2020届二轮复习三角恒等变换与解三角形教案（全国通用）

2020届二轮复习三角恒等变换与解三角形教案（全国通用）

‎2020届二轮复习 三角恒等变换与解三角形 教案（全国通用）‎ ‎1．和差角公式 ‎(1)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；‎ ‎(2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．倍角公式 ‎(1)sin2α＝2sinαcosα；‎ ‎(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3)tan2α＝.‎ ‎3．半角公式 ‎(1)sin＝±；‎ ‎(2)cos＝±；‎ ‎(3)tan＝±；‎ ‎(4)tan＝＝.‎ ‎4．正弦定理 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．‎ ‎5．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，‎ b2＝a2＋c2－2accosB，‎ c2＝a2＋b2－2abcosC. ‎ ‎【2015高考四川，理12】 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】法一、.‎ 法二、.‎ 法三、.‎ ‎【2015高考浙江，理11】函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．‎ ‎【答案】，，.‎ ‎【解析】，故最小正周期为，单调递减区间为 ‎，.‎ ‎【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数，‎ ‎(I)求最小正周期；‎ ‎(II)求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(I); (II),.‎ ‎(II)因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，‎ ‎，所以在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎【2015高考重庆，理18】 已知函数 ‎ （1）求的最小正周期和最大值；‎ ‎ （2）讨论在上的单调性.‎ ‎【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）在上单调递增；在上单调递减.‎ ‎【解析】‎ ‎（1） ‎ ‎ ,‎ 因此的最小正周期为，最大值为.‎ ‎（2）当时，有，从而 当时,即时，单调递增，‎ 当时,即时，单调递减，‎ 综上可知，在上单调递增；在上单调递减.‎ ‎【2015高考上海，理14】在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此 ‎【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若， ，，则 . ‎ ‎【答案】．‎ ‎【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】因为 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，‎ 函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，‎ 所以函数有2个零点.‎ ‎【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，，，在中，由，‎ 所以，因为，由正弦定理可得，即m，‎ 在中，因为，，所以，所以m．‎ ‎【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，.‎ ‎【2015高考福建，理12】若锐角的面积为 ，且，则 等于________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，．‎ ‎【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）‎ 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．‎ ‎(Ⅰ) 求；‎ ‎(Ⅱ)若，，求和的长． ‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．‎ ‎【解析】(Ⅰ)，，因为，，所以．由正弦定理可得．‎ ‎(Ⅱ)因为，所以．在和中，由余弦定理得 ‎，．‎ ‎．由(Ⅰ)知，所以．‎ ‎【2015高考浙江，理16】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，=.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的面积为7，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由及正弦定理得，‎ ‎∴，又由，即，得，‎ 解得；（2）由，得，，‎ 又∵，∴，由正弦定理得，‎ 又∵，，∴，故.‎ ‎【2015高考安徽，理16】在中，,点D在边上，，求的长.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，‎ ‎ ‎ ‎ 设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得 ‎ ，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 又由正弦定理得.‎ ‎ 由题设知，所以.‎ ‎ 在中，由正弦定理得.‎ ‎【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）若，求的面积．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得 而 得，即 因为，所以．‎ 故的面积为．‎ 解法二：由正弦定理，得，‎ 从而，‎ 又由，知，所以.‎ 故 所以的面积为.‎ ‎1. 【2014高考江苏卷第14题】 若的内角满足，则的最小值是 . ‎ ‎【考点定位】解三角形,求最值.‎ ‎11．【2014重庆高考理第10题】‎ 已知的内角，面积满足 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题设得： ‎ ‎ ‎ ‎ （1）‎ 由三角形面积公式及正弦定理得：‎ 所以 又因为，所以 所以恒成立，所以 故选A.‎ ‎【考点定位】两角和与差的三角函数、正弦定理、三角形的面积公式.‎ ‎12. 【2014天津高考理第12题】在中，内角所对的边分别是．已知，，则的值为_______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】∵代入得，由余弦定理得．‎ ‎【考点定位】正弦定理、余弦定理的推论．‎ ‎13. 【2014大纲高考理第3题】设则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】故选C．‎ ‎【考点定位】三角函数基本关系式 ‎ ‎14. 【2014高考安徽卷第16题】（本小题满分12分）设的内角所对边的长分别是，且 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）因为，所以，由正、余弦定理得.因为，所以.‎ 由余弦定理得.由于，所以.故 ‎.‎ ‎【考点定位】正、余弦定理、三角函数恒等变形.‎ ‎15. 