河南省顶级名校2019-2020学年高二上学期10月阶段性检测数学(文)试题
2018级高二年级10月阶段性检测
数学试题(文科)
一.选择题
1.若实数,,,满足,,则下列不等式成立的是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式性质依次判断每个选项正误得到答案.
【详解】实数,,,满足,
则,A正确
取, B选项不满足,排除
取,C选项不满足,排除
取,D选项不满足,排除
故选:A
【点睛】本题考查了不等式的性质,利用特殊值法可以快速得到答案.
2.设等差数列的前项和为,且.则过点的直线斜率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析:∵数列为等差数列,设其公差为,∵,∴,即;∴过点的直线斜率,故选:B.
考点:等差数列的性质.
3.已知函数的最小正周期为,则( )
A. 1 B. C. -1 D.
【答案】A
【解析】
试题分析:由题设知:,所以,
所以,,故选A.
考点:三角函数的概念与性质.
4.若不等式的解集是R,则的范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析:将问题转化为不等式在上恒成立解决,解题时注意对的取值要分类讨论.
详解:由题意得不等式在上恒成立.
①当时,不等式为,不等式恒成立.符合题意.
② 当时,由不等式恒成立得,解得.
综上,
所以实数的范围是.
故选A.
点睛:不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时,;当时,不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时,
;当时,.
5.设,,是与的等比中项,则的最小值是( )
A. B. C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析:是与的等比中项,,,当且仅当时,等号成立,即的最小值是.故选B.
考点:1、正弦定理;2、和差角公式.
【思路点睛】先根据等比中项的概念得出,再将转化为,最后利用基本不等式求的最值.利用基本不等式求最值时,要注意①各项皆为正数,②和或积为定值,③注意等号成立的条件.可概括为:一“正”,二“定”,三“相等”.本题主要考查基本不等式求最值,考查转化与化归思想,特别要注意的灵活运用,属于基础题.
6.已知三角形中,,,连接并取线段的中点,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为,线段的中点为,,,故选B.
7.已知数列{an}的通项公式为an=则数列{an}中的最大项为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
解法一 an+1-an=(n+1) n+1-nn=·n,
当n<2时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=2时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>2时,an+1-an<0,即an+1
a4>a5>…>an,
所以数列{an}中的最大项为a2或a3,且a2=a3=2×2=.故选A.
解法二 ==,
令>1,解得n<2;令=1,解得n=2;令<1,解得n>2.又an>0,
故a1a4>a5>…>an,
所以数列{an}中的最大项为a2或a3,且a2=a3=2×2=.故选A.
8.若满足,且的最大值为6,则的值为()
A. -1 B. -7 C. 1 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
画出确定的可行域,由图象可知当时,可行域不存在;当时,与题意不符;当时,通过可行域可知当过时,取得最大值;将点坐标代入可构造出关于的方程,解方程求得结果.
【详解】由可得可行域如下图阴影部分所示:
则
若,则可行域不存在,不符合题意
若,则只有一个可行解,此时不合题意
当时,可行域如下图阴影部分所示:
可知当过点时,取得最大值
又 ,解得:
本题正确选项:
【点睛】本题考查线性规划中,根据最优解补全约束条件的问题;关键是能够排除含变量的条件得到区域,再根据含变量的条件确定最终的可行域,通过最优解的位置构造方程求得结果.
9.设函数则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:
当时,;
令
两式相加,得,则所求值为201.
考点:倒序相加法.
10.设各项均不为零等差数列{an}的前n项和为Sn,已知,且S10=0,则使不等式成立的正整数n的最小值是( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
由S10=0及等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质可得:,可得:,由可推得,利用的单调性即可得解。
【详解】解:在等差数列{an}中,由S10=0,得,
则.
又∵,可知数列{an}递增数列,则.
又.
∴当n=10时,0,
当n=11时,,
∴使不等式成立的正整数n的最小值是11.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质,还考查了转化能力及数列的单调性应用,属于中档题。
11.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:如图,将1,2,…,9填入的方格内,使三行,三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地,将连续的正整数填入个方格中,使得每行,每列和两条对角线上的数字之和都相等,这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为,如图三阶幻方的,那么 的值为( )
A. 41 B. 45 C. 369 D. 321
【答案】C
【解析】
【分析】
推导出,由此利用等差数列求和公式能求出结果.
【详解】根据题意可知,幻方对角线上的数成等差数列,
,
,
,
.
故.
故选:C
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的前项和公式,本题解题的关键是应用等差数列的性质来解题.
12.若直线通过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
依题意可得,点在单位圆上,所以直线与单位圆有交点,则圆心即原点到直线的距离,即,故选D
二、填空题
13.已知是单位向量,且,若,则与夹角的正弦值是________。
【答案】
【解析】
【分析】
先求出的模,再利用平面向量的夹角公式求解.
