【数学】2020届数学文一轮复习第八章第2讲空间几何体的表面积与体积作业

【数学】2020届数学文一轮复习第八章第2讲空间几何体的表面积与体积作业

‎1．圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是(　　)‎ A．4πS　　　　　　　 B.2πS C．πS D．πS 解析：选A.由πr2＝S得圆柱的底面半径是，故侧面展开图的边长为2π·＝2，所以圆柱的侧面积是4πS，故选A.‎ ‎2．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是(　　)‎ A．π B. C.π D． 解析：选D.由三视图可知，该几何体是两个同底的半圆锥，其中底的半径为1，高为＝，‎ 因此体积＝2××π×12×＝π.‎ ‎3．(2017·高考全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　)‎ A．10 B.12‎ C．14 D．16‎ 解析：选B.由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，‎ 直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为×2＝12，故选B.‎ ‎4．(2019·兰州诊断考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．(9＋)π B.(9＋2)π C．(10＋)π D．(10＋2)π 解析：选A.由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半．故该几何体的表面积S＝π×12＋4×2π＋×2π×＝(9＋)π.‎ ‎5．(2019·云南第一次统考)‎ 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(　　)‎ A．12　　　　　　 B.18‎ C．24 D．30‎ 解析：选C.由三视图知，该几何体是直三棱柱削去一个同底的三棱锥，其中三棱柱的高为5，削去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面均为两直角边分别为3和4的直角三角形，所以该几何体的体积为×3×4×5－××3×4×3＝24，故选C.‎ ‎6．将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．‎ 解析：当以长度为4π的边为底面圆时，底面圆的半径为2，两个底面的面积是8π；当以长度为8π的边为底面圆时，底面圆的半径为4，两个底面圆的面积为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2.故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.‎ 答案：32π2＋8π或32π2＋32π ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．‎ 解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，所以其体积为8－－＝.‎ 答案： ‎8.‎ 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCDA1C1D1，这个几何体的体积为，则经过A1，C1，B，D四点的球的表面积为________．‎ 解析：设AA1＝x，则VABCDA1C1D1＝VABCDA1B1C1D1－VBA1B1C1＝2×2×x－××2×2×x＝，则x＝4.‎ 因为A1，C1，B，D是长方体的四个顶点，‎ 所以经过A1，C1，B，D四点的球的球心为长方体ABCDA1B1C1D1的体对角线的中点，且长方体的体对角线为球的直径，所以球的半径R＝＝，所以球的表面积为24π.‎ 答案：24π ‎9.‎ 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．‎ 解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面积＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×‎ ‎5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V圆台－V圆锥＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝π.‎ ‎10．如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．‎ ‎(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；‎ ‎(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．‎ 解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．‎ ‎(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.‎ 因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.‎ 于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.‎ 故S四边形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，‎ S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.‎ 因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，‎ 所以其体积的比值为(也正确)．‎ ‎1．(2019·石家庄质量检测(一))某几何体的三视图如图所示(在网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的体积为(　　)‎ A．2 B.3‎ C．4 D．6‎ 解析：选A.由三视图知，该几何体为四棱锥，其底面面积S＝×(1＋2)×2＝3，高为2，所以该几何体的体积V＝×3×2＝2，故选A.‎ ‎2．(2019·沈阳质量检测(一))已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝，若球O的表面积为4π，则SA＝(　　)‎ A. B.1‎ C. D． 解析：选B.根据已知把SABC补成如图所示的长方体．因为球O的表面积为4π，所以球O的半径R＝1，2R＝＝2，解得SA＝1，故选B.‎ ‎3．(2019·福州综合质量检测)已知三棱锥PABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥PABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选D.依题意，记三棱锥PABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面ABC的距离为h，则由VPABC＝S△ABCh＝×(×42)×h＝得h＝.又PC为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于h＝.又正△ABC的外接圆半径为r＝＝，因此R2＝r2＋()2＝，三棱锥PABC的外接球的表面积等于4πR2＝π，选D.‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示，且其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为________．‎ 解析：由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥PABCDE，所以体积V＝××＝.‎ 答案： ‎5．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H.‎ ‎(1)若圆锥内有一个高为x的内接圆柱，则x为何值时，圆柱的侧面积最大？最大侧面积是多少？‎ ‎(2)作一平面将圆锥分成一个小圆锥与一个圆台，当两几何体的体积相等时，求小圆锥的高与圆台的高的比值．‎ 解：(1)设圆柱的侧面积为S，底面半径为r.‎ 由＝，得r＝R－·x.‎ 则圆柱的侧面积S＝2πrx＝2πx＝－·x2＋2πRx，‎ 显然，当x＝－＝时，圆柱的侧面积最大，‎ 最大侧面积为－·＋2πR·＝πRH.‎ ‎(2)设小圆锥的底面半径为a，高为b.‎ 由题意得小圆锥的体积V1＝×πR2H＝πR2H，‎ 由＝，且πa2b＝πR2H，‎ 得b＝H＝H.‎ 设圆台高为c，则＝＝，‎ 故小圆锥的高与圆台的高的比值为.‎ ‎6.‎ ‎(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.‎ ‎(1)证明：直线BC∥平面PAD；‎ ‎(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积．‎ 解：(1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD.‎ ‎(2)取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.‎ 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.‎ 设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x.‎ 取CD的中点N，连接PN，‎ 则PN⊥CD，所以PN＝x.‎ 因为△PCD的面积为2，‎ 所以×x×x＝2，‎ 解得x＝－2(舍去)或x＝2.于是AB＝BC＝2，‎ AD＝4，PM＝2.‎ 所以四棱锥PABCD的体积V＝××2＝4.‎