北师大版高三数学复习专题-导数及其应用课件-第3章第3节
走向高考 · 数学
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
北师大版 · 高考总复习
导数及其应用
第三章
第三节 导数在函数最值及生活实
际中的应用
第三章
课前自主导学2 课 时 作 业4
高考目标导航1 课堂典例讲练3
高考目标导航
考纲要求 命题分析
1.会求闭区间
上函数的最大值、
最小值(其中多项式
函数一般不超过三
次).
2.会利用导数
解决某些实际问题.
应用导数求函数的最值是高考的
重点内容,题型以解答题为主.除考
查导数的知识外还与其它知识如不等
式、数列、解析几何等联系,难度为
中高档题.
预测2016年高考仍然突出导数的
工具性,重点考查导数与函数的单调
性、极值、最值等问题,突出转化与
化归、分类讨论和数形结合等思想方
法的考查.
课前自主导学
1.函数的最大值与最小值
(1)函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数
f(x),在[a,b]上________有最大值与最小值;但在开区间(a,
b)内连续的函数f(x)________有最大值与最小值.
必
不一定
(2)求最大值与最小值的步骤:设函数f(x)在[a,b]上连续,
在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如
下:
①求f(x)在(a,b)内的________值;
②将f(x)的各________值与________比较,其中最大的一
个是最大值,最小的一个是最小值.
极
极 f(a),f(b)
2.解决优化问题的基本思路
用函数表示的数学问题
2.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最
大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是( )
A.-37 B.-29
C.-5 D.以上都不对
[答案] A
[解析] f ′(x)=6x(x-2),
∵f(x)在(-2,0)上为增加的,在(0,2)上为减少的,
∴当x=0时,f(x)=m最大,
∴m=3,f(-2)=-37,f(2)=-5.
5.当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时,它的底面半
径为________时,才能使饮料罐的体积最大.
课堂典例讲练
(文 )已知函数 f (x )=ax 3+x 2+bx (其中常数a,
b∈R),g(x)=f(x)+f ′(x)是奇函数.
(1)求f(x)的表达式;
(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与
最小值.
利用导数研究最值
[方法总结] 函数极值与最值的区别与联系:
极值是指某一点附近函数值的比较,因此,同一函数在某
一点的极大(小)值,可以比另一点的极小(大)值小(大);最大、
最小值是指闭区间[a,b]上所有函数值的比较,因而在一般情
况下,两者是有区别的,极大(小)值不一定是最大(小)值,最大
(小)值也不一定是极大(小)值,但如果连续函数在区间(a,b)内
只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.
[方法总结] 1.根据最值的定义,求在闭区间[a,b]上连
续,开区间(a,b)内可导的函数的最值时,可将过程简化,即
不用判断使f ′(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点,直接
将极值点与端点的函数值进行比较,就可判定最大(小)值.
2.定义在开区间(a,b)上的可导函数,如果只有一个极值
点,该极值点必为最值点.
(文)已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.
(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,
f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).
令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2,
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,
故f(x)在(-∞,-2)上为增函数;
当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,
故f(x)在(-2,2)上为减函数;
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,
故f(x)在(2,+∞)上为增函数.
由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在
x2=2处取得极小值f(2)=c-16.
由题设条件知16+c=28,得c=12.
此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,
f(2)=c-16=-4,
因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.
(理)(2014·安徽高考)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其
中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;
(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.
所以f ′(x)=-3(x-x1)(x-x2),
当x
x2时,f ′(x)<0;当x10,故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在
(x1,x2)内单调递增.
(2)因为a>0,所以x1<0,x2>0,
①当a≥4时,x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以
f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.
已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.
(1)求a的值;
(2)若对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2恒成立,求实数k的
最小值.
[思路分析] (1)先求导,得到函数在定义域内的单调性,
得到最小值后解出a的值;(2)将f(x)≤kx2转化为f(x)-kx2≤0,构
造新函数,利用导数求最值,从而求出k的最小值.
利用导数解恒成立问题
[方法总结] (1)导数法是求解函数单调性、极值、最值、
参数等问题的有效方法,应用导数求单调区间关键是求解不等
式的解集;最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小;
参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等,
求解时注意分类讨论思想的应用.
(2)对于一些复杂问题,要善于将问题转化,转化成能用熟
知的导数研究问题.
[点评] 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的范围
时,可令f ′(x)≥0[或f ′(x)≤0]恒成立,解出参数的范围,然后再
检验该参数的端点值能否使f ′(x)=0恒成立,若能成立,则去
掉参数的该值;若不能使f ′(x)=0恒成立,则参数的范围即为
所求.也可由f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立,从中分离出要求的参
数,再进一步通过求最值确定参数的范围.
设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.
[思路分析] (1)求单调区间与极值可利用f(x)与f ′(x)的关系
求解;(2)可构造函数g(x)=ex-x2+2ax-1,通过研究g(x)的性
质进行证明.
运用导数证明不等式问题
(2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,
于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知当a>ln2-1时,g′(x)的最小值为
g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.
于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,
所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).
而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0,
即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.
[方法总结] 利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上
恒成立的基本方法是构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后根据函数
的单调性,或者函数的最值证明函数h(x)>0,其中一个重要技
巧就是找到函数h(x)什么时候可以等于零,这往往就是解决问
题的一个突破口.
某集团为了获得更大的利益,每年要投入一定的资
金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(百万元)可增加销
售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤5).
(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内,则应投
入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?
导数在实际问题中的应用
[规范解答] (1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为
f(t)(百万元),则有
f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t
=-(t-2)2+4 (0≤t≤3),
∴当t=2百万元时,f(t)取得最大值4百万元.
即投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最
大.
[方法总结] 1.导数在实际问题中的应用
在求实际问题中的最值时,一般要先恰当的选择变量,建
立函数关系式,并确定其定义域,然后利用导数加以解决.注
意检验结果与实际是否相符.
2.实际问题中的最值
根据实际意义,函数存在最值,而函数只有一个极值,则
函数的极值就是最值.
转化与化归思想在导数中的应用
从近两年高考试题看,导数与方程、函数零点、不等式的
交汇综合,以及利用导数研究生活中的优化问题,是考查的热
点,并且常考常新,在解决问题的过程中经常采取转化与化归
的思想方法.题型以解答题为主,综合考查学生分析问题、解
决问题的能力.
[方法总结] 所谓转化与化归思想方法,就是在研究和解
决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进
而得到解决的一种方法,一般总是将复杂的问题通过变换转化
为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问
题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
两个注意
(1)注意实际问题中函数定义域的确定.
(2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那
么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必再与端
点的函数值比较.
三个防范
(1)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,
要通过认真比较才能下结论;另外注意函数最值是个“整体”
概念 ,而极值是个“局部”概念.
(2)f ′(x0)=0是y=f(x)在x=x0取极值的既不充分也不必要条
件.
如①y=|x|在x=0处取得极小值,但在x=0处不可导;
②f(x)=x3,f ′(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.
(3)若y=f(x)可导,则f ′(x0)=0是f(x)在x=x0处取极值的必要
条件.
课 时 作 业
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