【详解】由题得,
由向量的夹角公式得与夹角的余弦为,
所以夹角的正弦值为.
故答案为:
【点睛】本题主要考查向量数量积的计算和模的计算,考查向量的夹角的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14.已知等差数列的前项和是,如果,则=________。
【答案】40
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出结果.
【详解】等差数列的前项和是,,,
,
解得,,
.
故答案为:40.
【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
15.已知,,且,若恒成立,则实数的取值范围是________.
【答案】.
【解析】
【分析】
在等式两边同时除以得到,将代数式和相乘,展开后利用基本不等式求出的最小值,由题意得出,解出该不等式即可得出实数的取值范围.
【详解】,,且,在等式两边同时除以得,
由基本不等式得,
当且仅当时,等号成立,所以,的最小值为,
由于不等式恒成立,则,即,
解得,因此,实数的取值范围是,故答案为:.
【点睛】本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题,同时也考查了一元二次不等式的解法,在利用基本不等式求最值时,要创造出定值条件,并对代数式进行配凑,考查化归与转化数学思想,属于中等题.
16.设当时,函数取得最大值,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式得到,化简得到,代入式子得到答案.
【详解】,其中
当时,有最大值,即
故答案为:
【点睛】本题考查了三角函数求值,意在考查学生的计算能力.
三、解答题
17.已知等差数列,,为其前项的和,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项的和.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)先解方程组得再求出数列的通项公式;(2)由(1)可知,再利用等比数列的前n项和公式求数列的前项的和.
【详解】(1)依题意
解得
所以数列的通项公式为.
(2)由(1)可知,
所以,所以数列是首项为,公比为9的等比数列,
.
所以数列的前项的和为.
【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法,考查等比数列的判断和等比数列的前n项和的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
18.已知圆的圆心为,且直线与圆相切,设直线的方程为,若点在直线上,过点作圆的切线,切点为.
(1)求圆的标准方程;
(2)若,试求点的坐标;
(3)若点的坐标为,过点作直线与圆交于两点,当时,求直线的方程.
【答案】(1) (2) 或.(3)或.
【解析】
【分析】
(1)先求出圆M的半径,再求圆的标准方程得解;(2)设,由题分析得到,解方程求出m的值即得解;(3)对直线CD的斜率分两种情况讨论,利用圆心到直线的距离为求出k的值得解.
【详解】(1)由题得圆的半径为,
所以圆M的标准方程为.
(2)∵点在直线上,可设,又,
由题可知,∴,∴,
解之得:,,故所求点的坐标为或.
(3)斜率不存在时,直线的方程为:,此时直线与圆相离,所以舍去;
斜率存在时,设直线的方程为:,
由题知圆心到直线的距离为,即,解得或,
故所求直线的方程为:或.
【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求法,考查直线和圆的位置关系和直线方程的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
19.在平行四边形中,,分别是,上的点且,,与交于点.
(1)求的值;
(2)若平行四边形的面积为21,求的面积.
【答案】(1);(2)
【解析】
分析:(1)根据向量共线基本定理,可用表示,再根据平面向量基本定理列出方程组求得向量模的比值。
(2)根据三角形面积的比例关系,得到高的比值。进而通过给出的三角形面积求出△BOC的面积。
详解:
(1)设,,据题意可得
,从而有 .
由,,三点共线,则存在实数,使得 ,即 ,由平面向量基本定理,解得,从而就有.
(2)由(1)可知,所以∴ .
点睛:本题考查了向量在平面几何中的综合应用,向量共线基本定理、向量共面基本定理是解决问题的关键,属于中档题。
20.已知递增等比数列,,且,,成等差数列,设数列的前
项和为,点在抛物线上.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,若恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)直接利用等差数列等比数列公式和计算得到答案.
(2),利用错位相减法得到,得到,代入计算得到答案.
【详解】解:(1)由即 可得或.
因为数列为递增等比数列,所以,.
故是首项为1,公比为3的等比数列.所以.
由点在抛物线上,所以
验证当时,也成立
故
(2)因为
所以,
.
两式相减有
.
所以,.
故数列单调递增,又
若恒成立,则.
解得:,所以,实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了数列的通项公式,通项与前N项和的关系,错位相减法,数列的恒成立问题,综合性强,意在考查学生的计算能力和对数列公式方法的灵活运用.
21.已知集合P=,函数的定义域为Q.
(Ⅰ)若PQ ,求实数的范围;
(Ⅱ)若方程在内有解,求实数的范围.
【答案】 (1) (2)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题得不等式在上有解,即有解,求出即得解. (Ⅱ)由题得在有解,即求的值域得解.
【详解】(Ⅰ)P=,PQ,不等式在上有解,由得,而,
(Ⅱ) 在有解,即求值域,
设
【点睛】(1)本题主要考查集合的运算,考查不等式的有解问题和方程的有解问题,意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2),