河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

唐山一中高一年级第一学期第一次月考 数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分。在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）‎ ‎1.已知集合M＝{1，}，P＝{－1，－a}，若M∪P有三个元素，则M∩P＝(　　)‎ A. {0,1} B. {0，－1}‎ C. {0} D. {－1}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由集合，，且有三个元素可知：解得：ａ＝０，‎ ‎∴＝‎ 故选C ‎2.集合，集合，则与的关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 函数有意义，则：，即，‎ 函数的值域为，即，‎ 则：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎3.已知集合，则满足的集合的个数为（ ）‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 7 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 结合题意可得：，，‎ 令，集合为集合的子集，则，‎ 结合子集个数公式可得，集合的个数为个.‎ 本题选择B选项.‎ ‎4.函数的定义域为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要使函数函数有意义，则必须满足，解出即可．‎ ‎【详解】解：，解得，即且．‎ 函数的定义域为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域，充分理解函数、的定义域是解决此问题的关键．‎ ‎5.函数在区间上为减函数，则的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先按一次函数与二次函数分类讨论，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系列不等式，解得的取值范围 ‎【详解】当时，，满足在区间上为减函数，当时，由于的图象对称轴为，且函数在区间上为减函数，，求得，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查一次函数与二次函数单调性，考查基本分析求解能力.‎ ‎6.设，且，则的最大值为 A. 80 B. 77‎ C. 81 D. 82‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式的性质求解.‎ ‎【详解】∵x＞0，y＞0，∴x+y 当且仅当x=y时等号成立，‎ ‎∵x+y=18，∴ ，解得xy81，‎ 即x=y=9时，xy最大值为81．‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式的应用，利用基本不等式求最值，必须同时满足：一正、二定、三相等，特别是式子中不能取等号时，不能应用基本不等式，可通过函数的单调性求最值.‎ ‎7.已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数的定义域是一切实数，所以当时，函数对定义域上的一切实数恒成立；当时，则，解得，综上所述，可知实数的取值范围是，故选D.‎ 考点：函数的定义域.‎ ‎8.已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是 A. (0，3) B. (0，3] C. (0，2) D. (0，2]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由为上的减函数，根据和时，均单调递减，且，即可求解.‎ ‎【详解】因为函数为上的减函数，‎ 所以当时，递减，即，当时，递减，即，‎ 且，解得，‎ 综上可知实数取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用，其中熟练掌握分段的基本性质，列出相应的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎9.若，那么等于 （ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 令可得：，据此可知：‎ ‎.‎ 本题选择C选项.‎ ‎10.已知函数若方程恰有三个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，将方程恰有三个不同的实根，转化为由恰好有三个不同的零点，分别作出两段图像，根据图像得到答案.‎ ‎【详解】令，‎ 因为方程恰有三个不同的实根 所以可得函数恰好三个不同的零点.‎ 如图，作出函数与的图像，‎ 结合函数与的图像可知，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查根据分段函数的零点个数，求参数的范围，函数与方程，属于中档题.‎ ‎11.如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为(　　)‎ A. [1，＋∞) B. [0，]‎ C. [0，1] D. [1，]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，求的增区间，再求的减区间，从而求缓增区间.‎ ‎【详解】因为函数的对称轴为x＝1，‎ 所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，‎ 又当x≥1时，， ‎ 令(x≥1)，则，‎ 由g′(x)≤0得，‎ 即函数在区间上单调递减，‎ 故“缓增区间”I为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关新定义的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，属于简单题目.‎ ‎12.已知函数满足，若函数与的图象的交点为、、、、，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知，函数与的图象都关于直线对称，然后利用对称性可得出的值.‎ ‎【详解】，函数的图象关于直线对称，‎ 设，则，，‎ ‎，所以，函数的图象也关于直线对称.‎ 当为正偶数时，两图象的交点两两关于直线对称，；‎ 当为正奇数时，两图象的交点有个点两两关于直线对称，另一个在直线上，.‎ 综上所述，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了利用函数图象的对称关系，求两函数交点横坐标之和，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，计20分）‎ ‎13.已知集合====，则集合的关系为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，为偶数，为奇数，为奇数，，故答案为.‎ ‎14.设函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的定义域关于原点对称求出实数的值，可得出函数在时的解析式，计算出的值，由奇函数的定义可得出的值.‎ ‎【详解】奇函数的定义域为，，解得，‎ 则当时，，，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，同时也涉及了奇函数定义域的考查，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15.已知函数 的值域为，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数在区间上的值域为，再结合函数的值域为，得出函数在上单调递增，可得出函数在区间上的值域，再由两段值域并集为，可得出关于实数的不等式（组），解出即可.‎ ‎【详解】当时，，则，则函数在区间上的值域为.‎ 又函数的值域为，则函数在上单调递增，‎ 当时，，‎ 所以，函数在区间上的值域为，‎ 由题意可得，，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，在解题时不要忽略对函数单调性的分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎16.