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文档介绍
【数学】2018届一轮复习北师大版函数的单调性与最值教案
第二节 函数的单调性与最值 [考纲传真] 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的性质. 1.函数的单调性 (1)增、减函数 增函数 减函数 定义 在函数y=f (x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两个数x1,x2∈A 当x1<x2时,都有f (x1)<f (x2),那么,就称函数y=f (x)在区间A上是增加的,有时也称函数y=f (x)在区间A上是递增的 当x1<x2时,都有f (x1)>f (x2),那么,就称函数y=f (x)在区间A上是减少的,有时也称函数y=f (x)在区间A上是递减的 (2)单调区间和函数的单调性 ①如果函数y=f (x)在区间A上是增加的或是减少的,那么称A为单调区间. ②如果函数y=f (x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,那么就称函数y=f (x)在这个子集上具有单调性. (3)单调函数 如果函数y=f (x)在整个定义域内是增加的或是减少的,我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数. 2.函数的最值 前提 函数y=f (x)的定义域为D 条件 (1)存在x0∈D,使得f (x0)=M (1)存在x0∈D,使得 ;(2)对于任意x∈D,都有f (x)≤M f (x0)=M; (2)对于任意x∈D,都有f (x)≥M 结论 M为最大值 M为最小值 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=在其定义域上递减.( ) (2)函数y=+x在其定义域上递增.( ) (3)对于函数f (x),x∈D,若x1,x2∈D且>0,则函数f (x)在D上是增加的.( ) (4)若函数f (x)的最大值是M,最小值是m,则函数f (x)的值域一定是[m,M].( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(2016·北京高考)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( ) 【导学号:66482027】 A.y= B.y=cosx C.y=ln(x+1) D.y=2-x D [选项A中,y=在(-∞,1)和(1,+∞)上为增函数,故y=在(-1,1)上为增函数; 选项B中,y=cosx在(-1,1)上先增后减; 选项C中,y=ln(x+1)在(-1,+∞)上为增函数,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数; 选项D中,y=2-x=x在R上为减函数,故y=2-x在(-1,1)上是减函数.] 3.(教材改编)已知函数f (x)=,x∈[2,6],则f (x )的最大值为________,最小值为________. 2 [可判断函数f (x)=在[2,6]上为减少的,所以f (x)max=f (2)=2,f (x)min=f (6)=.] 4.函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是________. 【导学号:66482028】 [由题意知2k+1<0,得k<-.] 5.f (x)=x2-2x,x∈[-2,3]的单调增区间为________,f (x)max=________. [1,3] 8 [f (x)=(x-1)2-1,故f (x)的单调增区间为[1,3],f (x)max=f (-2)=8.] 函数单调性的判断 (1)函数f (x)=log2(x2-1)的递减区间为________. (2)试讨论函数f (x)=x+(k>0)的单调性. (1)(-∞,-1) [由x2-1>0得x>1或x<-1,即函数f (x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). 令t=x2-1,因为y=log2t在t∈(0,+∞)上为增函数, t=x2-1在x∈(-∞,-1)上是减函数,所以函数f (x)=log2(x2-1)的递减区间为(-∞,-1).] (2)法一:由解析式可知,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).在(0,+∞)内任取x1,x2,令0<x1<x2,那么f (x2)-f (x1)=-=(x2-x1)+k=(x2-x1). 2分 因为0<x1<x2,所以x2-x1>0,x1x2>0. 故当x1,x2∈(,+∞)时,f (x1)<f (x2), 即函数在(,+∞)上递增. 6分 当x1,x2∈(0,)时,f (x1)>f (x2), 即函数在(0,)上递减. 