【2014高考北京理第15题】如图，在中，，点在边上，且，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求，的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）7.‎ ‎【解析】（1）在中，因为，所以，‎ 所以 ‎.‎ ‎（2）在中，由正弦定理得，‎ 在中由余弦定理得 ‎，‎ 所以.‎ ‎【考点定位】同角三角函数的关系，两个角的差的正弦公式，正弦定理与余弦定理.‎ ‎16. 【2014高考福建理第16题】已知函数.‎ （1） 若，且，求的值；‎ （2） 求函数的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎ 【答案】(1) ;(2) ,‎ ‎【解析】 (1)因为所以.所以 ‎ ‎(2)因为 ‎,所以.由得.所以的单调递增区间为.‎ ‎【考点定位】1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.‎ ‎17. 【2014高考广东理第16题】已知函数，，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1），‎ 所以，；‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，则，‎ ‎.‎ ‎【考点定位】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数 ‎18. 【2014高考湖北理第17题】某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；‎ ‎.‎ ‎（1）求实验室这一天的最大温差；‎ ‎（2）若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？‎ ‎【答案】（1）4；（2）在10时至18时实验室需要降温.‎ ‎（2）依题意，当时实验室需要降温.‎ 由（1）得，‎ 所以，即，‎ 又，因此，即，‎ 故在10时至18时实验室需要降温.‎ ‎【考点定位】两个角的和的正弦公式、三角不等式的解法.‎ ‎19. 【2014高考湖南理第18题】如图5,在平面四边形中,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若, ,求的长.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎ (1)由关于的余弦定理可得 ‎,所以.‎ ‎(2)因为为四边形内角,所以且,则由正余弦的关系可得且,再由正弦的和差角公式可得 ‎,再由的正弦定理可得 ‎.‎ ‎【考点定位】三角形正余弦定理、正余弦之间的关系与和差角公式 ‎20. 【2014高考江苏第15题】已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意，‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 所以．‎ ‎【考点】三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和与差的正弦、余弦公式．‎ ‎21. 【2014高考辽宁理第17题】在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：‎ ‎（1）a和c的值；‎ ‎（2）的值.‎ ‎【答案】（1）a=3，c=2；（2）.‎ ‎【解析】（1）由得，，又，所以ac=6.‎ 由余弦定理，得.‎ 又b=3，所以.‎ 解，得a=2，c=3或a=3，c=2.‎ 因为a>c,∴ a=3，c=2.‎ ‎（2）在中，‎ 由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此.‎ 于是=.‎ ‎【考点定位】解三角形、三角恒等变换.‎ ‎22. 【2014高考山东卷第16题】已知向量，，设函数，且的图象过点和点.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.‎ ‎【答案】（I）.‎ ‎（II）函数的单调递增区间为.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意知：.‎ 因为的图象过点和，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得.‎ ‎（2）由（1）知：.‎ 由题意知：，‎ 设的图象上符合题意的最高点为，‎ 由题意知：，所以，‎ 即到点的距离为1的最高点为.‎ 将其代入得，‎ 因为，所以，‎ 因此，‎ 由，得 ‎，‎ 所以，函数的单调递增区间为.学+科网 ‎【考点定位】平面向量的数量积，三角函数的化简，三角函数的图象和性质.‎ ‎23. 【2014高考四川第16题】已知函数.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）若是第二象限角，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）,.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）；‎ ‎（2）由题设得：，‎ 即，.‎ 若，则，‎ 若，则.‎ ‎【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.‎ ‎24.【2014高考浙江理第18题】在中，内角所对的边分别为.已知，‎ ‎（I）求角的大小； ‎ ‎（II）若，求的面积. ‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意得，，‎ 即，‎ ‎，由得，，又，得，即，所以；‎ ‎（2）由，，得，由，得，从而，故，所以的面积为．‎ ‎【考点定位】诱导公式，、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 ‎ ‎25.【2014高考重庆理科第17题】已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.‎ ‎（I）求和的值；‎ ‎（II）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）因的图象上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，从而.‎ 又因的图象关于直线对称，所以 因得 所以.‎ ‎（2）由（1）得 所以.‎ 由得 所以 因此 ‎=‎ ‎【考点定位】诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象和性质.‎ ‎1．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝(　　)‎ A．－ B. C．－或0 D.或0‎ ‎2．若tan α＝2tan，则＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：基本法：＝ ‎＝＝ ‎＝，‎ ‎∵tan α＝2tan，∴＝＝3.故选C.‎ 答案：C ‎3．已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为(　　)(导学号 55460112)‎ A. B. C. D.或 解析：依题意得sinβ＝，cos β＝.注意到sin(α＋β)＝(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0

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