设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得出，由结合参变量分离法得出，求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由，即，即，‎ ‎，，‎ 由于二次函数在区间上单调递增，当时，，‎ ‎，则，因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用二次不等式在区间上恒成立求参数的取值范围，灵活利用参变量分离法转化为函数的最值来处理是求解的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ 三、解答题（共6小题，计70分）‎ ‎17.已知全集，集合，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求出集合与,然后将和集合取交集即可;‎ ‎（2）先求出,再由,可分和两种情况讨论,可求出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由题意,,解得,‎ 即集合,则或,‎ 又,所以;‎ ‎（2）,,‎ 若,则,解得;‎ 若,则,解得.‎ 故的取值范围是或.‎ ‎【点睛】本题考查了集合间的交集、并集和补集的运算,考查了不等式的解法,考查了集合间的包含关系,考查了学生的运算求解能力,属于中档题.‎ ‎18.（1）解不等式；‎ ‎（2）已知关于的不等式．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）分、、去绝对值，并解出不等式，可得出该不等式的解集；‎ ‎（2）将所求不等式变形为，然后对和的大小进行分类讨论，可得出该不等式的解集.‎ ‎【详解】（1）设.‎ 当时，，解得，此时；‎ 当时，，解得，此时；‎ 当时，，解得，此时.‎ 综上所述，不等式解集为；‎ ‎（2）.‎ 当时，即当时，不等式解集为；‎ 当时，即当时，不等式解集为；‎ 当时，即当时，不等式解集为.‎ 所以，当时，不等式解集为；‎ 当时，不等式解集为；‎ 当时，不等式解集为.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式和含参二次不等式的求解，考查分段讨论思想与运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19.已知f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，解析式为f(x)＝. ‎ ‎(1)求f(x)在R上的解析式；‎ ‎(2)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上为减函数．‎ ‎【答案】(1) f(x)＝ (2)见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）分别求出当x＜0和x=0时的解析式，写成分段函数的形式；（2）设∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，通过作差证明f(x1)＞f(x2)即可．‎ 试题解析：(1)设x＜0，则－x＞0，‎ ‎∴f(－x)＝.‎ 又∵f(x)是R上的奇函数，‎ ‎∴f(－x)＝－f(x)＝，‎ ‎∴f(x)＝.‎ 又∵奇函数在x=0时有意义，‎ ‎∴f(0)＝0，‎ ‎∴函数的解析式为f(x)＝‎ ‎(2)证明：设∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，‎ 则f(x1)－f(x2)＝－＝‎ ‎＝.‎ ‎∵x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，‎ ‎∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＞0，‎ ‎∴f(x1)－f(x2)＞0，‎ ‎∴f(x1)＞f(x2)，‎ ‎∴函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．‎ 点睛：用定义法证明函数单调性的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论，‎ 注意取值时要取所给区间上的任意两数x1，x2，变形是解题的重点，目的使所做的差变成成绩的形式．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎20.一次函数是上的增函数，，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）当时，有最大值，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用待定系数法设出一次函数,代入已知条件,即可求出.‎ ‎（2）是二次函数,配方确定对称轴，求出最值得到方程,即可求解值.‎ ‎【详解】（1）依题意设,‎ ‎,‎ ‎,解得,‎ 所以.‎ ‎（2）,‎ 对称轴方程为 当时，的最大值为,解得 当时，的最大值为,解得（舍去）‎ 综上，实数的值为 ‎【点睛】本题考查函数解析式的确定,考查二次函数的性质,考查函数的最值,‎ 考查分类讨论思想,确定函数解析式是关键,属于中档题.‎ ‎21.设的定义域为，对于任意正实数恒，且当时，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求证：在上是增函数；‎ ‎（3）解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)利用赋值法首先令，可得，然后令，则；‎ ‎(2)由题意结合增函数的定义证得当任取时有即可；‎ ‎(3)结合(1)中的函数值和(2)中函数的单调性得到关于实数x的不等式，求解不等式可得解集为.‎ 试题解析：‎ 解：（1）令，则，所以，‎ 令，则，所以；‎ ‎（2）任取，且，则，‎ ‎，‎ 因为，所以，即，‎ 所以在上单调递增；‎ ‎（3）由得，‎ 所以，因为在上单调递增，‎ 即，得，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎22.已知定义在上的函数.‎ ‎（1）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，求函数在上的最大值的表达式.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数在区间上的最大值，可得出关于实数的不等式，解出即可；‎ ‎（2）根据题意得出，作出函数的图象，计算出，并作出函数的图象，对分和的大小关系进行分类讨论，可得出函数在区间上的最大值的表达式.‎ ‎【详解】（1）函数在区间上单调递减，‎ 当时，函数的最大值为，‎ 由题意得，解得，因此，实数的取值范围是；‎ ‎（2），‎ 其图象如下图所示，当时，令，解得（舍）或，根据图象得：‎ ‎（ⅰ）当时，；‎ ‎（ⅱ）当时，；‎ ‎（ⅲ）当时，.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题考查二次不等式在区间上恒成立问题，同时也考查了含绝对值函数的最值的求解，一般将函数表示为分段函数的形式，结合图象求解，考查分类讨论思想与数形结合思想的应用，属于中等题.‎ 四、附加题（共1小题，10分）（英才班做）‎ ‎23.设函数，是定义域为的奇函数．‎ ‎（1）确定的值；‎ ‎（2）若，函数，，求的最小值；‎ ‎（3）若，是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1） ；（2）；（3）存在，．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可知，，代入函数解析式即可求出的值；‎ ‎（2）根据已知条件得，运用换元法令，得函数,结合二次函数的图象与性质即可求出最小值；‎ ‎（3）由题意，将问题转化为在恒成立，‎ ‎【详解】解：（1）是定义域为R上的奇函数，‎ ‎ ，得，，经验证符合题意，‎ ‎．‎ ‎（2）由（1）可知，，又 ‎，即 或（舍去），, ‎ ‎，‎ 令，在是增函数，得 ，‎ 则,函数对称轴 可知时，有最小值.‎ ‎（3）存在 理由如下：，， ，‎ 则对恒成立， ‎ 所以，‎ 设 易证在上是减函数，当 时最小值，‎ 即时，的最小值为，‎ 所以，，‎ ‎∵是正整数，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的性质，考查运用构造函数法和换元法求解函数的最值和不等式恒成立问题的方法，考查转化思想和计算能力.‎