考虑到函数f (x)=x+(k>0)是奇函数,在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,故在(-∞,-)上递增,在(-,0)上递减. 综上,函数f (x)在(-∞,-)和(,+∞)上递增,在(-,0)和(0,)上递减. 12分 法二:f ′(x)=1-. 2分 令f ′(x)>0得x2>k,即x∈(-∞,-)或x∈(,+∞),故函数的单调增区间为(-∞,-)和(,+∞). 6分 令f ′(x)<0得x2<k,即x∈(-,0)或x∈(0,),故函数的单调减区间为(-,0)和(0,). 10分 故函数f (x)在(-∞,-)和(,+∞)上递增,在(-,0)和(0,)上递减. 12分 [规律方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时,作差后应注意差式的分解变形要彻底. 2.利用导数法证明函数的单调性时,求导运算及导函数符号判断要准确. 易错警示:求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间,如本题(1). [变式训练1] (1)(2017·深圳二次调研)下列四个函数中,在定义域上不是单调函数的是( ) A.y=x3 B.y= C.y= D.y=x (2)函数f (x)=log(x2-4)的递增区间是( ) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2) (1)C (2)D [ (1)选项A,B中函数在定义域内均为递增函数,选项D为在定义域内为递减函数,选项C中,设x1<x2(x1,x2≠0),则y2-y1=-=,因为x1-x2<0,当x1,x2同号时x1x2>0,-<0,当x1,x2异号时x1x2<0,->0,所以函数y=在定义域上不是单调函数,故选C. (2)由x2-4>0得x>2或x<-2,所以函数f (x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为y=logt在定义域上是减函数,所以求原函数的递增区间,即求函数t=x2-4的递减区间,可知所求区间为(-∞,-2).] 利用函数的单调性求最值 已知f (x)=,x∈[1,+∞),且a≤1. (1)当a=时,求函数f (x)的最小值; (2)若对任意x∈[1,+∞),f (x)>0恒成立,试求实数a的取值范围. 【导学号:66482029】 [思路点拨] (1)先判断函数f (x)在[1,+∞)上的单调性,再求最小值;(2)根据f (x)min>0求a的范围,而求f (x)min应对a分类讨论. [解] (1)当a=时,f (x)=x++2,f ′(x)=1->0,x∈[1,+∞), 即f (x)在[1,+∞)上是增函数,∴f (x)min=f (1)=1++2=. 4分 (2)f (x)=x++2,x∈[1,+∞). 法一:①当a≤0时,f (x)在[1,+∞)内为增函数. f (x)min=f (1)=a+3. 要使f (x)>0在x∈[1,+∞)上恒成立,只需a+3>0, ∴-3<a≤0. 7分 ②当0<a≤1时,f (x)在[1,+∞)内为增函数, f (x)min=f (1)=a+3, ∴a+3>0,a>-3,∴0<a≤1. 综上所述,f (x)在[1,+∞)上恒大于零时,a的取值范围是(-3,1]. 10分 法二:f (x)=x++2>0,∵x≥1,∴x2+2x+a>0,8分 ∴a>-(x2+2x),而-(x2+2x)在x=1时取得最大值-3,∴-3<a≤1,即a的取值范围为(-3,1]. 12分 [规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法,若函数f (x)在闭区间[a,b]上是增函数,则f (x)在[a,b]上的最大值为f (b),最小值为f (a). 请思考,若函数f (x)在闭区间[a,b]上是减函数呢? [变式训练2] (2016·北京高考)函数f (x)=(x≥2)的最大值为________. 2 [法一:∵f ′(x)=,∴x≥2时,f ′(x)<0恒成立, ∴f (x)在[2,+∞)上递减, ∴f (x)在[2,+∞)上的最大值为f (2)=2. 法二:∵f (x)===1+, ∴f (x)的图像是将y=的图像向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y=在[2,+∞)上递减,∴f (x)在[2,+∞)上递减,故f (x)在[2,+∞)上的最大值为f (2)=2. 法三:由题意可得f (x)=1+. ∵x≥2,∴x-1≥1,∴0<≤1, ∴1<1+≤2,即1<≤2. 故f (x)在[2,+∞)上的最大值为2.] 函数单调性的应用 ☞角度1 比较大小 (2015·山东高考)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( ) A.a0.60.6>0.61.5,即b10.6=1,即c>1.综上,b查看更多
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