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文档介绍
【数学】山东省安丘市实验中学2019-2020学年高一下学期期中考试试题(解析版)
山东省安丘市实验中学2019-2020学年 高一下学期期中考试试题 第I卷(选择题) 一、单选题:本题共8个小题,每题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知角的终边经过点,则( ) A. B. C. D. 2.设两个单位向量,的夹角为,则|3+4|=( ) A.1 B. C. D.7 3.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若,则角A的值为( ) A. B. C. D. 4.已知D,E是△ABC边BC的三等分点,点P在线段DE上,若=x+y,则xy的取值范围是( ) A.[,] B.[,] C.[,] D.[,] 5.已知f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ),ω>0,|φ|<,f(x)是奇函数,直线y=与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,则( ) A.f(x)在(,)上单调递减 B.f(x)在(0,)上单调递减 C.f(x)在(0,)上单调递增 D.f(x)在(,)上单调递增 6.在△ABC中,,,E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满足,则的值为( ) A. B. 1 C. D. 7.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,且B为锐角,若,,,则b=( ) A. B. C. D. 答案及解析: 8.已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是() A. -6 B. -3 C. -4 D. -2 二、 多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求。全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分 9.已知,如下四个结论正确的是( ) A.; B.四边形为平行四边形; C.与夹角的余弦值为; D. 10.下列各式中,值为的是( ) A. B. C. D. E. 11.已知的内角所对的边分别为,下列四个命题中正确的命题是( ) A.若,则一定是等边三角形 B.若,则一定是等腰三角形 C.若,则一定是等腰三角形 D.若,则一定是锐角三角形 12.已知函数,则下面结论正确的是( ) A.为偶函数 B.的最小正周期为 C.的最大值为2 D.在上单调递增 第II卷(非选择题) 三、填空题:本大题共4小题,,每小题5分,共20分。 13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小为_____________. 14.已知,则 . 15.已知函数,若对任意都有()成立,则的最小值为__________. 16.设非零向量,的夹角为,记,若,均为单位向量,且,则向量与的夹角为__________. 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设两个非零向量与不共线. (1)若,,求证:A、B、D三点共线; (2) 试确定实数k,使与共线. 18.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且 (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若角边上的中线AM的长为,求△ABC的面积. 19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为. (l)求角B的大小; (2)已知,且△ABC的外接圆的半径为,若,求的值. 20.(本小题满分12分) 设向量,,其中,,函数 的图象在轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为,在原点右侧与轴的第一个交点为. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)在中,角A,B,C的对边分别是,若,且,求边长. 21.已知两个不共线的向量a,b满足,,. (1)若,求角θ的值; (2)若与垂直,求的值; (2) 当时,存在两个不同的θ使得成立,求正数m的取值范围. 22.已知,,,且,其中 (1) 若与的夹角为,求的值; (2) 记,是否存在实数,使得对任意的恒成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,试说明理由.、 参考答案 第I卷(选择题) 一、单选题:本题共8个小题,每题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知角的终边经过点,则( ) A. B. C. D. 答案及解析: 1. A 【详解】因为,,所以. 故选:A. 【点睛】本题主要考查已知角终边上一点,利用三角函数定义求三角函数值,属于基础题. 2.设两个单位向量,的夹角为,则|3+4|=( ) A.1 B. C. D.7 答案及解析: 2.B 解:两个单位向量的夹角为, 则=9+24•+16=9×12+24×1×1×cos+16×12=13, 所以=. 故选:B. 3.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若,则角A的值为( ) A. B. C. D. 