 1,2), (2,10), (0,2)A B C 分别存在几条直线与曲线 ( )y f x 相切？（只需写 出结论） [ : + ] 第六节 例题：8，C，3 演练：DDAAA 5 2 0x y   ，①③④，( , )e e ，y =- 1 e ，1， 2y x ， 3，①④ 14 解：（I）由 3( ) 2 3f x x x  得 2'( ) 6 3f x x  ，令 '( ) 0f x  ，得 2 2x   或 2 2x  ， 因为 ( 2) 10f    ， 2( ) 22f   ， 2( ) 22f   ， (1) 1f   ， 所以 ( )f x 在区间[ 2,1] 上的最大值为 2( ) 22f   . （II）设过点 P（1，t）的直线与曲线 ( )y f x 相切于点 0 0( , )x y ，则 3 0 0 02 3y x x  ，且切线斜率为 2 06 3k x  ，所以切线方程为 2 0 0 0(6 3)( )y y x x x    ， 因此 2 0 0 0(6 3)(1 )t y x x    ，整理得： 3 2 0 04 6 3 0x x t    ， 设 ( )g x  3 24 6 3x x t   ，则“过点 (1, )P t 存在 3 条直线与曲线 ( )y f x 相切”等价于 “ ( )g x 有 3 个不同零点”， ' ( )g x  212 12x x =12 ( 1)x x  ， ( )g x 与 ' ( )g x 的情况如下： x ( ,0) 0 (0,1) 1 (1, ) [ :Z|xx|k.Com] ' ( )g x + 0  0 + ( )g x t+3 1t  所以， (0) 3g t  是 ( )g x 的极大值， (1) 1g t  是 ( )g x 的极小值， 当 (0) 3 0g t   ，即 3t   时，此时 ( )g x 在区间 ( ,1] 和 (1, ) 上分别至多有 1 个零 点，所以 ( )g x 至多有 2 个零点， 当 (1) 1 0g t   ， 1t   时，此时 ( )g x 在区间 ( ,0) 和[0, ) 上分别至多有 1 个零点， 所以 ( )g x 至多有 2 个零点. 当 (0) 0g  且 (1) 0g  ，即 3 1t    时，因为 ( 1) 7 0g t    ， (2) 11 0g t   ， 所以 ( )g x 分别为区间[ 1,0),[0,1) 和[1,2)上恰有 1 个零点，由于 ( )g x 在区间 ( ,0) 和 (1, ) 上单调，所以 ( )g x 分别在区间 ( ,0) 和[1, ) 上恰有 1 个零点. 综上可知，当过点 (1, )P t 存在 3 条直线与曲线 ( )y f x 相切时，t 的取值范围是 ( 3, 1)  . （III）过点 A（-1，2）存在 3 条直线与曲线 ( )y f x 相切； 过点 B（2，10）存在 2 条直线与曲线 ( )y f x 相切； 过点 C（0，2）存在 1 条直线与曲线 ( )y f x 相切.