答案及解析: 3.C 【详解】由正弦定理得: 本题正确选项:C 【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用,涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用,属于基础题. 4.已知D,E是△ABC边BC的三等分点,点P在线段DE上,若=x+y,则xy的取值范围是( ) A.[,] B.[,] C.[,] D.[,] 答案及解析: 4.D 【解答】解:D,E是△ABC边BC的三等分点,点P在线段DE上,若=x+y, 可得x+y=1,x,y∈[,], 则xy≤=,当且仅当x=y=时取等号, 并且xy=x(1﹣x)=x﹣x2,函数的开口向下,对称轴为:x=,当x=或x=时,取最小值, xy的最小值为:. 则xy的取值范围是:[,]. 5.已知f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ),ω>0,|φ|<,f(x)是奇函数,直线y=与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,则( ) A.f(x)在(,)上单调递减 B.f(x)在(0,)上单调递减 C.f(x)在(0,)上单调递增 D.f(x)在(,)上单调递增 答案及解析: 5.A 【解答】解:∵f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin(ωx+φ+), ∵f(x)是奇函数,, ∴φ+=0,得φ=﹣, 则f(x)=sinωx, 由sinωx=得sinωx=1, ∵直线与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为, ∴T=,0即=,得ω=4, 即f(x)=sin4x, 由2kπ﹣≤4x≤2kπ+,k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+,当k=0时,函数的 递增区间为[﹣,],k=1时,递增区间为[,] 由2kπ+≤4x≤2kπ+,k∈Z得kπ+≤x≤kπ+,当k=0时,函数的递减区间为[,],当k=1时,函数的递减区间为[,] 6.在△ABC中,,,E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满足,则的值为( ) A. B. 1 C. D. 6.D 【详解】为中点 和为等腰三角形 ,同理可得: 本题正确选项:D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题,关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形,从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算. 7.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,且B为锐角,若,,,则b=( ) A. B. C. D. 答案及解析: 7.D 【详解】由于,有正弦定理可得: ,即 由于在中,,,所以, 联立 ,解得:, 由于为锐角,且,所以 所以在中,由余弦定理可得:,故(负数舍去) 故答案选D 【点睛】本题考查正弦定理,余弦定理,以及面积公式在三角形求边长中的应用,属于中档题 8.已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是() A. -6 B. -3 C. -4 D. -2 答案及解析: 8.A 【详解】由题意,以中点为坐标原点,建立如图所示的坐标系, 则, 设,则, 所以 , 所以当时,取得最小值为, 故选A. 【点睛】 本题主要考查了平面向量数量积的应用问题,根据条件建立坐标系,利用坐标法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 二、 多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求。全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分 9.已知,如下四个结论正确的是( ) A.; B.四边形为平行四边形; C.与夹角的余弦值为; D. 【答案】BD 【解析】 【详解】 由, 所以,,, , 对于A,,故A错误; 对于B,由,,则, 即与平行且相等,故B正确; 对于C,,故C错误; 对于D,,故D正确; 故选:BD 10.下列各式中,值为的是( ) A. B. C. D. E. 【答案】BCE 【解析】 【分析】 利用二倍角公式计算可得. 【详解】 解:A不符合,; B符合,; C符合,; D不符合,; E符合,. 故选:. 11.已知的内角所对的边分别为,下列四个命题中正确的命题是( ) A.若,则一定是等边三角形 B.若,则一定是等腰三角形 C.若,则一定是等腰三角形 D.若,则一定是锐角三角形 【答案】AC 【详解】 由,利用正弦定理可得,即,是等边三角形,A正确; 由正弦定理可得,或, 是等腰或直角三角形,B不正确; 由正弦定理可得,即, 则等腰三角形,C正确; 由正弦定理可得,角为锐角,角不一定是锐角,D不正确,故选AC. 12.已知函数,则下面结论正确的是( ) A.为偶函数 B.的最小正周期为 C.的最大值为2 D.在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】 首先将化简为,选项A,的定义域为,,故A正确。根据的周期和最值可判断B正确,C不正确。根据可判定D正确。 【详解】 , 选项A,的定义域为, ,故A正确。 B选项,的最小正周期为,故B正确。 C选项,,故C不正确。 D选项, 由的图像, 由图可知:在上单调递增,故D正确。 故选ABD 【点睛】 本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性,同时考查三角函数最值和单调区间,属于中档题。 第II卷(非选择题) 三、填空题:本大题共4小题,,每小题5分,共20分。 13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小为_____________. 答案及解析: 13.30° 14.已知,则 . 答案及解析: 14. 15.已知函数,若对任意都有()成立,则的最小值为__________. 答案及解析: 15.4π 【详解】因为对任意成立,所以取最小值,取最大值; 取最小值时,与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的,则,且,故. 【点睛】任何一个函数,若有对任何定义域成立,此时必有:,. 16.设非零向量,的夹角为,记,若, 均为单位向量,且,则向量与的夹角为__________. 答案及解析: 16.【详解】由题设知,若向量,的夹角为,则,的夹角为.由题意可得, , . ∵,,,,向量与夹角为. 故答案为:. 【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用,以及向量夹角的求法,平面向量数量积公式有两种形式,一是,二是,主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角, (此时往往用坐标形式求解);(2)求投影, 在 上的投影是;(3)向量垂直则;(4)求向量 的模(平方后需求). 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设两个非零向量与不共线. (1)若,,求证:A、B、D三点共线; (2)试确定实数k,使与共线. 答案及解析: 17.(1)见解析;(2). (1)证明:∵, ∴...........4分 ∴与共线,又它们有公共点,∴三点共线............5分 (2)若和共线 ∴存在实数,使 即..........8分 ∴ 解得...........10分 18.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且 (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若角边上的中线AM的长为,求△ABC的面积. 答案及解析: .每问6分 19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为. (l)求角B的大小; (2)已知,且△ABC的外接圆的半径为,若,求的值. 答案及解析: 19.(l);(2)9. 【详解】(1) 由余弦定理可得,,..........5分 ...........6分 (2),△ABC外接圆的半径为, ∴由正弦定理可得:,可得:,。。。。。8分 ,① ∴由余弦定理可得:, 解得:,② ∴联立①②可得:,或, 由,可得:,。。。。。。。。。。。10分 , .。。。。。。。。。。。。。。。12分 【点睛】本题主要考查了余弦定理,正弦定理,平面向量数量积的运算,考查了计算能力和转化思想,属于中档题. 20.(本小题满分12分) 设向量,,其中,,函数 的图象在轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为,在原点右侧与轴的第一个交点为. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)在中,角A,B,C的对边分别是,若,且,求边长. 答案及解析: 20.(I)因为, -----------------------------1分 由题意, -----------------------------3分 将点代入,得, 所以,又因为 -------------------5分 即函数的表达式为. ---------------------6分 (II)由,即 又 ------------------------8分 由 ,知, 所以 -----------------10分 由余弦定理知 所以 ----------------------------------------------------12分 21.已知两个不共线的向量a,b满足,,. (1)若,求角θ的值; (2)若与垂直,求的值; (3)当时,存在两个不同的θ使得成立,求正数m的取值范围. 答案及解析: 21.(1)(2)(3) 【详解】(1)由题得 所以角的集合为 .。。。。。。。。。。。。。4分 (2)由条件知, ,又与垂直, 所以,所以. 所以,故. 。。。。。。。。。。。。8分 (3)由,得, 即, 即,, 所以. 由得,又要有两解,结合三角函数图象可得, ,即, 又因为,所以. 即m的范围..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示,考查向量的模的计算,考查三角函数图像和性质的综合应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,属于中档题. 22.已知,,,且,其中 (1) 若与的夹角为,求的值; (2) 记,是否存在实数,使得对任意的恒成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,试说明理由.、 22.解:(1),由, 得,即 。。。。。。。。。。。。。。。。(6分) (2) 由(1)得, ,即可得, ,因为对于任意恒成立,又因为,。。。。。。。。8分 所以,即对于任意恒成立,构造函数。。。。。10分 从而由此可知不存在实数使之成立。。。。。。。。12分查看更多